Wyrażenia Algebraiczne i Równania

Wstęp: Królestwo Algebry

Witaj w najobszerniejszym dziale matury rozszerzonej z matematyki! Wyrażenia algebraiczne, równania i nierówności to fundament, na którym opiera się większość trudniejszych zadań (nawet tych z optymalizacji czy geometrii analitycznej). CKE uwielbia tu badać Twoją czujność: sprawdzi, czy pamiętasz o dziedzinie, czy potrafisz sprytnie narysować "wężyka" i czy nie gubisz rozwiązań przy wartości bezwzględnej. Rozbijemy ten potężny blok na mniejsze, zjadliwe kawałki.

📋 Spis treści

Część 1: Wielomiany i Potęgi

1 Równość Wielomianów
2 Nierówności Wielomianowe (Wężyk)
3 Szukanie pierwiastków (Tw. o wymiernych)
4 Twierdzenie o reszcie i Bézouta
5 Dwumian Newtona i Trójkąt Pascala
6 Równania Dwukwadratowe

Część 2: Królowa Rozszerzenia

7 Nierówności Wymierne
8 Wzory Viète'a i Przekształcenia

Część 3: Pułapki i Przecięcia

9 Wartość Bezwzględna (Przedziały)
10 Układy Nieliniowe (Z geometrią)

Część 1: Wielomiany (Równość i Działania)

Wielomiany na rozszerzeniu to już nie tylko proste wyciąganie iksa przed nawias. Najważniejszą umiejętnością "na start" jest bezbłędne operowanie na współczynnikach i rozumienie, kiedy dwa wielomiany są ze sobą identyczne. To klucz do zadań z parametrami!

Równość Wielomianów (Pewniak CKE)

Dwa wielomiany są równe wtedy i tylko wtedy, gdy są tego samego stopnia i mają dokładnie takie same współczynniki przy odpowiednich potęgach zmiennej $x$ . W zadaniach zazwyczaj dostajesz jeden wielomian w postaci ogólnej (rozpisany), a drugi w postaci iloczynowej (nawiasy). Twoim zadaniem jest je do siebie przyrównać.

Schemat rozwiązywania równości:

Dane są wielomiany $W(x) = x^3 + ax^2 + bx + 6$ oraz $P(x) = (x-2)(x^2 + 3x - c)$ . Wyznacz wartości parametrów $a, b, c$ , dla których wielomiany są równe.

Krok 1: Wymnażamy wielomian z nawiasami.

Zostawiamy $W(x)$ w spokoju i zajmujemy się wielomianem $P(x)$ . Mnożymy "każdy z każdym".

P(x) = x^3 + 3x^2 - cx - 2x^2 - 6x + 2c

Krok 2: Porządkujemy potęgami (Grupowanie).

Musimy posprzątać w $P(x)$ , układając wyrazy od najwyższej do najniższej potęgi. Wszystko, co stoi przy tej samej potędze $x$ , grupujemy w nawias.

P(x) = x^3 + (3 - 2)x^2 + (-c - 6)x + 2c

P(x) = x^3 + x^2 - (c + 6)x + 2c

Krok 3: Tworzymy układ równań.

Teraz przyrównujemy współczynniki wielomianu $W(x)$ do naszych posprzątanych współczynników w $P(x)$ :

Przy $x^3$ : jest $1 = 1$ (zgadza się idealnie)
Przy $x^2$ : $a = 1$
Przy $x$ : $b = -(c + 6)$
Wyraz wolny: $6 = 2c$

Krok 4: Rozwiązujemy trywialny układ równań.

Z ostatniego równania od razu widać, że $c = 3$ . Podstawiamy to do równania na $b$ :

a = 1

c = 3

b = -(3 + 6) = -9

💡

PRO TIP: Metoda pierwiastków (Hack na czas)

Jeśli nie chce Ci się wymnażać gigantycznych nawiasów, możesz użyć triku. Skoro $W(x) = P(x)$ dla każdego $x$ , to ich wartości dla wybranych, sprytnych argumentów też muszą być równe!

