Przejdź do treści
ŚredniWaga: 4-6 pkt

Funkcja Kwadratowa

Wszystko, co musisz wiedzieć na maturę. Delta, wierzchołek, postać kanoniczna, iloczynowa i rysowanie wykresów. To pewniak 100%.

Funkcja kwadratowa wraca na maturze podstawowej w kilku odsłonach: delta i miejsca zerowe, wierzchołek, przejście między postacią ogólną, kanoniczną i iloczynową. Zadania różnią się liczbami, nie procedurą — zawsze zaczynasz od wypisania trzech współczynników. Osobnej uwagi wymagają minusy: gdy współczynnik przy kwadracie jest ujemny, we wzorach na miejsca zerowe dzielisz przez liczbę ujemną. Kiedy taki błąd się pojawia, pytamy wprost, co się stało z minusem. Tłumaczymy, że minus należy do liczby — to liczba jest ujemna, a nie znak stoi sobie obok — i wtedy przestaje się gubić po drodze.

  1. Co to jest parabola?

Funkcja kwadratowa to funkcja opisana wzorem f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + c. Jej wykresem jest krzywa zwana parabolą. Najważniejszą rzeczą na start jest współczynnik aa:

  • Gdy a > 0 (Uśmiechnięta)

    Ramiona paraboli idą w górę. Funkcja ma wartość najmniejszą w wierzchołku.

  • Gdy a < 0 (Smutna) Ramiona paraboli idą w dół. Funkcja ma wartość największą w wierzchołku.

Przykład: a=1a=1 (Ramiona w górę)

f(x) = x² - 2x - 3

Przykład: a=−1a=-1 (Ramiona w dół)

f(x) = -x² + 2x + 3

  1. Trzy Święte Postaci Funkcji

Na maturze musisz płynnie przechodzić między tymi trzema wzorami.

STANDARD

Postać Ogólna

Z niej odczytujesz a,b,ca, b, c potrzebne do Delty.

f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+c

WIERZCHOŁKOWA

Postać Kanoniczna

Widać w niej wierzchołek W=(p,q)W=(p, q). Uwaga na minus przy pp!

f(x)=a(x−p)2+qf(x)=a(x-p)^2+q

MIEJSCA ZEROWE

Postać Iloczynowa

Istnieje tylko, gdy Δ≥0\Delta \ge 0. x1,x2x_1, x_2 to miejsca przecięcia z osią X.

f(x)=a(x−x1)(x−x2)f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)

  1. Najważniejsze Wzory (Delta i Wierzchołek)

Wyróżnik Trójmianu (Delta)

Δ=b2−4ac\Delta = b^2 - 4ac
  • Δ>0\Delta > 0: Dwa miejsca zerowe
  • Δ=0\Delta = 0: Jedno miejsce zerowe
  • Δ<0\Delta < 0: Brak miejsc zerowych

Wierzchołek Paraboli W(p, q)

Współrzędna Xp=−b2ap = \frac{-b}{2a}
Współrzędna Yq=−Δ4aq = \frac{-\Delta}{4a}

*Tip: qq możesz też policzyć podstawiając pp do wzoru: q=f(p)q = f(p).

Zadania: Wierzchołek i Postać Kanoniczna

Zadanie

Dana jest funkcja kwadratowa:
f(x)=x2−6x+8f(x) = x^2 - 6x + 8
Wyznacz współrzędne wierzchołka paraboli oraz zapisz wzór w postaci kanonicznej.
💡 Pokaż rozwiązanie krok po kroku▼
  • 1

    Krok 1: Wypisz współczynniki

    a=1a = 1, b=−6b = -6, c=8c = 8.

  • 2
    Krok 2: Oblicz p
    Korzystamy ze wzoru:
    p=−b2a=−(−6)2⋅1=62=3p = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-6)}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3
  • 3

    Krok 3: Oblicz q (Sposób szybki)

    Podstawiamy trójkę do wzoru funkcji:
    q=f(3)=32−6⋅3+8q = f(3) = 3^2 - 6\cdot3 + 8
    q=9−18+8=−1q = 9 - 18 + 8 = -1

    Wierzchołek: W=(3,−1)W=(3, -1).

  • 4
    Krok 4: Zapisz postać kanoniczną
    Wzór: f(x)=a(x−p)2+qf(x) = a(x-p)^2 + q.
    f(x)=(x−3)2−1f(x) = (x-3)^2 - 1

Sprawdźmy to na wykresie. Zobacz, gdzie jest wierzchołek:

f(x) = x² - 6x + 8

Zadania: Miejsca Zerowe i Delta

Zadanie

Rozwiąż równanie (znajdź miejsca zerowe):
−x2+2x+3=0-x^2 + 2x + 3 = 0
💡 Pokaż rozwiązanie krok po kroku▼
  • 1

    Krok 1: Wypisz współczynniki

    Uważaj na minusy!

    a=−1a = -1, b=2b = 2, c=3c = 3.

  • 2
    Krok 2: Policz Deltę
    Δ=22−4⋅(−1)⋅3\Delta = 2^2 - 4 \cdot (-1) \cdot 3
    Δ=4−(−12)=4+12=16\Delta = 4 - (-12) = 4 + 12 = 16
    Delta dodatnia, więc są dwa rozwiązania.

    Pierwiastek z delty: Δ=4\sqrt{\Delta} = 4.

  • 3
    Krok 3: Oblicz x1 i x2
    x1=−b−Δ2ax_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}
    x1=−2−42⋅(−1)=−6−2=3x_1 = \frac{-2 - 4}{2 \cdot (-1)} = \frac{-6}{-2} = 3
    x2=−b+Δ2ax_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}
    x2=−2+42⋅(−1)=2−2=−1x_2 = \frac{-2 + 4}{2 \cdot (-1)} = \frac{2}{-2} = -1
    Odpowiedź: x∈{−1,3}x \in \{-1, 3\}.

⚠️ Uwaga na minusy w mianowniku!

Gdy aa jest ujemne (jak wyżej −1-1), w mianowniku wzorów na x1,x2x_1, x_2 będziesz dzielić przez liczbę ujemną. Pamiętaj: −6−2=3\frac{-6}{-2} = 3 (minus i minus daje plus).

Przeczytaj też
Strategia na arkusz maturalny

Budżet czasu na 180 minut, kolejność rozwiązywania zadań i moment, w którym trzeba odpuścić zadanie.

← Poprzedni PewniakCiągi Arytmetyczne i GeometryczneNastępny Pewniak →Geometria Analityczna: Prosta i Odcinek
Sprawdź wiedzę

Test: Funkcje i równania

Rozwiąż szybki test i zobacz, czy opanowałeś materiał.

Pytanie 1 / 10Excel
Współrzędne wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji f(x)=x2−4x+5f(x) = x^2 - 4x + 5 to:

Nadal czujesz się niepewnie?

To tylko jeden z pewniaków. Na kursie przechodzimy przez nie wszystkie, krok po kroku, aż poczujesz ten spokój.

Pomóżcie mi zdać maturę!