Geometria analityczna

Wstęp: Geometria spotyka algebrę

Geometria analityczna to nic innego jak wrzucenie znanych nam figur na układ współrzędnych. Zamiast rysować z linijką i zgadywać, obliczamy długości, kąty i środki precyzyjnie ze wzorów, korzystając ze współrzędnych $(x, y)$ . To jeden z najbardziej "algorytmicznych" działów na maturze – jeśli znasz zasady i wzory (które i tak masz w tablicach!), darmowe punkty robią się same.

📋 Spis treści

Punkty i Proste

1 Odcinek: Środek i Długość
2 Równanie Prostej (Kierunkowa vs Ogólna)
3 Proste równoległe i prostopadłe

Figury i Przekształcenia

4 Równanie Okręgu (Pułapka ze znakami)
5 Symetrie w układzie współrzędnych

1 Odcinek: Środek i Długość

Mając dwa punkty na krańcach: $A = (x_A, y_A)$ oraz $B = (x_B, y_B)$ , bardzo często musisz policzyć dokładnie środek tego odcinka lub jego całkowitą długość. Do obu tych zadań CKE dostarcza świetne, gotowe wzory.

Środek odcinka (S)

To po prostu średnia arytmetyczna współrzędnych!

S = \left(\frac{x_A+x_B}{2}, \frac{y_A+y_B}{2}\right)

Długość odcinka |AB|

Ten wzór to tak naprawdę zmyślnie ukryty Pitagoras.

|AB| = \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2}

Wizualizacja odcinka

Mamy punkty $A(-2, -1)$ i $B(4, 3)$ . Środek wyliczamy ze średniej:

x_S = \frac{-2+4}{2} = \frac{2}{2} = 1

y_S = \frac{-1+3}{2} = \frac{2}{2} = 1

Nasz środek to

S(1, 1)

2 Równanie prostej (Kierunkowa vs Ogólna)

Prosta na płaszczyźnie może być zapisana na dwa sposoby. Twoim celem w większości zadań jest doprowadzenie jej do formy kierunkowej, bo z niej "widać" najwięcej.

Postać Kierunkowa

y = ax + b

Wyizolowany "y" po lewej stronie. To postać idealna! Dzięki niej od razu widzimy współczynnik kierunkowy $a$ , bez którego nie da się sprawdzić prostopadłości ani równoległości prostych.

Postać Ogólna

Ax + By + C = 0

Wszystko rzucone na lewą stronę, a po prawej samo zero. Jeśli CKE podaje Ci prostą w tej postaci (np. $2x - y + 5 = 0$ ), najpierw przenieś wszystko by odzyskać sam $y$ (wtedy $y = 2x + 5$ ).

🔍 Jak wyznaczyć równanie z 2 punktów?

Jeśli zadanie pyta o równanie prostej przechodzącej przez punkty $A$ i $B$ , musisz zbudować układ równań. W miejsce $x$ i $y$ ze wzoru $y=ax+b$ wstawiasz współrzędne najpierw punktu A, a pod spodem punktu B.

Wzór ogólny:

y = ax + b

Dla

A(1, 2)

B(-1, -4)

\begin{cases} 2 = a \cdot 1 + b \\ -4 = a \cdot (-1) + b \end{cases}

Rozwiązujesz ten prosty układ i odnajdujesz szukane współczynniki "a" oraz "b".

3 Proste równoległe i prostopadłe

CKE absolutnie uwielbia ten motyw. Dostajesz dwie proste i musisz sprawdzić, w jakiej są relacji, albo wyznaczyć jakiś parametr $m$ , by go spełniały. Pamiętaj: Skupiamy się wyłącznie na współczynniku "a" (czyli liczbie stojącej przy iksie w postaci kierunkowej).

Proste Równoległe (||)

Lecą w tym samym kierunku (nigdy się nie przetną), więc ich kąty nachylenia (i współczynniki) są identyczne.

a_1 = a_2

Np. $y = \mathbf{3}x - 5$ oraz $y = \mathbf{3}x + 10$

Proste Prostopadłe (⊥)

Przecinają się pod kątem 90°. Nowy współczynnik musi być odwrotny i przeciwny (ich iloczyn daje -1).

a_1 \cdot a_2 = -1

Np. $y = \mathbf{\frac{2}{3}}x - 4$ oraz $y = \mathbf{-\frac{3}{2}}x + 5$

4 Równanie okręgu (Pułapka ze znakami)

W geometrii analitycznej figurą też można opisać równaniem! Równanie okręgu o środku $S=(a, b)$ i promieniu $r$ to jeden z najważniejszych wzorów, z którym wiąże się słynna pułapka maturalna.

(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2

Zasada zmiany znaków: Gdy odczytujesz środek $S=(a, b)$ z gotowego równania w nawiasach, zawsze musisz odwrócić ich znaki!

Przykład z matury: Okrąg $(x - 2)^2 + (y + 5)^2 = 16$

Środek ma współrzędne: $S = (2, -5)$ .
Promień to pierwiastek z prawej strony: $r = \sqrt{16} = 4$ .

5 Symetrie w układzie współrzędnych

Wyobraź sobie osie układu jako lustra. Przekształcanie punktu przez symetrię polega na zmianie znaków odpowiednich współrzędnych. To darmowy punkt, o ile nie pomylisz osi.

Względem osi OX

Lustrem jest podłoga (odwracasz górę z dołem). Zmieniamy znak Y.

(x, y) \rightarrow (x, -y)

Względem osi OY

Lustrem jest pionowa ściana (lewo zamienia się z prawą). Zmieniamy znak X.

(x, y) \rightarrow (-x, y)

Względem pkt. (0,0)

To tzw. symetria środkowa. Przerzuca na ukos. Zmieniamy znaki OBU liczb.

(x, y) \rightarrow (-x, -y)

💡

PRO TIP: Czy punkt należy do prostej/okręgu?

Pytanie "Czy punkt

P(3, 5)

należy do prostej

y = 2x - 1

?" to najprostsze zadanie z możliwych. Po prostu podstaw pierwszą współrzędną za

x

, a drugą za

y

. Podstawiamy:

5 = 2 \cdot 3 - 1

daje

5 = 5

. Wyszła prawda, więc punkt należy! To samo zadziała w równaniu okręgu.

Układ współrzędnych oswojony?

Pamiętaj, że zawsze możesz sobie narysować szybki układ współrzędnych na brudnopisie w prawym rogu arkusza, żeby wzrokowo sprawdzić wynik równania. Zmierz się z zadaniami maturalnymi w naszym teście!

Rozwiąż Quiz z Geometrii Analitycznej 🚀

Teoria opanowana? Czas na praktykę!

Baza Quizów Maturalnych

Lista Pewniaków CKE