W powyższym przykładzie wiemy, że $P(2) = 0$ (bo zeruje się wtedy pierwszy nawias i niszczy cały wielomian). Wystarczy więc policzyć $W(2)$ i przyrównać do zera:

W(2) = 2^3 + a(2^2) + b(2) + 6 = 0

Daje to świetny skrót i pozwala ominąć żmudne grupowanie, zwłaszcza jeśli szukasz tylko jednego brakującego parametru!

Nierówności Wielomianowe (Słynny "Wężyk")

Rozwiązywanie nierówności stopnia wyższego niż 2 sprowadza się do narysowania przybliżonego wykresu wielomianu (tzw. "wężyka"). Zanim jednak cokolwiek narysujesz, musisz mieć wielomian w postaci iloczynowej (rozbity na nawiasy) i odczytać krotność każdego pierwiastka. To ona decyduje o tym, jak ten wężyk zachowa się na osi OX.

Krotność Nieparzysta (1, 3, 5...)

Wężyk w tym miejscu przecina oś OX i przechodzi na drugą stronę (zmienia swój znak na przeciwny).

(x-2)^1, \quad (x+5)^3

Krotność Parzysta (2, 4, 6...)

Wężyk w tym miejscu odbija się od osi OX jak kauczukowa piłka i wraca na tę samą stronę (znak pozostaje taki sam).

(x-1)^2, \quad (x+4)^4

Rozwiązywanie Krok po Kroku (Z pułapką!):

Rozwiąż nierówność:

(x+3)(x-1)^2(2-x) > 0

Krok 1: Wyznaczamy pierwiastki i ich krotności.

Przyrównujemy na sucho każdy nawias do zera:

$x+3 = 0 \implies x = -3$ (krotność 1 - PRZECINA)
$x-1 = 0 \implies x = 1$ (krotność 2 - ODBIJA SIĘ)
$2-x = 0 \implies x = 2$ (krotność 1 - PRZECINA)

Krok 2: Znak najwyższej potęgi (Skąd zaczynamy rysować?).

To najważniejszy moment! Mnożymy przez siebie tylko i wyłącznie iksy z każdego nawiasu (pamiętając o potęgach), by ustalić znak całego wielomianu.

x \cdot (x)^2 \cdot (-x) = -x^4

Współczynnik jest ujemny (minus przed $x^4$ ). Oznacza to żelazną zasadę, że rysowanie "wężyka" zaczynamy z prawej strony OD DOŁU (pod osią OX). Gdyby był dodatni, zaczęlibyśmy z nieba, od góry.

Krok 3: Rysujemy siatkę znaków (Wężyk).

• Zaczynamy od dołu z prawej strony.
• Dochodzimy do $x = 2$ . Krotność 1, więc przecinamy oś i wchodzimy do góry.
• Jesteśmy nad osią. Dochodzimy do $x = 1$ . Krotność 2, więc odbijamy się i wracamy z powrotem nad oś!
• Jesteśmy dalej nad osią. Dochodzimy do $x = -3$ . Krotność 1, więc przecinamy oś w dół.

Krok 4: Odczytujemy rozwiązanie.

Znak naszej nierówności to $> 0$ (ściśle większe), więc szukamy tylko i wyłącznie tych przedziałów, gdzie wykres jest nad osią OX. Kółka na samej osi są otwarte i nie należą do rozwiązania.

x \in (-3, 1) \cup (1, 2)

⚠️

Uwaga na samotne punkty! (Błąd za 0 pkt)

Gdyby znak nierówności w powyższym zadaniu brzmiał $\ge 0$ (większe LUB RÓWNE), musielibyśmy fizycznie zamalować kropki na osi. Zauważ, że dla $x=1$ wartość wynosi dokładnie zero. Zatem przedziały połączyłyby się w jeden ciągły!

