Liczby rzeczywiste

Wstęp: Najważniejsze darmowe punkty na maturze

Dział Liczby Rzeczywiste to absolutna podstawa Twojego sukcesu. Zadania z tego tematu niemal zawsze otwierają każdy arkusz maturalny (zazwyczaj są to zadania od 1 do 5). Nie są wybitnie trudne, ale sprawdzają Twoją rygorystyczną biegłość w rachunkach. Błędy tutaj bolą najbardziej, ponieważ zabierają najprostsze punkty. W tym dziale poskromimy potęgi, zdejmiemy magię z logarytmów i rozprawimy się z błędem bezwzględnym.

📋 Spis treści

Operacje Algebraiczne

1 Potęgi – Twoja tajna broń
2 Pierwiastki i Niewymierności
3 Wzory Skróconego Mnożenia
4 Logarytmy (Łatwiejsze niż myślisz)

Własności Liczb

5 Wartość bezwzględna (Odległość)
6 Przedziały liczbowe i Błędy
7 Procenty i Lokaty bankowe

Potęgi – Twoja tajna broń

Na maturze rzadko liczysz wynik typu $2^{10}$ . Zazwyczaj musisz uprościć skomplikowane wyrażenie, doprowadzając je do jednej podstawy, aby wskazać poprawną odpowiedź (A, B, C lub D). Poniżej zestawienie praw, na których opiera się matura.

✖️

Mnożenie potęg

Gdy mnożysz potęgi o tej samej podstawie (tej na dole), dodajesz do siebie wykładniki u góry.

a^m \cdot a^n = a^{m+n}

Np.

2^3 \cdot 2^5 = 2^8

➗

Dzielenie potęg (Ułamek)

Kiedy dzielisz, odejmujesz wykładnik dolny od górnego.

\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}

Np.

\frac{5^7}{5^2} = 5^5

💪

Potęgowanie potęgi

Gdy potęga jest zamknięta w nawiasie z kolejną potęgą, mnożysz te dwa wykładniki.

(a^m)^n = a^{m \cdot n}

Np.

(3^4)^2 = 3^8

🔄

Ujemny wykładnik (Magia matury)

Minus u góry to w matematyce "winda". Nie sprawia, że liczba staje się ujemna! On po prostu odwraca ją do góry nogami (tworzy ułamek).

a^{-n} = \left(\frac{1}{a}\right)^n = \frac{1}{a^n}

Np.

(\frac{2}{3})^{-2} = (\frac{3}{2})^2 = \frac{9}{4}

Pierwiastki (Pewniak z pierwszej strony)

Zadanie typu 'Liczba $\sqrt[3]{16} \cdot 4^{-2}$ jest równa...' to klasyk CKE. Kluczem do sukcesu jest płynna zamiana pierwiastków na zwykłe potęgi ułamkowe, z którymi pracuje się bajecznie prosto.

🔥 Najważniejszy most w algebrze

Zamiana pierwiastka na ułamek w potędze. Zapamiętaj: stopień pierwiastka ZAWSZE idzie w mianownik (na sam dół ułamka).

\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}

Zwykły pierwiastek kwadratowy (ma ukrytą "dwójkę"):

\sqrt{7} = 7^{\frac{1}{2}}

Pierwiastek sześcienny (trzeciego stopnia):

\sqrt[3]{5} = 5^{\frac{1}{3}}

Pełen wzór w akcji:

\sqrt[4]{x^3} = x^{\frac{3}{4}}

Usuwanie niewymierności z mianownika

CKE nie uznaje wyników, w których pod kreską ułamkową zostaje pierwiastek. Musisz go "zabić".

Mnożysz wtedy cały ułamek (górę i dół) przez ten sam pierwiastek, co na dole.

\frac{5}{\sqrt{2}} = \frac{5 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{5\sqrt{2}}{2}

Pierwiastek stopnia nieparzystego z ujemnych

Nie istnieje ujemny pierwiastek ze zwykłego kwadratu (np.

\sqrt{-4}

). Ale istnieje z sześcianu!

Pierwiastki 3., 5. czy 7. stopnia spokojnie mogą mieć minusy w środku, bo nieparzysta potęga minusa nie zjada.

\sqrt[3]{-8} = -2 \quad \text{(bo } (-2)^3 = -8\text{)}

Wzory Skróconego Mnożenia

To narzędzie będziesz widywał aż do samej matury – pojawia się przy rozwiązywaniu równań, usuwaniu podwójnej niewymierności z mianownika, funkcji kwadratowej oraz dowodach algebraicznych. Pamiętaj, że zawsze możesz je znaleźć w maturalnej Tablicy Wzorów, ale bez znajomości ich w pamięci, braknie Ci czasu!

🧨

Błąd Kardynalny

Zapisz to sobie złotymi zgłoskami: $(a+b)^2$ to NIGDY NIE JEST $a^2 + b^2$ .

Wielu uczniów zapomina o środkowym elemencie. Jeśli tak zrobisz na maturze otwartej, od razu dostajesz 0 punktów za całe zadanie, mimo że reszta rachunków będzie dobra.

