Funkcja Kwadratowa

Funkcja kwadratowa wraca na maturze podstawowej w kilku odsłonach: delta i miejsca zerowe, wierzchołek, przejście między postacią ogólną, kanoniczną i iloczynową. Zadania różnią się liczbami, nie procedurą — zawsze zaczynasz od wypisania trzech współczynników. Osobnej uwagi wymagają minusy: gdy współczynnik przy kwadracie jest ujemny, we wzorach na miejsca zerowe dzielisz przez liczbę ujemną. Kiedy taki błąd się pojawia, pytamy wprost, co się stało z minusem. Tłumaczymy, że minus należy do liczby — to liczba jest ujemna, a nie znak stoi sobie obok — i wtedy przestaje się gubić po drodze.

Co to jest parabola?

Funkcja kwadratowa to funkcja opisana wzorem $f(x) = ax^2 + bx + c$ . Jej wykresem jest krzywa zwana parabolą. Najważniejszą rzeczą na start jest współczynnik $a$ :

Gdy a > 0 (Uśmiechnięta)
Ramiona paraboli idą w górę. Funkcja ma wartość najmniejszą w wierzchołku.
Gdy a < 0 (Smutna) Ramiona paraboli idą w dół. Funkcja ma wartość największą w wierzchołku.

Przykład: $a=1$ (Ramiona w górę)

Matura Podstawowaf(x) = x² - 2x - 3

Przykład: $a=-1$ (Ramiona w dół)

Matura Podstawowaf(x) = -x² + 2x + 3

Trzy Święte Postaci Funkcji

Na maturze musisz płynnie przechodzić między tymi trzema wzorami.

STANDARD

Postać Ogólna

Z niej odczytujesz $a, b, c$ potrzebne do Delty.

f(x)=ax^2+bx+c

WIERZCHOŁKOWA

Postać Kanoniczna

Widać w niej wierzchołek $W=(p, q)$ . Uwaga na minus przy $p$ !

f(x)=a(x-p)^2+q

MIEJSCA ZEROWE

Postać Iloczynowa

Istnieje tylko, gdy $\Delta \ge 0$ . $x_1, x_2$ to miejsca przecięcia z osią X.

f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)

Najważniejsze Wzory (Delta i Wierzchołek)

Wyróżnik Trójmianu (Delta)

\Delta = b^2 - 4ac

$\Delta > 0$ : Dwa miejsca zerowe
$\Delta = 0$ : Jedno miejsce zerowe
$\Delta < 0$ : Brak miejsc zerowych

Wierzchołek Paraboli W(p, q)

Współrzędna X

p = \frac{-b}{2a}

Współrzędna Y

q = \frac{-\Delta}{4a}

*Tip: $q$ możesz też policzyć podstawiając $p$ do wzoru: $q = f(p)$ .

Zadania: Wierzchołek i Postać Kanoniczna

Zadanie

Dana jest funkcja kwadratowa:

f(x) = x^2 - 6x + 8

Wyznacz współrzędne wierzchołka paraboli oraz zapisz wzór w postaci kanonicznej.

💡 Pokaż rozwiązanie krok po kroku▼

1
Krok 1: Wypisz współczynniki
$a = 1$ , $b = -6$ , $c = 8$ .
2
Krok 2: Oblicz p
Korzystamy ze wzoru:
$p = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-6)}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3$
3
Krok 3: Oblicz q (Sposób szybki)
Podstawiamy trójkę do wzoru funkcji:
$q = f(3) = 3^2 - 6\cdot3 + 8$
$q = 9 - 18 + 8 = -1$
Wierzchołek: $W=(3, -1)$ .
4
Krok 4: Zapisz postać kanoniczną
Wzór: $f(x) = a(x-p)^2 + q$ .
$f(x) = (x-3)^2 - 1$

Sprawdźmy to na wykresie. Zobacz, gdzie jest wierzchołek:

Matura Podstawowaf(x) = x² - 6x + 8

Zadania: Miejsca Zerowe i Delta

Zadanie

Rozwiąż równanie (znajdź miejsca zerowe):

