Funkcje

Wstęp: Funkcje w nowym wymiarze

Funkcje na maturze rozszerzonej to o wiele więcej niż tylko szukanie miejsc zerowych w równaniu kwadratowym. CKE sprawdzi tutaj Twoją wyobraźnię przestrzenną (np. nakładając na siebie kilka zaawansowanych przekształceń wykresu, takich jak moduł z modułu), umiejętność "wkładania jednej funkcji do wnętrza drugiej" oraz rozwiązywania długich zadań tekstowych, w których o Twoim wyniku zadecyduje procent składany i prawo rozpadu izotopów.

📋 Spis treści

1 Przekształcenia wykresów funkcji (Arsenał)
2 Złożenia funkcji (Incepcja i dziedzina)
3 Zastosowania (Wykładnicza i Logarytmiczna)

Przekształcenia wykresów (Pełny Arsenał)

Na poziomie podstawowym przesuwamy wykresy powoli w lewo, prawo, górę i dół (o wektor). Rozszerzenie brutalnie dokłada do tego odbicia lustrzane we wszystkich kierunkach, nakładanie wartości bezwzględnej (nawet kilkukrotne) oraz skalowanie (czyli rozciąganie i drastyczne zwężanie). Poniżej znajdziesz kompletną listę manipulacji.

A. Symetrie i Odbicia (Lustra)

y = -f(x)

Oś OX (Góra-Dół)

Minus stoi przed całą funkcją. Odbijasz wykres symetrycznie względem osi poziomej OX. Co dumnie sterczało na górze, teraz ląduje na dole.

y = f(-x)

Oś OY (Lewo-Prawo)

Minus stoi przylepiony tylko do iksa. Odbijasz wykres symetrycznie względem osi pionowej OY. Prawa strona wykresu staje się lewą.

y = -f(-x)

Punkt (0,0)

Kumulacja dwóch minusów. Jest to symetria środkowa względem początku układu współrzędnych. Przerzucasz na ukos przez sam środek.

B. Wartość Bezwzględna (Przykłady w praktyce)

Sama teoria to za mało. Zobaczmy, jak ciężki moduł zachowuje się w praktyce. Na poniższych interaktywnych wykresach cienka linia przerywana symbolizuje delikatną oryginalną funkcję startową, a gruby, jaskrawy kolor pokazuje wykres w ostatecznej, "połamanej" formie po nałożeniu wartości bezwzględnej.

Przykład 1: Moduł na całość $y = |f(x)|$

Funkcja startowa: $f(x) = x^2 - 4x + 3$
Twoje przekształcenie: $g(x) = |x^2 - 4x + 3|$

Co dokładnie tu robimy? Łapiemy za wszystko, co jest zatopione poniżej osi poziomej OX (czyli "miękki brzuch" paraboli) i brutalnie odbijamy to symetrycznie do góry, na plusy. Cały wykres przebywa teraz nad kreską lub na niej.

Matura Rozszerzona| f(x) = x² - 4x + 3 |

Efekt: Dolny wierzchołek z punktu $(2, -1)$ wylądował do góry w punkcie $(2, 1)$ . Wykres przypomina literę "W". Żaden maleńki fragment nie znajduje się już pod osią OX!

Przykład 2: Moduł ukryty na iksie $y = f(|x|)$

Funkcja startowa: $f(x) = x^2 - 4x + 3$
Twoje przekształcenie: $h(x) = |x|^2 - 4|x| + 3$

Co dokładnie tu robimy? Najpierw zmazujemy gumką całkowicie lewą stronę oryginalnego wykresu (dla $x < 0$ ). Następnie to piękne, co zostało bezpieczne po prawej stronie osi OY, odbijamy jak w wielkim lustrze na stronę lewą. Zauważ, że wierzchołek oryginalnej paraboli był po prawej, więc teraz w lustrze stworzyliśmy sobie drugi!

Matura Rozszerzonaf(|x|) = |x|² - 4|x| + 3

Efekt: Powstaje funkcja idealnie parzysta, uśmiechnięta po obu stronach i symetryczna względem pionowej osi OY. Ma ona teraz aż 4 miejsca zerowe: dwa oryginalne $x=1$ i $x=3$ oraz darmowe ich lustrzane odbicia $x=-1$ i $x=-3$ .

