Trygonometria

Wstęp: Nie taki diabeł straszny

Trygonometria wielu maturzystom spędza sen z powiek, ale na poziomie podstawowym sprowadza się zaledwie do jednej definicji na trójkącie, dwóch wzorów i jednej tabelki. Wszystkie te rzeczy i tak masz zapisane w oficjalnych tablicach CKE! Kluczem jest wiedzieć, kiedy z nich skorzystać, nie mylić ze sobą przeciwprostokątnej z przyprostokątną i pamiętać o potężnej pułapce ze znakiem przy kątach rozwartych.

📋 Spis treści

Fundamenty (Definicje)

1 Funkcje w trójkącie prostokątnym (Boki)
2 Tabelka wartości (30°, 45°, 60°)

Wzory i Tożsamości

3 Jedynka Trygonometryczna i Wzór na Tangens
4 Kąty w układzie współrzędnych (Pułapka znaku!)
5 Pole trójkąta z sinusem
6 Związki i kąty szczególne
7 Zadania z treścią

Funkcje w trójkącie prostokątnym

Czym w ogóle jest ten "sinus"? To tylko matematyczna nazwa na stosunek długości dwóch boków w trójkącie, który ma kąt 90°. Jeśli podzielisz długość jednego boku przez długość drugiego boku, otrzymasz właśnie wartość konkretnej funkcji trygonometrycznej dla zadanego kąta $\alpha$ .

Sinus (

\sin\alpha

)

Bok naprzeciwko przez najdłuższy.

\frac{a}{c}

Cosinus (

\cos\alpha

)

Bok obok kąta przez najdłuższy.

\frac{b}{c}

Tangens (

\text{tg}\alpha

)

Bok naprzeciwko przez bok obok.

\frac{a}{b}

Tabelka wartości (30°, 45°, 60°)

W zadaniach z planimetrii (np. pole rombu) i stereometrii często musisz obliczyć bok znając wyłącznie jeden kąt. Zamiast męczyć się z układaniem równań od zera, po prostu odczytujesz te stałe wartości z tabeli. Masz ją na pierwszej stronie w tablicach CKE, ale warto pamiętać jej ułożenie!

Kąt $\alpha$	30°	45°	60°
$\sin\alpha$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\cos\alpha$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$
$\text{tg}\alpha$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$1$	$\sqrt{3}$

💡

PRO TIP: Zauważ schemat!

Zauważ, że sinus rośnie od $\frac{1}{2}$ do $\frac{\sqrt{3}}{2}$ , a cosinus maleje w dokładnie odwrotnej kolejności. Wartość dla kąta 45° w obu tych przypadkach jest identyczna i wynosi równe: $\frac{\sqrt{2}}{2}$ . Jeśli znasz jedno, od razu wiesz drugie.

Jedynka Trygonometryczna i Wzór na Tangens

Najważniejszy wzór na całym arkuszu maturalnym. Jeśli zadanie podaje Ci wartość jednej funkcji trygonometrycznej (np. $\sin\alpha = \frac{3}{5}$ ) i prosi o wyliczenie cosinusa lub tangensa, zawsze musisz użyć jedynki trygonometrycznej.

Królowa Wzorów

\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1

Uwaga na zapis! Pamiętaj, że $\sin^2\alpha$ to dokładnie to samo co podniesienie całego sinusa do kwadratu, czyli $(\sin\alpha)^2$ . Kwadrat dotyczy funkcji, a nie kąta!

Wzór na Tangens

\text{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}

W ułamkach algebraicznych z tangensem, Twoim pierwszym odruchem powinna być natychmiastowa zamiana $\text{tg}\alpha$ na ten "piętrowy" ułamek. Zazwyczaj wszystko się wtedy ładnie skraca.

Kąty rozwarte (od 90° do 180°) - Pułapka znaku!

W zadaniach z geometrii często spotkasz trójkąty rozwartokątne lub równoległoboki. Kąt w nich jest większy niż 90° (np. 120°). Gdy wpiszemy taki kąt w układ współrzędnych, jego ramię przejdzie na drugą stronę osi Y!

Spójrz na rysunek. Punkt P(x, y) wylądował po lewej stronie osi pionowej. Oznacza to, że jego współrzędna X stała się ujemna, a Y pozostał dodatni.

Sinus (+) jest powiązany ze współrzędną Y. Skoro Y jest u góry (na plusie), sinus kąta rozwartego jest zawsze dodatni!
Cosinus (-) jest powiązany ze współrzędną X. Skoro X uciekł na lewo (na minus), cosinus kąta rozwartego jest zawsze ujemny!

Wniosek maturalny: Jeśli z jedynki trygonometrycznej wyliczysz $\cos^2\alpha = \frac{1}{4}$ , a w zadaniu podano, że trójkąt jest rozwartokątny, to $\cos\alpha$ to nie $\frac{1}{2}$ , lecz $-\frac{1}{2}$ .

5 Pole trójkąta z sinusem

To jedyny wzór na pole, który nie wymaga wysokości — wystarczą dwa boki i kąt między nimi. Na maturze podstawowej pojawia się regularnie, bo pozwala policzyć pole trójkąta, którego wysokości w ogóle nie widać.

P = \frac{1}{2}ab\sin\gamma

Kąt musi leżeć między tymi dwoma bokami. To jedyny warunek i jednocześnie najczęstszy błąd — wzięcie kąta leżącego naprzeciw jednego z boków daje wynik, który wygląda wiarygodnie i jest zły.