Rozwiązaniem byłoby wtedy: $x \in \langle -3, 2 \rangle$ . CKE często sprawdza, czy z roztargnienia nie wyrzucasz pierwiastków parzystokrotnych, gdy znak pozwala na równość!

Szukanie pierwiastków (Gdy grupowanie zawodzi)

Co zrobić, gdy stajesz przed równaniem trzeciego stopnia, np. $x^3 - 4x^2 + x + 6 = 0$ , i za nic w świecie nie da się z niego wyciągnąć wspólnego czynnika metodą grupowania? Z pomocą przychodzi Twierdzenie o wymiernych pierwiastkach wielomianu. Mówi ono, że jeśli wielomian o współczynnikach całkowitych ma ładny, całkowity pierwiastek, to ukrywa się on w zbiorze dzielników wyrazu wolnego (tej liczby bez iksa na końcu).

Schemat: Polowanie na pierwiastek

Rozwiąż równanie:

W(x) = x^3 - 4x^2 + x + 6 = 0

Krok 1: Wypisujemy podejrzanych (dzielniki wyrazu wolnego).

Nasz wyraz wolny to liczba $6$ . Dzieli się ona całkowicie i bez reszty przez: $1, -1, 2, -2, 3, -3, 6, -6$ . To nasza lista kandydatów na bycie pierwiastkiem.

Krok 2: Strzelamy do skutku (Szukamy zera).

Podstawiamy kolejne liczby z naszej listy pod iksa w wielomianie, aż wynik na końcu wyniesie równo zero. Zawsze zaczynaj od najmniejszych!

Sprawdzamy $x = 1$ : $W(1) = 1^3 - 4(1^2) + 1 + 6 = 4 \neq 0$ (Pudło)
Sprawdzamy $x = -1$ : $W(-1) = (-1)^3 - 4(-1)^2 + (-1) + 6 = -1 - 4 - 1 + 6 = 0$ (Mamy to!)

Krok 3: Dzielenie wielomianów (Horner lub pisemnie).

Skoro $-1$ jest pierwiastkiem, to zgodnie z twierdzeniem Bézouta wiemy, że nasz wielomian dzieli się bez reszty przez dwumian $(x - (-1))$ , czyli przez $(x + 1)$ .

Po podzieleniu $(x^3 - 4x^2 + x + 6) : (x + 1)$ z użyciem tabelki Hornera otrzymujemy na dole trójmian kwadratowy $x^2 - 5x + 6$ .

W(x) = (x + 1)(x^2 - 5x + 6) = 0

Krok 4: Delta i zbiór rozwiązań.

Z pierwszego odciętego nawiasu mamy już pierwszą odpowiedź: $x_1 = -1$ . Drugi nawias to znana nam z podstawy zwykła funkcja kwadratowa. Liczymy dla niej deltę i dwa klasyczne pierwiastki.

x_1 = -1, \quad x_2 = 2, \quad x_3 = 3

Twierdzenie o reszcie i Twierdzenie Bézouta

CKE kocha krótkie zadania z parametrami polegające na wyznaczaniu reszty z dzielenia wielomianów. Zamiast dzielić wielomiany wielką "drabinką" pisemną (co zajmuje czas i grozi pomyłką w znaku), używamy genialnego w swojej brutalnej prostocie twierdzenia o reszcie.

Twierdzenie o reszcie

Reszta z dzielenia całego wielomianu $W(x)$ przez ułożony dwumian $(x - a)$ jest po prostu równa wartości tego wielomianu policzonej dla punktu $x = a$ .

R = W(a)

Twierdzenie Bézouta

Liczba $a$ jest pełnoprawnym pierwiastkiem wielomianu wtedy i tylko wtedy, gdy ten wielomian dzieli się przez dwumian $(x - a)$ bez żadnej reszty (reszta wynosi 0).

W(a) = 0

🎯

Klasyk Maturalny z Parametrem

Treść CKE: Dla jakiej wartości parametru $m$ , reszta z dzielenia wielomianu $W(x) = x^3 + mx^2 - 4x + 5$ przez z góry dany dwumian $(x - 2)$ jest równa $13$ ?