C. Skalowanie (Powinowactwo prostokątne)

Ten typ przekształceń przyda Ci się potwornie mocno nieco później w wielkiej trygonometrii, kiedy będziesz musiał ręcznie narysować np. wykres $y = \sin(2x)$ . Skalowanie to nic innego jak wyginanie, rozciąganie lub chamskie zgniatanie wykresu jak sprężyny.

y = k \cdot f(x)

Mnożymy całą zewnętrzną funkcję. To rozciąganie lub zwężanie w pionie (wzdłuż osi OY). Jeśli mnożnik $k > 1$ , wykres rośnie w pionie szybciej i robi się stromy. Jeśli $k = \frac{1}{2}$ , wykres staje się "spłaszczony" jak naleśnik o połowę. Uwaga: Miejsca zerowe się nigdy tutaj nie zmieniają!

y = f(k \cdot x)

Mnożymy ukrytego samego iksa. To rozciąganie lub zwężanie w poziomie (wzdłuż osi OX). Działa to wrednie, odwrotnie do intuicji! Jeśli dasz $k = 2$ , wykres zwęża się dwukrotnie w stronę środka (jakbyś go z wielką siłą ścisnął). Jeśli rozluźnisz dając $k = \frac{1}{2}$ , rozciąga się wyluzowany wszerz.

Największa Pułapka CKE: Kolejność Przekształceń

Dostajesz wejściowy, banalny wykres funkcji $f(x)$ i masz za zadanie z niego, krok po kroku, narysować coś bardzo rozbudowanego. Jeśli zrobisz te kroki w złej kolejności, wylądujesz z przepięknym, czystym wykresem w totalnie złym miejscu układu współrzędnych i zgarniesz zero punktów. Przeanalizujmy dwa kluczowe dla losów egzaminu przypadki na bazowej paraboli $f(x) = x^2 - 4x + 3$ .

Matura Rozszerzonaf(x) = x² - 4x + 3

Porównanie dwóch zwodniczych wzorów:

g(x) = |f(x - 2)|

Działamy "od wewnątrz" (iks przy nawiasie):

Krok 1: Rysujemy

f(x - 2)

. Przesuwamy bazową, znaną parabolę o sztywne 2 jednostki w prawo.

Krok 2: Nakładamy ostatecznie moduł

|f(x - 2)|

. Bierzemy ten już bezpiecznie przesunięty na nową pozycję wykres i uderzając w niego, odbijamy jego "brzuch" (który gnije pod osią) odgórnie do góry. Zrobione!

h(x) = |f(x)| - 2

Tu moduł nie obejmuje dwójki!

Krok 1: Rysujemy samotne

|f(x)|

. Bierzemy bazową parabolę, stojącą od samego początku na swoim oryginalnym, rdzennym miejscu, i odbijamy śmiało jej brzuch do góry.

Krok 2: Rysujemy

|f(x)| - 2

. Bierzemy ten już "połamany" przez zewnętrzny moduł potworek graficzny i ściągamy go w całości twardo o 2 jednostki w dół do piwnicy.

Zauważ jako ostrzeżenie, że w tym drugim przypadku wykres na koniec swoim czubkiem zejdzie boleśnie pod oś OX, mimo że miał wcześniej na sobie wartość bezwzględną!

🧠

Złota Zasada Kolejności (Czytamy Od wewnątrz do zewnątrz)

Aby sprawdzić i upewnić się, w jakiej żelaznej kolejności rysować operacje i przekształcenia na kartce, odczytuj skomplikowany wzór tak, jakbyś dla małego iksa powoli rozwiązywał równanie algebraiczne. Najpierw robimy ołówkiem to, co jest "najgłębiej" przypięte do iksa, a na samym krwawym końcu to, co leży luzem "na zewnątrz" dla całej funkcji.

y = -|f(x + 1)| + 3

Najpierw wektor X w poziomie: Baza $f(x + 1)$ (idziemy o 1 w lewo do nowej bazy).
Złamanie Wartością bezwzględną: Mamy $|f(x + 1)|$ (wszystko z dołu wybijamy na górę).
Odbicie lustrzane całej osi OX: Wchodzi $-|f(x + 1)|$ (cały nasz połamany "ptak" wywija się i spada pod oś na minus).
Ostatni wektor Y w pionie: Dokończenie dzieła $-|f(x + 1)| + 3$ (całość wyciągamy windą w górę o dumną wartość 3).