Kwadrat sumy

(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

Kwadrat różnicy

(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2

Różnica kwadratów

a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)

Logarytmy (Łatwiejsze niż myślisz)

Słowo "logarytm" budzi grozę wśród maturzystów, a w rzeczywistości jest to zwykłe układanie puzzli. Logarytm to po prostu pytanie skierowane do "małej podstawy": "Do jakiej potęgi muszę cię podnieść, żeby urosnąć do tej wielkiej liczby?".

Definicja i zamiana na potęgę (Ślimak)

\log_a b = c \iff a^c = b

Przykład z życia: $\log_2 8$
Zadajemy pytanie: Do jakiej potęgi muszę podnieść $2$ , aby otrzymać $8$ ?
Skoro $2^3 = 8$ , to logarytm wynosi po prostu równe 3.

Suma = Mnożenie

Często na maturze CKE daje dodawanie dwóch okropnych logarytmów, z których nie da się "wyciągnąć" potęgi (np.

\log_6 2 + \log_6 18

Wzór mówi, że sumę logarytmów o tej samej podstawie możemy złączyć w jeden, mnożąc ich środki!

\log_a (x) + \log_a (y) = \log_a (x \cdot y)

Nasz przykład:

\log_6 (2 \cdot 18) = \log_6 36 = 2

Różnica = Dzielenie

Analogicznie do sumy, jeśli odejmujesz od siebie dwa logarytmy o tej samej podstawie, to łączysz je w jeden za pomocą dzielenia (ułamka).

\log_a (x) - \log_a (y) = \log_a \left(\frac{x}{y}\right)

Np.

\log_3 18 - \log_3 2 = \log_3(9) = 2

Wartość bezwzględna (Interpretacja odległości)

Wartość bezwzględną oznaczaną pionowymi kreskami $|x|$ definiujemy matematycznie jako wynik "zawsze na plusie" (lub zero). Ale dlaczego? Bo w geometrii odległość nigdy nie jest ujemna! Na maturze musisz umieć to rysować na osi.

Równanie typu $|x - a| = b$

Zadanie: Rozwiąż $|x - 3| = 5$

Słownie oznacza to: "Znajdź na osi wszystkie takie punkty x, których odległość od punktu 3 wynosi dokładnie 5 kroków."

Krok w prawo (+5) Od trójki idziemy 5 kroków w stronę plusa:

x_1 = 3 + 5 = 8

Krok w lewo (-5) Od trójki idziemy 5 kroków w stronę minusa:

x_2 = 3 - 5 = -2

Rozwiązaniem tego równania są zawsze dwie liczby (tutaj -2 i 8).

Przedziały liczbowe i Błędy Przybliżeń

Błędy i przedziały to dwa bardzo chętnie testowane drobne działy na maturze. Przedziały (nawiasy ostre i łagodne) są kluczowe przy podawaniu dziedziny, a błędy polegają na zwykłym sprawdzaniu umiejętności użycia ułamka i modułu.

Rodzaje przedziałów

Otwarte $(a, b)$ : Liczby na brzegach nie należą do zbioru. Kółka na osi są "puste". (Używane ze znakami < oraz >).
Domknięte $\langle a, b \rangle$ : Liczby na brzegach należą do zbioru. Kółka na osi są zamalowane. (Używane ze znakami \le oraz \ge).

Pamiętaj: Nieskończoność

\infty

zawsze dostaje nawias otwarty okrągły!

Błąd Bezwzględny i Względny

Oznaczmy poprawną (dokładną) wielkość jako

x

, a jej przybliżenie jako

x_0

Błąd bezwzględny:

\Delta x = |x - x_0|

Błąd względny:

\delta = \frac{|x - x_0|}{|x|}

Błąd względny to ułamek opisujący jak bardzo się pomyliliśmy W STOSUNKU do prawdziwej wielkości. Często mnoży się go na koniec przez

100\%

Procenty, Kredyty i Procent Składany

Najprostsze zadania z procentów to obliczanie zniżek (pamiętaj, że zniżka o 20% to pomnożenie starej ceny przez $0{,}8$ ). W liceum CKE podbija stawkę, dodając do podstawy programowej lokaty bankowe i tzw. procent składany.

Wzór na Kapitał Końcowy

K_n = K_0 \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)^n

$K_n$ – Kwota po zakończeniu lokaty
$K_0$ – Pieniądze wpłacone do banku na start

$p$ – Oprocentowanie (w jednym okresie)
$n$ – Liczba tzw. "kapitalizacji" (ile razy bank doliczył nam procent do konta)

Algebraiczny fundament wylany?

Ten dział to aż 10% do 15% punktów z całej Matury Podstawowej. Błędy we wzorach skróconego mnożenia czy złe wyciągnięcie z logarytmu potrafią zrujnować zadania ze wszystkich późniejszych działów. Przetrenuj to!

Rozpocznij Quiz Maturalny 🚀

Teoria opanowana? Czas na praktykę!

Baza Quizów Maturalnych

Lista Pewniaków CKE