Planimetria

Wstęp: Geometria płaska to sztuka szukania trójkątów

Planimetria (czyli geometria na płaskiej kartce papieru) potrafi przestraszyć ilością przecinających się kresek na rysunkach. Prawda jest jednak taka, że 90% zadań maturalnych sprowadza się do znalezienia w tym gąszczu ukrytego trójkąta prostokątnego i zastosowania odpowiedniego wzoru. Masz przed sobą najpotężniejsze narzędzia do zdobywania punktów w tym dziale.

📋 Spis treści

Królowie Trójkątów

1 Twierdzenie Pitagorasa (Król geometrii)
2 Trójkąt Równoboczny (Złote wzory)

Proporcje i Kąty

3 Kąty w okręgu (Środkowy vs Wpisany)
4 Twierdzenie Talesa i Podobieństwo Figur
5 Pola wielokątów – o czym pamiętać?

1 Twierdzenie Pitagorasa (Absolutny król)

Działa tylko i wyłącznie w trójkątach prostokątnych. Mówi, że suma kwadratów długości przyprostokątnych (boków leżących przy kącie prostym) jest dokładnie równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej (najdłuższego boku).

Żelazny Wzór:

a^2 + b^2 = c^2

Gdzie literki $a$ i $b$ to boki tworzące czerwony kąt prosty, a $c$ to najdłuższa, pochyła lina. Zamiana kolejności $a$ i $b$ nie ma znaczenia, ale jeśli $c$ ucieknie Ci na lewą stronę, stracisz punkty za całe zadanie!

2 Trójkąt Równoboczny (Złote wzory)

Jeśli w zadaniu pada magiczne hasło "trójkąt równoboczny" (oznaczające, że wszystkie 3 boki są równe, a każdy kąt w środku ma 60°), od razu wyciągaj z pamięci lub z tablic CKE te dwa wzory. Mając tylko samą długość boku $a$ , wyliczysz wszystko.

Wysokość (h)

Niezbędna do geometrii przestrzennej!

h = \frac{a\sqrt{3}}{2}

Pole (P)

Najszybszy sposób na ostateczny wynik.

P = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}

3 Kąty w okręgu (Środkowy vs Wpisany)

To pewniak w zadaniach testowych (często z rysunkiem i dorysowywaniem linii pomocniczych). Musisz bezbłędnie rozróżniać dwa rodzaje kątów, które opierają się na tym samym łuku, czyli wychodzą z tych samych dwóch punktów na obwodzie okręgu.

🔍 Podstawowa zależność

Kąt Środkowy

(\alpha)

Wierzchołek leży idealnie w środku okręgu. Jest zawsze dwa razy większy.

Kąt Wpisany

(\beta)

Wierzchołek leży gdzieś na brzegu okręgu. Jest zawsze dwa razy mniejszy.

\alpha = 2\beta

💡

PRO TIP: Kąt oparty na średnicy

Spójrz na obrazek powyżej! Kąt wpisany oparty na półokręgu (czyli taki, którego nóżki na dole wyznaczają idealną średnicę okręgu przechodzącą przez środek) jest ZAWSZE prosty (ma dokładnie 90°)! CKE uwielbia ukrywać takie kąty proste w zadaniach wieloetapowych, żeby odpalić twierdzenie Pitagorasa.

4 Twierdzenie Talesa i Podobieństwo Figur

Oba te pojęcia opierają się na jednym, potężnym słowie: Proporcja. Jeśli przetniemy ramiona jakiegoś kąta kilkoma równoległymi liniami, powstaną kawałki, które mają do siebie takie same ułamkowe stosunki.

Twierdzenie Talesa

Jeżeli ramiona kąta przetniemy dwiema prostymi równoległymi, to odcinki wyznaczone na jednym ramieniu kąta są proporcjonalne do odpowiednich odcinków wyznaczonych na drugim ramieniu.

\frac{\text{lewy dół}}{\text{lewa góra}} = \frac{\text{prawy dół}}{\text{prawa góra}}

Do rozwiązywania używasz metody mnożenia ułamków "na krzyż".

Skala podobieństwa (k)

Figury podobne wyglądają tak samo, ale jedna jest powiększona lub pomniejszona. Skalę

k

wyliczamy dzieląc długość boku nowej figury przez długość boku starej figury.

Magiczna zasada pól:
Stosunek pól figur podobnych jest równy $k^2$ .

Jeśli bok trójkąta rośnie 3 razy (

k=3

), to jego pole rośnie aż 9 razy (

3^2=9

5 Pola wielokątów – o czym pamiętać?

Wszystkie standardowe wzory na pola figur (kwadrat, prostokąt, romb, równoległobok, trapez, deltoid) znajdziesz otwierając tablice matematyczne. Nie musisz zakuwać ich na pamięć! Zamiast tego zapamiętaj te dwie nietypowe pułapki maturalne, o które pyta CKE:

Romb to też równoległobok

Możesz policzyć pole rombu nie tylko z jego krzyżujących się przekątnych $P = \frac{e \cdot f}{2}$ , ale także ze standardowego wzoru na równoległobok, czyli podstawa razy wysokość: $P = a \cdot h$ ! Często musisz przyrównać do siebie te dwa wzory, żeby znaleźć wysokość.

Wzór z sinusem

Jeśli masz podane w treści długości dwóch boków trójkąta i miarę kąta uwięzionego między nimi, użyj bez wahania potężnego wzoru z trygonometrią: $P = \frac{1}{2} a b \sin\alpha$ . Jest on kołem ratunkowym w zadaniach, w których wyliczenie klasycznej wysokości $h$ graniczy z cudem.

Geometria rozpracowana?

Najlepszym sposobem na naukę planimetrii jest rozwiązywanie zadań z rysunkami i bezczelne dorysowywanie na nich własnych linii (zwłaszcza opuszczanie wysokości!). Spróbujmy wykorzystać te zasady w quizie.

Rozwiąż Quiz z Planimetrii 🚀

Teoria opanowana? Czas na praktykę!

Baza Quizów Maturalnych

Lista Pewniaków CKE