Złożenia funkcji (Matematyczna Incepcja)

Złożenie funkcji, uroczyście zapisywane ze "słoneczkiem" jako $(f \circ g)(x)$ lub prościej i przyjaźniej jako $f(g(x))$ , to matematyczny proces taśmowy prosto z fabryki. Najpierw Twoja surowa liczba wejściowa (argument $x$ ) wpada do maszyny o nazwie $g$ . Maszyna ta tnie i mieli go i po chwili wypluwa wynik. Ten nowy wynik, jeszcze gorący, od razu jako nowy argument wchodzi do jamy drugiej wielkiej maszyny o nazwie $f$ , która przerabia go ostatecznie.

Obliczanie wzoru w praktyce:

Dane są dwie różne maszyny (funkcje): $f(x) = \sqrt{x - 2}$ oraz kwadratowe $g(x) = x^2 + 3$ . Wyznacz w nowej linijce wzory funkcji potężnie złożonych z nich: $f(g(x))$ oraz odwrotnie $g(f(x))$ .

Sytuacja 1: $f(g(x))$ (wąskie "g" wchodzi do brzucha szerokiego "f")

Bierzemy ogólny wzór najbardziej zewnętrznej na oko funkcji $f$ i wszędzie w jej ciele tam, gdzie oryginalnie sterczy malutki iks, wstawiamy agresywnie cały gigantyczny nawias z przepisem z funkcji $g$ .

f(g(x)) = \sqrt{(x^2 + 3) - 2}

f(g(x)) = \sqrt{x^2 + 1}

Sytuacja 2: $g(f(x))$ (odwracamy, teraz wielkie "f" ładuje się do brzucha "g")

Tym razem to ciężka funkcja $f$ jest posłusznym argumentem wejściowym. Wstawiamy więc cały ten wielki pierwiastek w to jedno miejsce wolnego iksa we wzorze kwadratowym dla $g$ (nie zapomnij o potęgowaniu, ono wisi na zewnątrz nawiasu!).

g(f(x)) = (\sqrt{x - 2})^2 + 3

g(f(x)) = x - 2 + 3 = x + 1

Główny wniosek maturalny? Widzimy gołym okiem: $f(g(x)) \neq g(f(x))$ . Kolejność składania i uruchamiania fabrycznych maszyn matematycznych robi i determinuje tu kolosalną różnicę!

🚧

Złota Zasada Dziedziny Złożenia (Maturalny Killer Punktów)

Nie wystarczy wyznaczyć ślicznego, zredukowanego wzoru i spojrzeć na skrócony wynik końcowy jako dziedzinę! Aby liczba $x$ mogła w ogóle legalnie na starcie przejść przez dwuetapowy proces $f(g(x))$ , na jej szlaku muszą zostać pomyślnie spełnione dwa twarde warunki naraz:

Bramka wejściowa pierwsza: Liczba wylosowana dla $x$ musi na starcie należeć w ogóle do bezpiecznej dziedziny funkcji wewnętrznej $g$ (pierwsza w łańcuchu maszyna musi umieć ją fizycznie przyjąć i przepalić).

$x \in D_g$
Bramka u mety druga: Zwrócony i wypluty wynik przez tę pierwszą maszynę, czyli liczba $g(x)$ , musi się nadawać do strawienia i należeć do szerokiej dziedziny maszyny zewnętrznej okalającej całość $f$ .

