Planimetria

Wstęp: Geometria płaska to sztuka szukania trójkątów

Planimetria (czyli geometria na płaskiej kartce papieru) potrafi przestraszyć ilością przecinających się kresek na rysunkach. Prawda jest jednak taka, że zdecydowana większość zadań maturalnych sprowadza się do znalezienia w tym gąszczu ukrytego trójkąta prostokątnego i zastosowania odpowiedniego wzoru. Masz przed sobą najpotężniejsze narzędzia do zdobywania punktów w tym dziale.

📋 Spis treści

Królowie Trójkątów

1 Twierdzenie Pitagorasa (Król geometrii)
2 Trójkąt Równoboczny (Złote wzory)

Proporcje i Kąty

3 Kąty w okręgu (Środkowy vs Wpisany)
4 Twierdzenie Talesa i Podobieństwo Figur
5 Pola wielokątów – o czym pamiętać?
6 Czworokąty i ich pola
7 Okrąg wpisany i opisany
8 Długość łuku i pole wycinka

1 Twierdzenie Pitagorasa (Absolutny król)

Działa tylko i wyłącznie w trójkątach prostokątnych. Mówi, że suma kwadratów długości przyprostokątnych (boków leżących przy kącie prostym) jest dokładnie równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej (najdłuższego boku).

Żelazny Wzór:

a^2 + b^2 = c^2

Gdzie literki $a$ i $b$ to boki tworzące czerwony kąt prosty, a $c$ to najdłuższa, pochyła lina. Zamiana kolejności $a$ i $b$ nie ma znaczenia, ale jeśli $c$ ucieknie Ci na lewą stronę, stracisz punkty za całe zadanie!

2 Trójkąt Równoboczny (Złote wzory)

Jeśli w zadaniu pada magiczne hasło "trójkąt równoboczny" (oznaczające, że wszystkie 3 boki są równe, a każdy kąt w środku ma 60°), od razu wyciągaj z pamięci lub z tablic CKE te dwa wzory. Mając tylko samą długość boku $a$ , wyliczysz wszystko.

Wysokość (h)

Niezbędna do geometrii przestrzennej!

h = \frac{a\sqrt{3}}{2}

Pole (P)

Najszybszy sposób na ostateczny wynik.

P = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}

3 Kąty w okręgu (Środkowy vs Wpisany)

To pewniak w zadaniach testowych (często z rysunkiem i dorysowywaniem linii pomocniczych). Musisz bezbłędnie rozróżniać dwa rodzaje kątów, które opierają się na tym samym łuku, czyli wychodzą z tych samych dwóch punktów na obwodzie okręgu.

🔍 Podstawowa zależność

Kąt Środkowy

(\alpha)

Wierzchołek leży idealnie w środku okręgu. Jest zawsze dwa razy większy.

Kąt Wpisany

(\beta)

Wierzchołek leży gdzieś na brzegu okręgu. Jest zawsze dwa razy mniejszy.

\alpha = 2\beta

💡

PRO TIP: Kąt oparty na średnicy

Spójrz na obrazek powyżej! Kąt wpisany oparty na półokręgu (czyli taki, którego nóżki na dole wyznaczają idealną średnicę okręgu przechodzącą przez środek) jest ZAWSZE prosty (ma dokładnie 90°)! CKE uwielbia ukrywać takie kąty proste w zadaniach wieloetapowych, żeby odpalić twierdzenie Pitagorasa.

4 Twierdzenie Talesa i Podobieństwo Figur

Oba te pojęcia opierają się na jednym, potężnym słowie: Proporcja. Jeśli przetniemy ramiona jakiegoś kąta kilkoma równoległymi liniami, powstaną kawałki, które mają do siebie takie same ułamkowe stosunki.

Twierdzenie Talesa

Jeżeli ramiona kąta przetniemy dwiema prostymi równoległymi, to odcinki wyznaczone na jednym ramieniu kąta są proporcjonalne do odpowiednich odcinków wyznaczonych na drugim ramieniu.

\frac{\text{lewy dół}}{\text{lewa góra}} = \frac{\text{prawy dół}}{\text{prawa góra}}

Do rozwiązywania używasz metody mnożenia ułamków "na krzyż".

Skala podobieństwa (k)

Figury podobne wyglądają tak samo, ale jedna jest powiększona lub pomniejszona. Skalę

k

wyliczamy dzieląc długość boku nowej figury przez długość boku starej figury.

Magiczna zasada pól:
Stosunek pól figur podobnych jest równy $k^2$ .

Jeśli bok trójkąta rośnie 3 razy (

k=3

), to jego pole rośnie aż 9 razy (

3^2=9

5 Pola wielokątów – o czym pamiętać?

Wszystkie standardowe wzory na pola figur (kwadrat, prostokąt, romb, równoległobok, trapez, deltoid) znajdziesz otwierając tablice matematyczne. Nie musisz zakuwać ich na pamięć! Zamiast tego zapamiętaj te dwie nietypowe pułapki maturalne, o które pyta CKE:

Romb to też równoległobok

Możesz policzyć pole rombu nie tylko z jego krzyżujących się przekątnych $P = \frac{e \cdot f}{2}$ , ale także ze standardowego wzoru na równoległobok, czyli podstawa razy wysokość: $P = a \cdot h$ ! Często musisz przyrównać do siebie te dwa wzory, żeby znaleźć wysokość.