Rozwiązanie:

1. Skoro dzielimy wyrażenie przez $(x - 2)$ , to z twierdzenia o reszcie na pewno wiemy, że $R = W(2)$ .

2. Wiemy z treści, że ta reszta wynosi dokładnie $13$ , więc układamy proste równanie: $W(2) = 13$ .

3. Podstawiamy w takim razie naszą dwójkę za każdego iksa do wzoru:

2^3 + m(2^2) - 4(2) + 5 = 13

8 + 4m - 8 + 5 = 13 \implies 4m = 8 \implies m = 2

Dwumian Newtona i Trójkąt Pascala

Na poziomie podstawowym nasza matematyka kończy się na wzorach do potęgi 2, czasami sporadycznie 3. Na rozszerzeniu CKE ma pełne prawo poprosić Cię o podniesienie wielkiego nawiasu do potęgi 7 albo nawet 12! Służy do tego wzór Newtona. Jego poszczególne współczynniki odczytujemy na piechotę z narysowanego na rogu kartki Trójkąta Pascala lub liczymy za pomocą algebraicznego Symbolu Newtona.

Symbol Newtona

Pozwala wyciągnąć i obliczyć jeden, konkretny współczynnik potęgi bez marnowania czasu na rysowanie całego gigantycznego trójkąta. Pamiętaj, że $0! = 1$ .

\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}

Wzór na k-ty wyraz

Większość zadań wymaga podania tylko jednego, konkretnego wyrazu rozwinięcia. Uwaga punktowa: we wzorze $k$ jest zawsze o jeden mniejsze niż fizyczny numer wyrazu!

a_{k+1} = \binom{n}{k} a^{n-k} b^k

Typowe zadanie maturalne:

Wyznacz numerycznie dokładny współczynnik przy zmiennej $x^4$ w rozwinięciu wyrażenia $(x + 2)^7$ .

Krok 1: Identyfikujemy "klocki" Newtona.

Nasz ogólny nawias to $(a+b)^n$ . Zatem $a = x$ , $b = 2$ , oraz u góry z potęgi $n = 7$ . Podstawiamy to brutalnie do ogólnego wzoru na wyraz rozwinięcia ze wzorów CKE.

\binom{7}{k} \cdot (x)^{7-k} \cdot (2)^k

Krok 2: Namierzamy odpowiednie, szukane $k$ .

Zgodnie z poleceniem szukamy współczynnika (liczby z przodu) stojącego przy $x^4$ . W naszym wzorze wyżej iks ma zapisaną potęgę $7-k$ . Przyrównujemy te potęgi do siebie w prostym równaniu!

7 - k = 4 \implies k = 3

Krok 3: Liczymy współczynnik przy użyciu wykrzykników (silni).

Podstawiamy nasze odkryte $k=3$ do całego, długiego wyrażenia z kroku pierwszego:

\binom{7}{3} \cdot x^4 \cdot 2^3 = \frac{7!}{3! \cdot 4!} \cdot x^4 \cdot 8 = \frac{4! \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7}{6 \cdot 4!} \cdot x^4 \cdot 8

= 35 \cdot x^4 \cdot 8 = 280x^4

Odpowiedź do arkusza: Szukany współczynnik przy $x^4$ wynosi dokładnie 280.

Równania Dwukwadratowe (Trik na potęgę czwartą)

Wyglądają z wierzchu strasznie, bo mają w sobie $x^4$ oraz $x^2$ , ale rozwiązuje się je dokładnie tak samo jak najzwyklejsze równania kwadratowe. Kluczem jest podstawienie sztucznej zmiennej pomocniczej. Kryje się tu jednak jedna z największych i najboleśniejszych pułapek punktowych, na której maturzyści tracą "oczka"!