$g(x) \in D_f$

Sprawdźmy, jak niszczy to nasze punkty na wyżej liczonym przykładzie dla ładnego

g(f(x))

Otrzymaliśmy na samym dole z pozoru piękny i gładki wzór ostateczny:

g(f(x)) = x + 1

. Wydawałoby się, że patrząc na to jak na funkcję liniową, dziedziną jest pełen zbiór bezpiecznych liczb rzeczywistych

\mathbb{R}

, prawda? Kardynalny błąd!

Cofnijmy się. Nasza maszyna odpalana jako pierwsza (wewnętrzna funkcja) to mroczne

f(x) = \sqrt{x - 2}

. Jej zaborcza dziedzina twardo wymaga, aby to, co pływa pod pierwiastkiem, było sztywno nieujemne:

x - 2 \ge 0 \implies x \ge 2

Jeśli z ulicy spróbujesz radośnie wrzucić do dwuetapowej maszyny np. równe z uśmiechem

x = 0

(co przecież wydaje się w stu procentach legalne w tym ostatecznie obliczonym wzorze liniowym

x+1

), proces wybuchnie i zatrzyma się od razu na bramkach pierwszej maszyny, bo kalkulacja

\sqrt{0-2} = \sqrt{-2}

w naszym świecie całkowicie nie istnieje!

Prawdziwa pełna dziedzina tego złożenia to brutalnie odcięte $x \in \langle 2, +\infty)$

Praktyczne Zastosowania (Wiedza, Lokaty i Izotopy)

Długie, rozciągnięte na pół strony zadania tekstowe z tego obszernego działu można grzecznie podzielić na dwa skrajne obozy tematyczne CKE: szybki wzrost (np. niekontrolowane namnażanie bakterii w laboratorium, nabierający potęgi kapitał na lokacie z okrutnym procentem składanym) oraz obiektywny rozpad (np. stygnięcie ciał w kryminalistyce, spadek księgowej wartości kupionego auta, czy naturalny czas połowicznego rozpadu promieniotwórczych i trujących izotopów pierwiastków).

W nagrodę zawsze od autora otrzymujesz gotowy wzór fizyczny (lub w prosty sposób musisz go ułożyć i skleić na podstawie prostej czytanej reguły), a Twoim jedynym, morderczym celem jest zazwyczaj obliczenie czasu trwania zjawiska, który złośliwie schował się wysoko w potędze wykładniczej.

Zjawisko Wzrostu Wykładniczego (Zarabiamy!)

Kapitał lub bakterie rosną o z góry ustalony, stały procent $p$ w każdym zamkniętym okresie. Parametr $K_0$ to zawsze fizyczna wartość początkowa (np. gotówka wniesiona do okienka), a $n$ to precyzyjna liczba okresów dopisywania (np. długich lat). Nasza baza mnożenia (podstawa $a$ ) jest tu zawsze ostro większa od $1$ .

K_n = K_0 \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)^n

Zjawisko Rozpadu Wykładniczego (Tracimy...)

Zgromadzona masa przedmiotu lub wartość bezlitośnie maleje o połowę w bardzo konkretnym, powtarzalnym i stałym interwale, czasie oznaczanym w fizyce jako $T$ (tzw. czas połowicznego, stałego rozpadu). Małe $t$ w ułamku na górze to cały zebrany z zegarka czas, który upłynął w zadaniu. Podstawa potęgi $a$ musi leżeć ułamkowo i ułamnie w ciasnym przedziale między 0 a 1.

m(t) = m_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T}}

Zadanie z CKE (Bolesne wyciąganie iksa z potęgi!):

Badany fizyczny czas rygorystycznego połowicznego rozpadu groźnego izotopu jodu-131 wynosi dokładnie w uśrednieniu 8 dni. Po jakim niesprecyzowanym czasie, z początkowej, pełnej masy pobranej strzykawką próbki wynoszącej równe $200 \text{ g}$ w magazynie, pozostanie w lodówce dokładnie mizerne i zaledwie $10\%$ jej początkowej żywej masy z pierwszego dnia?

Cel: Wyznacz precyzyjną, wręcz inżynieryjną dokładną wartość ułamka w dniach, używając twardych praw logarytmów na rozszerzeniu.

Krok 1: Zimne wypisywanie danych pod stół i klejenie bazowego równania.

