Sekrety Karty Wzorów CKE

$Jak legalnie ściągać na maturze? Sekrety Karty Wzorów i ukryte punkty$

Matura 2026 Matematyka Matura Podstawowa Matura Rozszerzona CKE

Jak legalnie ściągać na maturze? Sekrety Karty Wzorów i ukryte punkty

Q: Gdzie szukać ratunku? Szybka nawigacja

Zasada jest prosta: nie zgaduj. Jeśli widzisz zadanie z logarytmami, otwierasz stronę z logarytmami i szukasz pasującego wzoru.

Q: Czego w kartach NIE znajdziesz? (Musisz to umieć!)

Niestety, karta nie rozwiąże za Ciebie całej matury. Oto lista rzeczy, których w niej brakuje i które musisz po prostu zrozumieć:

Z tego artykułu dowiesz się:

✓Legalne ściąganie: Dlaczego karta wzorów to Twoja najpotężniejsza broń?
✓Funkcja Kwadratowa: Jak bezbłędnie obliczyć $\Delta$ i $x_1, x_2$ ?
✓Logarytmy i Potęgi: Wzory, które zamieniają trudne zadania w proste dodawanie.
✓Geometria Analityczna: Długość odcinka i równanie prostej bez rysowania.
✓Czego NIE MA w kartach: Wzory, które niestety musisz wykuć na blachę.

Wstęp: To nie jest zwykła broszura

Wyobraź sobie, że idziesz na bitwę i możesz zabrać ze sobą instrukcję obsługi przeciwnika. Tym właśnie są "Wybrane wzory matematyczne". To nie jest tylko zbiór nudnych regułek. To gotowe algorytmy rozwiązywania zadań. Jeśli nauczysz się nawigować po tej książeczce, możesz zdać maturę (lub osiągnąć wynik 50%+) mając w głowie absolutne minimum teorii. Kluczem jest wiedza, gdzie szukać.

Królowa Matury: Funkcja Kwadratowa

Zadania z funkcją kwadratową to absolutne pewniaki. Pojawiają się w zadaniach zamkniętych i otwartych. Wiele osób stresuje się, że pomyli znak we wzorze na deltę lub wierzchołek. Niepotrzebnie. W dziale Funkcja kwadratowa znajdziesz wszystko, czego potrzebujesz.

Najważniejszy wzór, który musisz zlokalizować, to wyróżnik trójmianu kwadratowego, czyli popularna delta:

Obliczanie miejsc zerowych (Algorytm):

Równanie:

ax^2 + bx + c = 0

1. Delta:

\Delta = b^2 - 4ac

2. Jeśli

\Delta > 0

, to:

x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}

x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}

💡 Pamiętaj! Jeśli delta wyjdzie ujemna ( $\Delta < 0$ ), funkcja nie ma miejsc zerowych. Tego też dowiesz się z karty!

Częstym zadaniem jest też wyznaczenie wierzchołka paraboli

W = (p, q)

. Nie musisz kuć tego na pamięć. Wzory na współrzędne wierzchołka są podane na tacy:

p = \frac{-b}{2a}, \quad q = \frac{-\Delta}{4a}

Gdzie szukać ratunku? Szybka nawigacja

Problem na maturze	Dział w Karcie	Kluczowy wzór
Ile to jest $3^{-2}$ lub $8^{\frac{1}{3}}$ ?	Potęgi i pierwiastki	$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ oraz $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$
Suma ciągu arytmetycznego	Ciągi	$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$
Wartość $sin(120^\circ)$	Trygonometria	Wzory redukcyjne (np. $sin(180^\circ - \alpha) = sin\alpha$ )
Odległość punktu od prostej	Geometria analityczna	Wzór z wartością bezwzględną $\|Ax_0 + By_0 + C\|$

Zasada jest prosta: nie zgaduj. Jeśli widzisz zadanie z logarytmami, otwierasz stronę z logarytmami i szukasz pasującego wzoru.

