Przejdź do treści
Poziom Rozszerzony

Wyrażenia Algebraiczne i Równania

Przygotuj kartkę i długopis. Masz przed sobą 10 pytania wymagających głębszego zastanowienia.

Pytanie 1 / 10Programowanie
Równanie x2+mx+4=0x^2 + mx + 4 = 0 ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste, gdy:
▸ Wszystkie 10 pytań z wyjaśnieniamiRozwiń, jeśli wolisz przejrzeć zestaw bez rozwiązywania testu.

Wielomiany, parametr, wzory Viète'a i wartość bezwzględna.

1.Równanie x2+mx+4=0x^2 + mx + 4 = 0 ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste, gdy:

  • A.m∈(−4,4)m \in (-4, 4)
  • B.m∈(−∞,−4)∪(4,∞)m \in (-\infty, -4) \cup (4, \infty)— poprawna
  • C.m>4m > 4
  • D.m=4m = 4
Dlaczego: Δ=m2−16>0  ⟹  (m−4)(m+4)>0\Delta = m^2 - 16 > 0 \implies (m-4)(m+4) > 0. Rozwiązaniem jest suma przedziałów (−∞,−4)∪(4,∞)(-\infty, -4) \cup (4, \infty).

2.Wielomian W(x)=x3−2x2+ax+bW(x) = x^3 - 2x^2 + ax + b jest podzielny przez (x−1)(x-1) i (x+2)(x+2). Wynika stąd, że:

  • A.a=−5,b=−2a=-5, b=-2
  • B.a=−5,b=6a=-5, b=6— poprawna
  • C.a=1,b=2a=1, b=2
  • D.a=−1,b=4a=-1, b=4
Dlaczego: W(1)=0  ⟹  1−2+a+b=0  ⟹  a+b=1W(1)=0 \implies 1-2+a+b=0 \implies a+b=1. W(−2)=0  ⟹  −8−8−2a+b=0  ⟹  −2a+b=16W(-2)=0 \implies -8-8-2a+b=0 \implies -2a+b=16. Z układu równań otrzymujemy a=−5,b=6a=-5, b=6.

3.Suma kwadratów pierwiastków równania x2−5x+3=0x^2 - 5x + 3 = 0 wynosi:

  • A.2525
  • B.1919— poprawna
  • C.3131
  • D.1616
Dlaczego: x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2x_1^2 + x_2^2 = (x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2. Ze wzorów Viète'a: x1+x2=5x_1+x_2=5, x1x2=3x_1x_2=3. Zatem 25−2(3)=1925 - 2(3) = 19.

4.Reszta z dzielenia wielomianu P(x)=x4−3x3+2P(x) = x^4 - 3x^3 + 2 przez (x−2)(x-2) wynosi:

  • A.66
  • B.22
  • C.−6-6— poprawna
  • D.00
Dlaczego: P(2)=24−3(23)+2=16−24+2=−6P(2) = 2^4 - 3(2^3) + 2 = 16 - 24 + 2 = -6.

5.Ile rozwiązań ma równanie ∣x−3∣=−2|x-3| = -2?

  • A.00— poprawna
  • B.11
  • C.22
  • D.nieskończenie wiele
Dlaczego: Wartość bezwzględna nie może być ujemna.

6.Dziedziną wyrażenia 1x3−x\frac{1}{x^3-x} jest:

  • A.R\mathbb{R}
  • B.R∖{0}\mathbb{R} \setminus \{0\}
  • C.R∖{−1,0,1}\mathbb{R} \setminus \{-1, 0, 1\}— poprawna
  • D.R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\}
Dlaczego: x3−x=x(x2−1)=x(x−1)(x+1)≠0x^3-x = x(x^2-1) = x(x-1)(x+1) \ne 0. Wykluczamy −1,0,1-1, 0, 1.

7.Równanie x3+3x2−4x−12=0x^3 + 3x^2 - 4x - 12 = 0 ma pierwiastki:

  • A.2,−2,32, -2, 3
  • B.2,−2,−32, -2, -3— poprawna
  • C.1,−1,121, -1, 12
  • D.nie ma pierwiastków
Dlaczego: Grupowanie: x2(x+3)−4(x+3)=(x2−4)(x+3)=(x−2)(x+2)(x+3)=0x^2(x+3) - 4(x+3) = (x^2-4)(x+3) = (x-2)(x+2)(x+3) = 0.

8.Wartość mm, dla której równanie (m−1)x2+2x+1=0(m-1)x^2 + 2x + 1 = 0 jest liniowe, to:

  • A.00
  • B.11— poprawna
  • C.−1-1
  • D.każda rzeczywista
Dlaczego: Równanie jest liniowe, gdy współczynnik przy x2x^2 wynosi 0, czyli m−1=0m-1=0.

9.Liczba x=−2x = -2 jest pierwiastkiem wielomianu W(x)=x3+kx2−4W(x) = x^3 + kx^2 - 4. Zatem kk wynosi:

  • A.11
  • B.33— poprawna
  • C.22
  • D.00
Dlaczego: (−2)3+k(−2)2−4=0  ⟹  −8+4k−4=0  ⟹  4k=12  ⟹  k=3(-2)^3 + k(-2)^2 - 4 = 0 \implies -8 + 4k - 4 = 0 \implies 4k = 12 \implies k = 3.

10.Rozwiązaniem nierówności x2+1>0x^2 + 1 > 0 jest:

  • A.x∈Rx \in \mathbb{R}— poprawna
  • B.x∈∅x \in \emptyset
  • C.x>1x > 1
  • D.x>−1x > -1
Dlaczego: Kwadrat liczby powiększony o 1 jest zawsze dodatni.

Dlaczego ten quiz jest kluczowy?

Na poziomie rozszerzonym nie wystarczy znać wzory. Musisz rozumieć powiązania między działami. Ten quiz z tematu Wyrażenia Algebraiczne i Równania został zaprojektowany, aby wyłapać Twoje luki w dowodzeniu i analizie.

  • → Zgodność z nową podstawą programową 2027
  • → Zadania typu "wykaż, że" i zadania z parametrem

Wskazówka Maturalna:

Pamiętaj, że na rozszerzeniu liczy się zapis. Choć to quiz ABCD, staraj się rozwiązywać każde zadanie tak, jakby było zadaniem otwartym w arkuszu CKE. To najlepszy trening przed "prawdziwą" maturą.

To było za proste?

Sprawdź kolejny dział lub wróć do teorii.

Następny Quiz →
Wolisz zadania otwarte? Zobacz Pewniaki Maturalne →