Zebrana w próbce masa startowa, czyli początkowa $m_0 = 200$ . W fizyce wpisany czas powolnego rozpadu to z treści $T = 8$ . Jako wielkiej niewiadomej z kluczem desperacko szukamy płynącego czasu na zegarku $t$ , dla którego żądana masa końcowa po rozpadzie oznaczona $m(t)$ wyniesie na wadze ułamek rzędu $10\%$ ze startowych i grubych $200 \text{ g}$ , co po skreśleniu zer daje logicznie $20 \text{ g}$ .

20 = 200 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{8}}

Krok 2: Ostre cięcie wstępne (upraszczamy) i obicie obu stron "wielkim" logarytmem dziesiętnym.

Po prostu brutalnie, bez cienia litości, dzielimy obie potężne strony obustronnie przez ten obciążający balast mnożnika $200$ , by po prawej, na wietrze, osamotniona została tylko pożądana potęga do ściągnięcia.

\frac{1}{10} = \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{8}}

Główna Pułapka w ocenie szans: Zauważ mądrze od razu, po cichu, że nie da się z ułamka dziesiątki w żaden ludzki, wymierny sposób, spreparować wspólnej, tej samej podstawy dla obu stron równania (tak jak robiliśmy to gładko w szkole z łatwej dwójki, podciągając ją do czwórki i w lot do ósemki, czy z trójki do 81).

W takich tragicznych, rozpaczliwych i pozornie bezwyjściowych chwilach na sprawdzianie, jako ostateczną broń zawsze nakładamy na pałę mocny logarytm (np. ten z kalkulatora – popularny dziesiętny bez dopisku cyfry dolnej) na wprost obu tych stojących koło siebie stron zwaśnionego równania!

\log\left(\frac{1}{10}\right) = \log\left(\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{8}}\right)

Krok 3: Prawdziwa Magia rozszerzonych logarytmów (Zrzucanie wygórowanej potęgi na beton).

Obliczamy lewą stronę z głowy: Czysty Logarytm z odwrotności dziesiątki w postaci ułamka $\frac{1}{10}$ to po prostu gołe na tablicy $-1$ .

Z kolei niebezpieczną i zawieszoną niebotycznie wysoko nad nawiasem potęgę $\frac{t}{8}$ , bardzo poprawnie, zgodnie z nieubłaganymi prawami działań na logarytmach "zrzucamy" sobie grawitacyjnie prosto przed stojący, niebieski logarytm. I voila! Od teraz Mamy w dłoniach niezwykle proste, zupełnie zwykłe jednowymiarowe i płaskie na ziemi równanie liniowe!

-1 = \frac{t}{8} \cdot \log(0{,}5)

-8 = t \cdot \log(0{,}5)

t = \frac{-8}{\log(0{,}5)}

Odpowiedź Finalna (do przeniesienia na arkusz): Masa promieniotwórcza opadnie do swoich marnych i resztkowych 10% po drastycznym czasie wynoszącym dokładnie $t = \frac{-8}{\log(0{,}5)}$ dni (co tak z ciekawości daje po pośpiesznym wklepaniu na domowym kalkulatorze ok. 26.58 przebytego dnia). Egzaminator oceniający pracę w CKE nie szuka przybliżeń w tych potężnych równaniach otwartych! Oczekuje od Ciebie na kartce dokładnie i kropka w kropkę tej sztywnej formy zapisu ułamkowego podbitego obficie słowem "log" w mianowniku! To jest jedyna droga do 100%!

Wielowymiarowy Świat Funkcji Zrozumiany?

Zbudowałeś właśnie gigantyczny mentalny arsenał dla poziomu rozszerzonego z zakresu manipulacji i przenoszenia wykresów, logarytmowania uciekających na orbitę czasu potęg wykładniczych i pułapek w dziedzinie przy potężnym składaniu funkcji. Pora na wylanie potu podczas symulacji bojowej.

Uruchom Trudny Quiz z Funkcji 🚀

Teoria opanowana? Czas na praktykę!

Baza Quizów Maturalnych

Lista Pewniaków CKE