🚧

Krytyczne Założenie Zmiennej "t"

W tym algorytmie zawsze podstawiamy sztywno $t = x^2$ . Ale pamiętaj z podstawówki: kwadrat absolutnie dowolnej liczby rzeczywistej nigdy na Ziemi nie jest ujemny! Dlatego od razu na marginesie arkusza musisz zapisać, że $t \ge 0$ . Jeśli z wyliczonej Delty wyjdzie Ci ujemne $t$ , natychmiast musisz je skreślić i odrzucić.

Schemat: Od potęgi 4. do rozwiązania

Rozwiąż równanie:

x^4 - 5x^2 - 36 = 0

Krok 1: Podstawienie i pisemne założenie.

t = x^2, \quad \text{gdzie obowiązkowo } t \ge 0

t^2 - 5t - 36 = 0

Krok 2: Liczymy zwykłą "Deltę" dla ulepionego t.

\Delta = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-36) = 25 + 144 = 169

\sqrt{\Delta} = 13

t_1 = \frac{5 - 13}{2} = -4, \quad t_2 = \frac{5 + 13}{2} = 9

Krok 3: Ostra Weryfikacja i powrót do iksa (Główna Pułapka!).

Wyszły nam dwa zgrabne rozwiązania dla $t$ . Ale spójrz ponownie na zapisane założenie! Wynik $t_1 = -4$ bezlitośnie odrzucamy (jest to sprzeczne logicznie z $t \ge 0$ ). Zostaje w grze tylko $t_2 = 9$ . Wracamy więc bezpiecznie do bazowego podstawienia z iksem:

x^2 = 9

$x_1 = 3 \quad \text{lub} \quad x_2 = -3$

Gdybyś zapomniał o rygorystycznym założeniu i ślepo spróbował w brudnopisie rozwiązać $x^2 = -4$ , egzaminator natychmiast odciąłby Ci punkty za naruszenie podstawowej logiki matematycznej i brak orientacji w dziedzinie rzeczywistej!

Część 2: Królowa Rozszerzenia (Parametr i Wzory Viète'a)

Zadania typu "Dla jakich wartości parametru $m$ równanie kwadratowe ma dwa różne rozwiązania, których suma kwadratów jest..." to absolutny, żelazny kręgosłup matury. Są one do bólu schematyczne, dlatego zdobycie z nich maksymalnej (ogromnej, bo 4-5) liczby punktów to tylko i wyłącznie kwestia mechanicznego wyćwiczenia jednego konkretnego algorytmu podanego poniżej.

Nierówności Wymierne (Ułamki z iksem w mianowniku)

Nierówność wymierna to taki rzadki stwór, w którym niewiadoma $x$ ląduje uwięziona w mianowniku. Nigdy, pod żadnym pozorem, nie mnóż nierówności na krzyż przez mianownik z iksem! Nie wiesz przecież, czy dół jest dodatni, czy ujemny, więc nie masz pojęcia, czy powinieneś odwrócić znak nierówności. Zamiast tego zła stosujemy złotą zasadę CKE: "Zamień iloraz na bezpieczny iloczyn".

🛡️ Złota zasada ułamków w nierównościach

Ostateczny znak ułamka (plus lub minus) zależy wyłącznie od relacji znaków licznika i mianownika. Matematyczne dzielenie i mnożenie dwóch liczb dają z urzędu dokładnie ten sam znak wyniku (plus i minus dają minus, dwa minusy dają plus). Dlatego w świecie nierówności zachodzi piękna równoważność:

\frac{A}{B} > 0 \iff A \cdot B > 0 \quad \text{oraz koniecznie} \quad B \neq 0

Schemat rozwiązywania (Klasyk):

Rozwiąż punktowaną nierówność:

\frac{2x - 5}{x + 1} \ge 1

Krok 1: Dziedzina (Brak dziedziny = utrata punktów na starcie!).

Dolny mianownik nigdy w matematyce nie może być zerem.

x + 1 \neq 0 \implies x \neq -1 \implies D = \mathbb{R} \setminus \{-1\}

Krok 2: Przerzucamy wszystko na lewą stronę i chwytamy wspólny mianownik.