-x^2 + 2x + 3 = 0

💡 Pokaż rozwiązanie krok po kroku▼

1
Krok 1: Wypisz współczynniki
Uważaj na minusy!
$a = -1$ , $b = 2$ , $c = 3$ .
2
Krok 2: Policz Deltę
$\Delta = 2^2 - 4 \cdot (-1) \cdot 3$
$\Delta = 4 - (-12) = 4 + 12 = 16$
Delta dodatnia, więc są dwa rozwiązania.
Pierwiastek z delty: $\sqrt{\Delta} = 4$ .
3
Krok 3: Oblicz x1 i x2
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$
$x_1 = \frac{-2 - 4}{2 \cdot (-1)} = \frac{-6}{-2} = 3$
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$
$x_2 = \frac{-2 + 4}{2 \cdot (-1)} = \frac{2}{-2} = -1$
Odpowiedź: $x \in \{-1, 3\}$ .

⚠️ Uwaga na minusy w mianowniku!

Gdy $a$ jest ujemne (jak wyżej $-1$ ), w mianowniku wzorów na $x_1, x_2$ będziesz dzielić przez liczbę ujemną. Pamiętaj: $\frac{-6}{-2} = 3$ (minus i minus daje plus).

Nierówność kwadratowa — trzy kroki i rysunek

To najczęstsze zadanie z tego działu na maturze podstawowej i jednocześnie miejsce, w którym najwięcej osób gubi punkty — nie przez rachunki, tylko przez wybranie złego kawałka osi. Schemat jest zawsze ten sam i nie wymaga pamiętania żadnych reguł o znakach.

Przenieś wszystko na lewą stronę, żeby po prawej zostało zero.
Policz miejsca zerowe (delta i wzory na $x_1, x_2$ ).
Narysuj parabolę — ramiona w górę przy $a > 0$ , w dół przy $a < 0$ — i zaznacz, gdzie wykres jest nad osią, a gdzie pod nią.

Przykład.

x^2 - 5x + 6 \le 0

Miejsca zerowe:

x_1 = 2

x_2 = 3

Ramiona w górę, więc wykres jest pod osią między miejscami zerowymi.

Odpowiedź:

x \in \langle 2, 3 \rangle

Cztery rzeczy, na których to się sypie:

1. Mnożenie nierówności przez ujemną liczbę odwraca znak. Przy

-x^2 + 4 > 0

albo rysujesz parabolę ramionami w dół, albo mnożysz przez

-1

i zmieniasz

>

<

2. Nawiasy. Znak

\le

daje przedział domknięty (ostre nawiasy),

<

— otwarty.

3. Gdy delta jest ujemna, wykres nie przecina osi. Wtedy

x^2 + x + 5 > 0

jest prawdziwe dla każdego

x

, a ta sama nierówność ze znakiem

<

nie ma rozwiązań. Odpowiedź „brak rozwiązań" też jest odpowiedzią.

4. Gdy delta jest zerem, parabola dotyka osi w jednym punkcie.

(x-3)^2 \ge 0

to wszystkie liczby rzeczywiste, ale

(x-3)^2 > 0

to wszystkie oprócz trójki.

Wzory Viète'a: pytanie o pierwiastki bez ich liczenia

Gdy treść pyta o sumę albo iloczyn pierwiastków, o to, czy są tego samego znaku, albo podaje warunek w rodzaju $x_1^2 + x_2^2 = 10$ — nie licz pierwiastków. Wzory Viète'a dają odpowiedź wprost z współczynników.

x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}

x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}

Obowiązują tylko wtedy, gdy pierwiastki istnieją, czyli przy $\Delta \ge 0$ . Ten warunek trzeba zapisać w rozwiązaniu — bez niego zadanie z parametrem traci punkt.

Przekształcenie, które warto znać:

x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2

. Podstawiasz wzory Viète'a i całe zadanie zamienia się w równanie z jedną niewiadomą.

Znaki pierwiastków: iloczyn dodatni oznacza te same znaki, ujemny — przeciwne. O tym, czy oba są dodatnie, rozstrzyga dopiero suma.

Wartość największa i najmniejsza w przedziale

Zadanie optymalizacyjne z podstawy prawie zawsze sprowadza się do paraboli: pole prostokąta o danym obwodzie, zysk zależny od ceny, wysokość rzutu. Odpowiedzią jest wierzchołek — ale tylko wtedy, gdy mieści się w dozwolonym przedziale.

