Trygonometria

Wstęp: Nie taki diabeł straszny

Trygonometria wielu maturzystom spędza sen z powiek, ale na poziomie podstawowym sprowadza się zaledwie do jednej definicji na trójkącie, dwóch wzorów i jednej tabelki. Wszystkie te rzeczy i tak masz zapisane w oficjalnych tablicach CKE! Kluczem jest wiedzieć, kiedy z nich skorzystać, nie mylić ze sobą przeciwprostokątnej z przyprostokątną i pamiętać o potężnej pułapce ze znakiem przy kątach rozwartych.

📋 Spis treści

Fundamenty (Definicje)

1 Funkcje w trójkącie prostokątnym (Boki)
2 Tabelka wartości (30°, 45°, 60°)

Wzory i Tożsamości

3 Jedynka Trygonometryczna i Wzór na Tangens
4 Kąty w układzie współrzędnych (Pułapka znaku!)

Funkcje w trójkącie prostokątnym

Czym w ogóle jest ten "sinus"? To tylko matematyczna nazwa na stosunek długości dwóch boków w trójkącie, który ma kąt 90°. Jeśli podzielisz długość jednego boku przez długość drugiego boku, otrzymasz właśnie wartość konkretnej funkcji trygonometrycznej dla zadanego kąta $\alpha$ .

Sinus (

\sin\alpha

)

Bok naprzeciwko przez najdłuższy.

\frac{a}{c}

Cosinus (

\cos\alpha

)

Bok obok kąta przez najdłuższy.

\frac{b}{c}

Tangens (

\text{tg}\alpha

)

Bok naprzeciwko przez bok obok.

\frac{a}{b}

Tabelka wartości (30°, 45°, 60°)

W zadaniach z planimetrii (np. pole rombu) i stereometrii często musisz obliczyć bok znając wyłącznie jeden kąt. Zamiast męczyć się z układaniem równań od zera, po prostu odczytujesz te stałe wartości z tabeli. Masz ją na pierwszej stronie w tablicach CKE, ale warto pamiętać jej ułożenie!

Kąt $\alpha$	30°	45°	60°
$\sin\alpha$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\cos\alpha$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$
$\text{tg}\alpha$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$1$	$\sqrt{3}$

💡

PRO TIP: Zauważ schemat!

Zauważ, że sinus rośnie od $\frac{1}{2}$ do $\frac{\sqrt{3}}{2}$ , a cosinus maleje w dokładnie odwrotnej kolejności. Wartość dla kąta 45° w obu tych przypadkach jest identyczna i wynosi równe: $\frac{\sqrt{2}}{2}$ . Jeśli znasz jedno, od razu wiesz drugie.

Jedynka Trygonometryczna i Wzór na Tangens

Najważniejszy wzór na całym arkuszu maturalnym. Jeśli zadanie podaje Ci wartość jednej funkcji trygonometrycznej (np. $\sin\alpha = \frac{3}{5}$ ) i prosi o wyliczenie cosinusa lub tangensa, zawsze musisz użyć jedynki trygonometrycznej.

Królowa Wzorów

\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1

Uwaga na zapis! Pamiętaj, że $\sin^2\alpha$ to dokładnie to samo co podniesienie całego sinusa do kwadratu, czyli $(\sin\alpha)^2$ . Kwadrat dotyczy funkcji, a nie kąta!

Wzór na Tangens

\text{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}

W ułamkach algebraicznych z tangensem, Twoim pierwszym odruchem powinna być natychmiastowa zamiana $\text{tg}\alpha$ na ten "piętrowy" ułamek. Zazwyczaj wszystko się wtedy ładnie skraca.

Kąty rozwarte (od 90° do 180°) - Pułapka znaku!

W zadaniach z geometrii często spotkasz trójkąty rozwartokątne lub równoległoboki. Kąt w nich jest większy niż 90° (np. 120°). Gdy wpiszemy taki kąt w układ współrzędnych, jego ramię przejdzie na drugą stronę osi Y!

Spójrz na rysunek. Punkt P(x, y) wylądował po lewej stronie osi pionowej. Oznacza to, że jego współrzędna X stała się ujemna, a Y pozostał dodatni.

Sinus (+) jest powiązany ze współrzędną Y. Skoro Y jest u góry (na plusie), sinus kąta rozwartego jest zawsze dodatni!
Cosinus (-) jest powiązany ze współrzędną X. Skoro X uciekł na lewo (na minus), cosinus kąta rozwartego jest zawsze ujemny!

Wniosek maturalny: Jeśli z jedynki trygonometrycznej wyliczysz $\cos^2\alpha = \frac{1}{4}$ , a w zadaniu podano, że trójkąt jest rozwartokątny, to $\cos\alpha$ to nie $\frac{1}{2}$ , lecz $-\frac{1}{2}$ .

Trygonometria w jednym palcu?

Użyj zdobytej przed chwilą wiedzy i sprawdź, czy bez zająknięcia wyliczysz z jedynki wartości funkcji dla kątów ostrych i rozwartych w prawdziwych zadaniach CKE.

Rozwiąż Quiz z Trygonometrii 🚀

Teoria opanowana? Czas na praktykę!

Baza Quizów Maturalnych

Lista Pewniaków CKE