Wzór z sinusem

Jeśli masz podane w treści długości dwóch boków trójkąta i miarę kąta uwięzionego między nimi, użyj bez wahania potężnego wzoru z trygonometrią: $P = \frac{1}{2} a b \sin\alpha$ . Jest on kołem ratunkowym w zadaniach, w których wyliczenie klasycznej wysokości $h$ graniczy z cudem.

6 Czworokąty i ich pola

Trójkąt jest w arkuszach najczęstszy, ale czworokąty pojawiają się regularnie — i mają kilka wzorów, o których łatwo zapomnieć, bo nie ma ich w tak oczywistej formie jak $\frac{1}{2}ah$ .

Figura	Pole	Warto wiedzieć
Trapez	$\frac{a+b}{2} \cdot h$	średnia podstaw razy wysokość
Równoległobok	$a \cdot h$ lub $ab\sin\alpha$	przekątne dzielą się na połowy
Romb	$\frac{d_1 d_2}{2}$	przekątne prostopadłe i połowią się
Deltoid	$\frac{d_1 d_2}{2}$	przekątne prostopadłe, ale tylko jedna połowiona

Trzy fakty, które rozwiązują zadania

• Suma kątów w czworokącie wynosi 360°, a w wielokącie o

n

bokach

(n-2) \cdot 180°

• W trapezie kąty przy tym samym ramieniu sumują się do 180°, bo podstawy są równoległe.

• Wzór na pole rombu z przekątnymi działa dla każdego czworokąta o przekątnych prostopadłych — dlatego jest ten sam dla deltoidu.

7 Okrąg wpisany, opisany i czworokąty w okręgu

Okrąg opisany na trójkącie ma środek w punkcie przecięcia symetralnych boków. W trójkącie prostokątnym ten środek leży dokładnie w połowie przeciwprostokątnej, więc $R = \frac{c}{2}$ — to najczęściej wykorzystywany fakt z tej sekcji.

Okrąg wpisany w trójkąt ma środek w punkcie przecięcia dwusiecznych kątów. Promień wiąże się z polem: $P = \frac{1}{2} r \cdot (a+b+c)$ .

W trójkącie równobocznym oba środki się pokrywają, a promienie są w stosunku 2 : 1. Przy boku $a$ : $R = \frac{a\sqrt{3}}{3}$ , $r = \frac{a\sqrt{3}}{6}$ . Oba to części wysokości $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$ , odpowiednio dwie trzecie i jedna trzecia.

Czworokąt wpisany w okrąg ma sumę kątów przeciwległych równą 180°. To gotowa odpowiedź na wiele zadań zamkniętych i szybki sposób na wyznaczenie brakującego kąta.

Styczna i promień

• Styczna jest prostopadła do promienia poprowadzonego do punktu styczności. To pierwsza rzecz, którą dorysowujesz, widząc styczną — powstaje kąt prosty, a z nim Pitagoras.

• Dwie styczne z jednego punktu mają równe odcinki od tego punktu do punktów styczności.

• Promień prostopadły do cięciwy dzieli ją na połowy. To standardowy sposób na policzenie długości cięciwy albo odległości od środka.

8 Długość łuku i pole wycinka

Oba wzory opierają się na jednym pomyśle: wycinek jest pewną częścią całego koła, a tę część wyznacza kąt środkowy.

długość łuku:

l = \frac{\alpha}{360°} \cdot 2\pi r

pole wycinka:

P = \frac{\alpha}{360°} \cdot \pi r^2

Ułamek $\frac{\alpha}{360°}$ jest w obu ten sam — zmienia się tylko to, czego jest częścią: obwodu albo pola. Dla kąta 90° to ćwiartka, dla 60° szósta część, dla 120° jedna trzecia. Przy okrągłych kątach szybciej myśleć ułamkiem niż podstawiać do wzoru.

Na co uważać w całej planimetrii

Rysunek to połowa rozwiązania. Duży, z opisanymi długościami i zaznaczonymi kątami równymi. Dorysowanie wysokości albo przekątnej jest dozwolone i zwykle konieczne.
Sprawdź, czy figura w ogóle istnieje. W trójkącie suma dwóch krótszych boków musi być większa od najdłuższego. Jeśli z rachunku wyjdą boki 2, 3 i 9 — gdzieś jest błąd.
Pole i obwód to różne pytania. Przy figurach złożonych obwód nie obejmuje linii wewnętrznych, choć na rysunku są tak samo widoczne.
Zostaw wynik w postaci dokładnej — z pierwiastkiem i z $\pi$ — chyba że treść wprost prosi o przybliżenie.

Geometria rozpracowana?

Najlepszym sposobem na naukę planimetrii jest rozwiązywanie zadań z rysunkami i bezczelne dorysowywanie na nich własnych linii (zwłaszcza opuszczanie wysokości!). Spróbujmy wykorzystać te zasady w quizie.

Rozwiąż Quiz z Planimetrii 🚀

Potrzebujesz kogoś, kto to wytłumaczy?

Teoria opanowana? Czas na praktykę!

Baza Quizów Maturalnych

Lista Pewniaków CKE