Gdy wierzchołek należy do przedziału — to on daje wartość najmniejszą (ramiona w górę) albo największą (ramiona w dół).

Gdy nie należy — funkcja jest w tym przedziale monotoniczna, więc skrajne wartości są na jego końcach. Wystarczy policzyć obie i porównać.

Przy

a > 0

wierzchołek daje minimum, a wartości największej na całej prostej po prostu nie ma. Napisanie „nie istnieje" bywa poprawną odpowiedzią i warto się jej nie bać.

W zadaniach tekstowych sprawdź dziedzinę. Bok prostokąta nie bywa ujemny ani dłuższy niż połowa obwodu, liczba sprzedanych sztuk jest naturalna. Jeśli wierzchołek wypada poza tym zakresem, odpowiedzią jest koniec przedziału — a uzasadnienie dziedziny to osobny punkt w kryteriach.

Przesunięcia wykresu i zbiór wartości

$f(x) + q$ — przesunięcie w pionie o $q$ (w górę dla dodatniego).
$f(x - p)$ — przesunięcie w poziomie o $p$ w prawo. Minus w nawiasie oznacza ruch w prawo — to wygląda odwrotnie, niż podpowiada intuicja, i właśnie dlatego jest pytane.
$-f(x)$ — odbicie względem osi $OX$ ; $f(-x)$ — względem osi $OY$ .
Postać kanoniczna $a(x-p)^2 + q$ to po prostu parabola $y = ax^2$ przesunięta o wektor $[p, q]$ . Stąd wierzchołek $W(p, q)$ widać od razu, bez liczenia delty.

Zbiór wartości odczytujesz z drugiej współrzędnej wierzchołka: dla

a > 0

jest to

\langle q, +\infty)

, dla

a < 0

—

(-\infty, q\rangle

Monotoniczność: wierzchołek dzieli oś na dwa przedziały, w których funkcja jest kolejno malejąca i rosnąca (albo odwrotnie). Granicę zawsze wyznacza

p

, nigdy zero.

Równania dwukwadratowe typu

x^4 - 5x^2 + 4 = 0

rozwiązujesz podstawieniem

t = x^2

z warunkiem

t \ge 0

, a na końcu wracasz do

x

. Zatrzymanie się na wartościach

t

to gotowa strata punktów.

Przeczytaj też

Strategia na arkusz maturalny

Budżet czasu na 180 minut, kolejność rozwiązywania zadań i moment, w którym trzeba odpuścić zadanie.

Co to jest parabola?

Trzy Święte Postaci Funkcji

Postać Ogólna

Postać Kanoniczna

Postać Iloczynowa

Najważniejsze Wzory (Delta i Wierzchołek)

Wyróżnik Trójmianu (Delta)

Wierzchołek Paraboli W(p, q)

Zadania: Wierzchołek i Postać Kanoniczna

Zadanie

Zadania: Miejsca Zerowe i Delta

Zadanie

⚠️ Uwaga na minusy w mianowniku!

Nierówność kwadratowa — trzy kroki i rysunek

Wzory Viète'a: pytanie o pierwiastki bez ich liczenia

Wartość największa i najmniejsza w przedziale

Przesunięcia wykresu i zbiór wartości

Potrzebujesz kogoś, kto to wytłumaczy?

Test: Funkcje i równania

Nadal czujesz się niepewnie?

Co to jest parabola?

Trzy Święte Postaci Funkcji

Postać Ogólna

Postać Kanoniczna

Postać Iloczynowa

Najważniejsze Wzory (Delta i Wierzchołek)

Wyróżnik Trójmianu (Delta)

Wierzchołek Paraboli W(p, q)

Zadania: Wierzchołek i Postać Kanoniczna

Zadanie

Zadania: Miejsca Zerowe i Delta

Zadanie

⚠️ Uwaga na minusy w mianowniku!

Nierówność kwadratowa — trzy kroki i rysunek

Wzory Viète'a: pytanie o pierwiastki bez ich liczenia

Wartość największa i najmniejsza w przedziale

Przesunięcia wykresu i zbiór wartości

Potrzebujesz kogoś, kto to wytłumaczy?

Test: Funkcje i równania 🧠

Nadal czujesz się niepewnie?

Test: Funkcje i równania