Prawa strona znaku musi obligatoryjnie wynosić zero, żebyśmy mogli zgodnie z zasadą badać z samego przodu znak ułamka względem zera.

\frac{2x - 5}{x + 1} - 1 \ge 0

\frac{2x - 5}{x + 1} - \frac{x + 1}{x + 1} \ge 0

\frac{2x - 5 - (x + 1)}{x + 1} \ge 0 \implies \frac{x - 6}{x + 1} \ge 0

Krok 3: Używamy magii i zamieniamy ułamek na mnożenie ("Wężyk").

Skoro mamy po prawej stronie bezpieczne zero, zamieniamy kreskę ułamkową i zgodnie ze Złotą Zasadą mnożymy górny licznik wprost przez dolny mianownik.

(x - 6)(x + 1) \ge 0

Krok 4: Siatka znaków (parabola) i odczytanie ostatecznego wyniku.

Otrzymaliśmy zwykłą parabolę ramionami uśmiechniętą w górę. Jej pierwiastki z nawiasów to $6$ i $-1$ . Szukamy na jej wykresie wartości $\ge 0$ , więc interesuje nas wzrokowo to, co unosi się wysoko nad osią OX (wraz z miejscami dotknięcia zera).

Ale Uwaga Skupienia: Z naszej początkowej dziedziny ułamka brutalnie wyrzuciliśmy $-1$ ! Dlatego klamrowy nawias przedziału przy $-1$ nie może być domknięty, mimo że nierówność zawiera znak równości.

x \in (-\infty, -1) \cup \langle 6, +\infty)

Wzory Viète'a i Szalone Przekształcenia

Wzory te (które na całe szczęście znajdziesz wpisane na sztywno w tablicach) pozwalają zgrabnie powiązać same rozwiązania układu z jego literowymi współczynnikami $a, b, c$ , bez wchodzenia w brudne wyliczanie samej delty i ukrytych pod nią uciążliwych pierwiastków. Cała fizyczna trudność zadania polega na tym, by zadaną w treści "mieszankę" rozwiązań przekształcić i zwinąć tak, by zostały w niej odseparowane tylko i wyłącznie suma i iloczyn pierwiastków.

Suma pierwiastków

x_1 + x_2 = \frac{-b}{a}

Iloczyn pierwiastków

x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}

🧠

Niezbędnik Przekształceń (Naucz się tego na pamięć!)

1. Suma kwadratów pierwiastków:

x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2

2. Suma odwrotności (Wymaga wspólnego mianownika):

\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1x_2}

3. Złowieszczy kwadrat różnicy (przydaje się wybitnie do zbijania modułu):

(x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2

Maturalny Schemat Zadań (Algorytm 3 Kroków)

"Dla jakich wartości parametru $m$ równanie kwadratowe (...) ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste, których suma kwadratów jest większa od 7?"

Zawsze Warunek 1: Bycie Równaniem Kwadratowym

Współczynnik stojący na czele przy x-kwadrat $a$ musi być żelaznie różny od zera, inaczej całe to zadanie staje się podstępną funkcją liniową!
Wymóg: $a \neq 0$

Zawsze Warunek 2: Liczba Rozwiązań (Filtr Delty)

Jeśli w poleceniu CKE jest mowa jednoznacznie o dwóch różnych od siebie rozwiązaniach, uderzasz w ostrą nierówność: $\Delta > 0$ . Jeśli mogą być dwa pokrywające się (jedno podwójne rozwiązanie), łagodzisz warunek do: $\Delta \ge 0$ .

Zawsze Warunek 3: Gra Wzorami Viète'a

Zapisujesz surowy matematyczny warunek z treści tekstowej zadania (np. $x_1^2 + x_2^2 > 7$ ), brutalnie przekształcasz go korzystając z Niezbędnika z poprzedniej tabeli na sumy/iloczyny, a potem podstawiasz w miejsce sumy mityczne $\frac{-b}{a}$ , a w miejsce iloczynu gładkie $\frac{c}{a}$ . Potem rozwiązujesz tę nową nierówność z $m$ .