Logarytmy: To prostsze niż myślisz

Uczniowie boją się logarytmów, a na maturze podstawowej zadania z nich sprowadzają się zazwyczaj do podstawienia do jednego z trzech wzorów. W karcie znajdziesz:

Definicję logarytmu: $\log_a b = c \iff a^c = b$ . To klucz do rozwiązywania prostych równań typu $\log_2 x = 3$ .
Logarytm iloczynu: $\log_a (x \cdot y) = \log_a x + \log_a y$ .
Logarytm ilorazu: $\log_a \frac{x}{y} = \log_a x - \log_a y$ .
Logarytm potęgi: $\log_a x^r = r \cdot \log_a x$ (zrzucanie potęgi przed logarytm).

Geometria Analityczna bez rysowania

Masz dwa punkty

A=(x_A, y_A)

B=(x_B, y_B)

i musisz obliczyć długość odcinka lub znaleźć jego środek? Wielu uczniów próbuje to rysować w układzie współrzędnych i liczyć kratki. To strata czasu i ryzyko błędu!

Skorzystaj z gotowych wzorów z sekcji Geometria analityczna:

Długość odcinka i Środek:

Długość odcinka

|AB|

|AB| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}

Środek odcinka

S = (x_S, y_S)

x_S = \frac{x_A + x_B}{2}, \quad y_S = \frac{y_A + y_B}{2}

💡 Zwróć uwagę, że wzór na długość to tak naprawdę Twierdzenie Pitagorasa ukryte w układzie współrzędnych.

Ciągi liczbowe: Arytmetyczny vs Geometryczny

Karta wzorów wyraźnie rozdziela te dwa typy ciągów. Najważniejsze, co musisz umieć, to rozróżnić, z którym ciągiem masz do czynienia.

Ciąg arytmetyczny (dodajemy stałą liczbę

r

):
Wzór na

n

-ty wyraz:

a_n = a_1 + (n-1)r

Ciąg geometryczny (mnożymy przez stałą liczbę

q

):
Wzór na

n

-ty wyraz:

a_n = a_1 \cdot q^{n-1}

Trygonometria: Więcej niż tylko tabela

Większość uczniów używa działu Trygonometria tylko do odczytania wartości z tabelki na końcu. To błąd! Karta wzorów zawiera dwa potężne narzędzia, które rozwiązują zadania za Ciebie.

1. Jedynka Trygonometryczna

To najważniejszy wzór w tym dziale: $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ .
Kiedy używać? Gdy w zadaniu podają Ci np. wartość sinus i pytają o cosinus (lub tangens). Nie próbuj wyliczać kąta! Podstaw do wzoru.

Zadanie: Masz sin, oblicz cos

Dane:

\sin\alpha = \frac{3}{5}

. Oblicz

\cos\alpha

. Rozwiązanie z karty wzorów:

(\frac{3}{5})^2 + \cos^2\alpha = 1

\frac{9}{25} + \cos^2\alpha = 1

\cos^2\alpha = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}

\cos\alpha = \frac{4}{5} \quad (\text{dla kąta ostrego})

💡 Zauważ, że nie musieliśmy wiedzieć, ile stopni ma kąt alfa. Czysta algebra!

2. Wzory Redukcyjne (Kąty rozwarte)

Co zrobić, gdy masz obliczyć $\sin(120^\circ)$ lub $\cos(150^\circ)$ ? W tabelce są tylko kąty do $90^\circ$ .
Szukaj w karcie sekcji z wzorami typu $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin\alpha$ .
Dzięki temu zamienisz trudny kąt rozwarty na znany kąt ostry.

Planimetria: Darmowe punkty z okręgów

Geometria płaska to często koszmar, ale zadania z kątami w okręgu są banalnie proste, jeśli znasz Twierdzenie o kącie środkowym i wpisanym. Oczywiście, wzór jest w tablicach!

Złota zasada okręgów:

✓Kąt środkowy (wychodzi ze środka koła) jest zawsze DWA RAZY WIĘKSZY od kąta wpisanego opartego na tym samym łuku.
✓Wzór w karcie: $2\alpha = \beta$ (gdzie $\beta$ to kąt środkowy).
✓Pamiętaj też: Kąt wpisany oparty na średnicy (półokręgu) ma zawsze $90^\circ$ . To klucz do zadań z trójkątami prostokątnymi wpisanymi w koło.