Dla trójkąta równobocznego o boku

a

podstawiasz

\gamma = 60°

i dostajesz znany wzór

P = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}

. Warto wiedzieć, że jeden wynika z drugiego.

Ten sam wzór działa dla równoległoboku, tylko bez połówki:

P = ab\sin\alpha

— bo równoległobok to dwa takie trójkąty.

Dlaczego to działa

Wysokość opuszczona na bok $a$ to $h = b\sin\gamma$ — wprost z definicji sinusa w trójkącie prostokątnym, który powstaje po jej narysowaniu. Podstawiasz to do $P = \frac{1}{2}ah$ i masz cały wzór. Ta obserwacja bywa przydatna również wtedy, gdy zadanie prosi wprost o wysokość, a nie o pole.

6 Związki między funkcjami i kąty szczególne

Kąty dopełniające się do 90°. W trójkącie prostokątnym to, co dla jednego kąta ostrego jest przyprostokątną przyległą, dla drugiego jest przeciwległą. Stąd: $\sin(90° - \alpha) = \cos\alpha$ oraz $\cos(90° - \alpha) = \sin\alpha$ . Dlatego $\sin 70° = \cos 20°$ — to gotowa odpowiedź na typowe pytanie zamknięte.

Wartości graniczne. $\sin 0° = 0$ , $\cos 0° = 1$ , $\sin 90° = 1$ , $\cos 90° = 0$ . Tangens 90° nie istnieje, bo w mianowniku byłoby zero — i to też bywa odpowiedzią.

Zakres wartości. Sinus i cosinus zawsze mieszczą się w przedziale od $-1$ do 1. Jeśli z rachunku wyjdzie $\sin\alpha = 1{,}4$ , gdzieś jest błąd — to najszybszy test poprawności w całym dziale. Tangens natomiast przyjmuje dowolne wartości.

Monotoniczność dla kątów ostrych. Gdy kąt rośnie od 0° do 90°, sinus i tangens rosną, a cosinus maleje. Stąd bez tabelki wiadomo, że $\cos 50° < \cos 40°$ .

Z jedynki w obie strony

Typowe polecenie: „wiedząc, że

\sin\alpha = \frac{3}{5}

i kąt jest ostry, oblicz

\cos\alpha

\operatorname{tg}\alpha

Z jedynki:

\cos^2\alpha = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}

, więc

\cos\alpha = \frac{4}{5}

Potem

\operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{3}{4}

Pierwiastek daje dwa znaki — dodatni wybierasz dlatego, że kąt jest ostry. Gdyby treść dopuszczała kąt rozwarty, cosinus byłby ujemny. Zdanie uzasadniające wybór znaku jest częścią punktowanej odpowiedzi.

7 Trygonometria w zadaniach z treścią

Na maturze podstawowej trygonometria prawie nigdy nie występuje sama — jest narzędziem w zadaniu o geometrii płaskiej albo przestrzennej. Warto znać sytuacje, w których się pojawia.

Kąt nachylenia i wysokość. Drzewo, maszt, zbocze, drabina — zawsze powstaje trójkąt prostokątny, w którym znasz kąt i jeden bok. Dobierasz funkcję według tego, które boki są w grze: przeciwległy i przeciwprostokątna to sinus, przyległy i przeciwprostokątna to cosinus, obie przyprostokątne to tangens.
Kąt nachylenia prostej do osi $OX$ . Współczynnik kierunkowy to dokładnie tangens tego kąta: $a = \operatorname{tg}\alpha$ . Prosta o współczynniku 1 jest nachylona pod kątem 45°.
Przekątna i kąt w prostokącie albo w rombie — przekątne dzielą figurę na trójkąty prostokątne, w których trygonometria wiąże boki z kątami.
Trapez i trójkąt rozwartokątny. Opuszczasz wysokość, powstaje trójkąt prostokątny i dalej działasz standardowo. Uwaga: w trójkącie rozwartokątnym spodek wysokości wypada poza bokiem, i wtedy przydaje się wzór na pole z sinusem z sekcji piątej.
Stereometria. Kąt nachylenia krawędzi bocznej do podstawy albo ściany bocznej do podstawy — zawsze sprowadza się do trójkąta prostokątnego wewnątrz bryły.

Na co uważać

Funkcje trygonometryczne opisują tylko trójkąt prostokątny. Jeśli kąta prostego nie ma, najpierw go zrób, opuszczając wysokość.
Nie zaokrąglaj po drodze. Zostaw wynik w postaci dokładnej, z pierwiastkiem, aż do ostatniego kroku. Zaokrąglenie w środku rachunku potrafi przesunąć odpowiedź na tyle, że przestaje mieścić się w kryteriach.
Sprawdź, o co pytają. Czasem treść prosi o kąt, a nie o bok — wtedy odpowiedzią jest wartość funkcji trygonometrycznej i odczytanie kąta z tabeli, a nie długość.

Trygonometria w jednym palcu?

Użyj zdobytej przed chwilą wiedzy i sprawdź, czy bez zająknięcia wyliczysz z jedynki wartości funkcji dla kątów ostrych i rozwartych w prawdziwych zadaniach CKE.

Rozwiąż Quiz z Trygonometrii 🚀

Potrzebujesz kogoś, kto to wytłumaczy?

Teoria opanowana? Czas na praktykę!

Baza Quizów Maturalnych

Lista Pewniaków CKE