Wielki Finał (O tym uczniowie zapominają!)

Jako ostateczny wynik do klucza CKE, musisz bezwzględnie wyznaczyć i nakreślić część wspólną przedziałów ze wszystkich wyliczonych w trzech krokach warunków! To właśnie ten jeden, krótki moment decyduje o odebraniu pełnej puli punktów.

Część 3: Pułapki i Przecięcia (Moduł i Układy)

Zbliżamy się powoli do wyjścia z lasu algebry, ale te dwa ostatnie tematy to na arkuszu prawdziwe i zdradliwe pole minowe. Wartość bezwzględna wymusi na Tobie żelazną dyscyplinę organizacyjną przy rozpisywaniu przypadków, a nieliniowe układy równań to test na Twoją stoicką cierpliwość i dokładność przy żmudnej metodzie podstawiania.

Wartość Bezwzględna (Rozbijanie osi na przedziały)

Kiedy na stronie widzisz równanie posiadające więcej niż jedną kreskę wartości bezwzględnej, np. $|x - 2| + |x + 3| = 7$ , zapomnij całkowicie o zgadywaniu i sprawdzaniu z głowy. Najpewniejszą autostradą, za którą egzaminator od razu przyznaje pełne punkty, jest ścisłe rozwiązanie algebraiczne z pocięciem osi na drobne przedziały (tzw. powolna metoda siatki znaków).

Schemat rozwiązywania (Zawsze działa na 100%):

Rozwiąż równanie:

|x - 1| - |x + 2| = 3

Krok 1: Wyznaczamy graniczne "miejsca zerowe" dla modułów.

Przyrównujemy oddzielnie to, co gnije wewnątrz każdego modułu, do chłodnego zera. Otrzymujemy $x = 1$ oraz obok $x = -2$ . Te dwie wyciągnięte liczby dzielą jak gilotyna naszą oś liczbową na równe trzy osobne przedziały robocze.

Krok 2: Odrębnie rozwiązujemy równanie wewnątrz każdego z trzech przedziałów.

Żelazna definicja modułu mówi jasno: jeśli szacowane w głowie wyrażenie w środku kresek jest dodatnie (dla liczby wybranej z przedziału), zrzucamy te kreski bez żadnych zmian, zastępując je nawiasem. Jeśli wynikowo wnętrze będzie ujemne, odwracamy wszystkie znaki wewnątrz na przeciwne.

Przedział 1:

x \in (-\infty, -2)

Wybieramy jako testera np. liczbę

-5

. Oba moduły po włożeniu jej do brzucha wykazują ujemność, więc bezwzględnie zmieniamy im szyldy znakowe na minusowe.

-(x - 1) - (-(x + 2)) = 3

-x + 1 + x + 2 = 3 \implies 3 = 3

Wynik to tożsamość (prawda)! Zatem jako urobku zgarniamy CAŁY TEN przedział do worka rozwiązań.

Przedział 2:

x \in \langle -2, 1)

Bierzemy z łatwości z tego wora cyfrę

0

. Pierwszy moduł w uchu wypluwa minus (zmieniamy znak), drugi moduł chłodno podaje plus (opuszczamy miękko, nie tykając znaków).

-(x - 1) - (x + 2) = 3

-x + 1 - x - 2 = 3 \implies -2x - 1 = 3 \implies -2x = 4 \implies x = -2

Formalnie sprawdzamy: czy wyliczone

-2

znajduje się legalnie na naszym terytorium przedziału

\langle -2, 1)

? Jak widać po ostrym nawiasie - TAK!

Przedział 3:

x \in \langle 1, +\infty)

Wybieramy giganta, np. liczbę

5

. Oba moduły promieniują na plus w środku, gubimy gorset bez ruszania czegokolwiek.

(x - 1) - (x + 2) = 3

x - 1 - x - 2 = 3 \implies -3 = 3

Bolesna sprzeczność. Wyrzucamy wszystko do kosza, w tym przedziale dla nas nic nie drgnie.