Przykład zastosowania:

Kąty w okręgu

Jeśli kąt wpisany ma

35^\circ

, to kąt środkowy oparty na tym samym łuku ma:

2 \cdot 35^\circ = 70^\circ

Jeśli kąt środkowy ma

100^\circ

, to wpisany ma:

100^\circ : 2 = 50^\circ

💡 Szukaj w karcie rysunku koła z zaznaczonymi kątami - wzualizacja bardzo pomaga.

Czego w kartach NIE znajdziesz? (Musisz to umieć!)

Niestety, karta nie rozwiąże za Ciebie całej matury. Oto lista rzeczy, których w niej brakuje i które musisz po prostu zrozumieć:

Kolejność wykonywania działań: Nawiasy $\rightarrow$ Potęgowanie $\rightarrow$ Mnożenie/Dzielenie $\rightarrow$ Dodawanie/Odejmowanie.
Wzory skróconego mnożenia dla wyższych potęg: Są tylko podstawowe $(a+b)^2$ . Nie znajdziesz tam bardziej skomplikowanych rozwinięć.
Własności funkcji liniowej: Musisz wiedzieć, że gdy $a > 0$ to funkcja rośnie, a gdy $a < 0$ to maleje.
Interpretacja geometryczna: Karta poda Ci wzór na pole trójkąta $P = \frac{1}{2}ah$ , ale musisz wiedzieć, gdzie na rysunku jest $h$ (wysokość).

Strategia: Wydrukuj i ćwicz

Najgorsze, co możesz zrobić, to zobaczyć kartę wzorów pierwszy raz na maturze. Twój mózg w stresie nie będzie wiedział, gdzie szukać informacji. Pobierz kartę PDF ze strony CKE, wydrukuj ją i używaj do każdego zadania domowego. Musisz wyrobić sobie "pamięć mięśniową" – wiedzieć instynktownie, że trygonometria jest na końcu, a wzory na potęgi na początku.

Bonus: Kombinatoryka i Bryły – darmowe punkty

Na koniec dwa działy, które uczniowie często pomijają, a które w karcie wzorów są podane jak na tacy. Nie marnuj pamięci na wzory, które możesz legalnie odczytać.

1. Stereometria (Bryły)

Nie pamiętasz wzoru na objętość kuli czy pole boczne stożka?
Wszystkie te wzory (wraz z rysunkami!) znajdziesz w dziale Stereometria.
Ważne: Zwróć uwagę na oznaczenia na rysunkach w karcie. $l$ to tworząca stożka, a $r$ to promień. Nie pomyl ich!

2. Kombinatoryka (Silnia i Symbol Newtona)

Widzisz w zadaniu wykrzyknik? To silnia. Wzór na nią jest w kartach. Często pojawia się też zadanie typu 'Na ile sposobów można wylosować 2 liczby z 10'. To kombinacje.

Jak korzystać ze wzorów na kombinatorykę?

Silnia

n!

5! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 120

Symbol Newtona (Kombinacje

\binom{n}{k}

): Jest gotowy wzór:

\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}

Używaj go, gdy kolejność losowania NIE ma znaczenia (np. losowanie liczb w Lotto).

💡 W karcie znajdziesz też wzory na wariacje i permutacje, ale na poziomie podstawowym najważniejsza jest reguła mnożenia i wiedza, jak policzyć silnię.

Podsumowanie

Matura z matematyki to w 30% wiedza, a w 70% umiejętność korzystania z narzędzi. Karta wzorów to Twój najlepszy przyjaciel. Jeśli chcesz zobaczyć, jak rozwiązujemy zadania maturalne "na żywo" korzystając z karty, sprawdź nasz Kurs Maturalny Last Minute.

Masz problem z tym tematem? 🤯

Samodzielna nauka bywa trudna. Zapisz się na darmową próbkę, a opiszemy Ci plan działania w 15 minut – prosto, konkretnie i bez stresu.

🚀 Umów darmową konsultację

Źródła wiedzy:

Ostatnia aktualizacja: 2025-10-15