Krok 3: Spinamy wszystko taśmą i sumujemy.

Ostatecznym łupem matematycznym jest wielka suma zebranych do teczki wyników z poszczególnych trzech aren działań. Łączymy przedział z punktem domykającym.

x \in (-\infty, -2\rangle

Układy Nieliniowe (Spotkanie punktowe na wykresie)

Na poziomie rozszerzonym bardzo rzadko zmusza się uczniów do odtwórczego stukania układów złożonych tylko z dwóch prostych równań liniowych. Najczęściej Twoim losem będzie walka z układem równania liniowego z niepokornym kwadratowym. Ma to swoje wspaniałe, fizyczne zastosowanie w dziale geometrii analitycznej – to właśnie za ich pomocą zmuszamy okrąg, by przyznał się, gdzie przecina go prosta sieczna.

Złota i jedyna bezpieczna zasada tego etapu? Zawsze twardo forsuj metodę podstawiania! Metoda przeciwstawnych współczynników (dodawania z kreseczką) często tu nie zadziała z uwagi na niedopasowane potęgi.

Schemat rozwiązywania (Krok po Kroku):

Rozwiąż układ równań analitycznych (fizycznie znajdź punkty przecięcia lecącej z ukosa prostej i zastygłego okręgu):

\begin{cases} x^2 + y^2 = 25 \\ y = x + 1 \end{cases}

Krok 1: Atak przez Podstawienie.

Na tacy z dolnego ułożenia mamy podanego już ładnie wyizolowanego gotowego igreka. Ujmujemy go żelaznym zaciskiem nawiasu i wrzucamy do mrocznego równania pierwszego dokładnie tam, gdzie do tej pory stał znak $y$ .

x^2 + (x + 1)^2 = 25

Krok 2: Strzał ze wzoru skróconego mnożenia.

Mając w dłoni jedną zmienną, podnosimy bezszelestnie ten gruby nawias do kwadratu przy użyciu pamięci. Następnie hurtowo ciągniemy luźne 25 na roboczą, lewą stronę, żeby po stronie prawej zamigotało nam idealne, zbawienne zero.

x^2 + x^2 + 2x + 1 - 25 = 0

2x^2 + 2x - 24 = 0 \quad / : 2

x^2 + x - 12 = 0

Krok 3: Klasyczne liczenie "Delty" dla osamotnionych iksów.

\Delta = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 49 \implies \sqrt{\Delta} = 7

x_1 = \frac{-1 - 7}{2} = -4 \quad \text{oraz} \quad x_2 = \frac{-1 + 7}{2} = 3

Krok 4: Wracamy z obozów po utracone igreki (Parowanie!).

Każdy układ podwójnych równań kończy się tylko i wyłącznie podaniem skojarzonych par liczb (traktowanych jako pełne współrzędne konkretnych punktów). Dla każdego samotnie wyliczonego wyżej $x$ musimy indywidualnie wyłuskać jego uśpionego partnera w postaci $y$ , wciągając go natychmiastowo na ruszt tego drugiego, o niebo łatwiejszego równania liniowego ( $y = x + 1$ ).

y_1 = -4 + 1 = -3

y_2 = 3 + 1 = 4

Ostateczna kluczowa odpowiedź: Punkty bezlitosnego przecięcia to $A = (-4, -3)$ oraz dumnie wiszące w górze $B = (3, 4)$ .

Algebra na Rozszerzeniu zdobyta?

Przez Twoje ręce przetoczył się właśnie jeden z najtrudniejszych walców maturalnych. Jeśli wzory Viète'a i operowanie na twardych przedziałach nie stanowią dla Ciebie problemu, reszta arkusza padnie przed Tobą na kolana.

Uruchom Piekielny Quiz z Algebry 🚀

Teoria opanowana? Czas na praktykę!

Baza Quizów Maturalnych

Lista Pewniaków CKE