Liczby Rzeczywiste i Logarytmy

Część 1: Liczby Rzeczywiste i Dowody

Na maturze rozszerzonej z matematyki, liczby rzeczywiste to Twój główny poligon doświadczalny dla umiejętności przekształcania wyrażeń. To właśnie tutaj spotkasz dowody algebraiczne wykazujące prawdziwość nierówności, które wymagają zmyślnego grupowania wyrazów i stosowania zaawansowanych wzorów skróconego mnożenia. Opanowanie tej części (wraz z kluczowym słownym komentarzem) to absolutny fundament do rozwiązywania bardziej złożonych problemów z arkusza CKE.

📋 Spis treści

Dowody Algebraiczne

1 Podstawy dowodzenia i Krok po kroku
2 Potęgi 3. stopnia i potężne grupowanie
3 Niezbędnik Dowodziciela (Ściąga z kroków)

Logarytmy Rozszerzone

4 Wzór na zamianę podstawy logarytmu
5 Własność "A-Log-A" i wyciąganie potęg
6 Zadania dowodowe z logarytmów (Zmienna t)

Dowody algebraiczne (Zrozumieć schemat)

Dowody wykazujące prawdziwość konkretnej nierówności to absolutny standard. O ile na poziomie podstawowym wystarczy zazwyczaj użyć jednego wzoru skróconego mnożenia, o tyle rozszerzenie wymaga od nas grupowania wyrazów i tworzenia sumy kilku kwadratów. CKE sprawdza tutaj, czy potrafisz manipulować wyrażeniem tak, aby z chaosu ułożyć logiczną matematyczną całość.

Krok 1: Redukcja

Przenieś wszystkie elementy na lewą stronę tak, aby po prawej zostało tylko

\ge 0

lub

\le 0

. Wymnóż wszystkie nawiasy.

Krok 2: Rozbicie

Szukaj "łączników", czyli wyrażeń z mnożeniem dwóch liter typu

-4xy

. To one podpowiadają, jakich kwadratów użyjesz do zbudowania nawiasów.

Krok 3: Komentarz

Sam zapis matematyczny to nie wszystko! Musisz na końcu słownie skomentować, dlaczego otrzymana przez Ciebie postać jest zawsze prawdziwa.

🧠 Złota zasada dowodów na rozszerzeniu

Jeśli masz nierówność z dwiema zmiennymi, z których jedna jest w pierwszej potędze, a reszta w drugiej (np. są $x^2$ oraz $y^2$ , ale są też $x$ lub $y$ osobno bez potęgi), prawie zawsze musisz zwinąć całe wyrażenie do postaci sumy dwóch osobnych kwadratów:

(a \pm b)^2 + (c \pm d)^2 \ge 0

Przykładowe zadanie CKE:

Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych $x$ oraz $y$ zachodzi nierówność:

x^2 + 5y^2 - 4xy + 2y + 1 \ge 0

Krok 1: Namierzamy pierwszy wzór skróconego mnożenia.

Widzimy środek pierwszego wzoru: $-4xy$ . Aby zwinąć go w nawias $(a-b)^2$ , potrzebujemy $x^2$ z lewej strony oraz dokładnie $4y^2$ z prawej strony. Rozbijamy więc nasze $5y^2$ ze wzoru na dwa bezpieczne kawałki: $4y^2 + y^2$ .

x^2 - 4xy + 4y^2 + y^2 + 2y + 1 \ge 0

Krok 2: Grupujemy wyrazy w nawiasy.

Teraz wyraźnie widać dwie niezależne grupy, które idealnie pasują do dwóch podstawowych wzorów skróconego mnożenia.

(x^2 - 4xy + 4y^2) + (y^2 + 2y + 1) \ge 0

Krok 3: Zwijamy i komentujemy (Klucz do max punktów).

Zwijamy oba nawiasy z powrotem i otrzymujemy ostateczną postać dowodu.

(x - 2y)^2 + (y + 1)^2 \ge 0

Wymagany komentarz egzaminacyjny na koniec:

"Suma kwadratów dwóch dowolnych liczb rzeczywistych jest zawsze większa lub równa zero. Ponieważ wyrażenia $(x - 2y)^2$ oraz $(y + 1)^2$ są nieujemne dla każdego $x, y \in \mathbb{R}$ , to ich suma również jest nieujemna, co kończy dowód."

Potęgi 3. stopnia i potężne grupowanie

CKE uwielbia sprawdzać, czy potrafisz połączyć wzory skróconego mnożenia z klasycznym grupowaniem wyrazów. Zazwyczaj pojawiają się tu sześciany i – co najgroźniejsze – szczegółowe założenia z treści zadania, z których na koniec musisz się wytłumaczyć na papierze.

Zadanie maturalne za 3 punkty:

Wykaż, że dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej $a$ i dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej $b$ takich, że $b \neq \frac{1}{2}a$ , prawdziwa jest nierówność:

(a + 2b)^3 > 8a^2b + 16ab^2

Krok 1: Wzór na sześcian sumy.

Na początku rozpisujemy lewą stronę ze wzoru na sześcian sumy $(x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$ . Pamiętaj, aby podnosić do potęgi zawsze całe wyrażenie w nawiasie $(2b)$ .

a^3 + 3a^2(2b) + 3a(2b)^2 + (2b)^3 > 8a^2b + 16ab^2

a^3 + 6a^2b + 12ab^2 + 8b^3 > 8a^2b + 16ab^2

Krok 2: Przerzucamy wszystko na lewą i redukujemy.

a^3 - 2a^2b - 4ab^2 + 8b^3 > 0

Krok 3: Grupowanie wyrazów (Pierwszy z drugim, trzeci z czwartym).

Grupujemy w pary wyciągając przed nawias to, co maksymalnie się powtarza w obu grupach.

a^2(a - 2b) - 4b^2(a - 2b) > 0

(a^2 - 4b^2)(a - 2b) > 0

Krok 4: Odkodowanie ukrytego wzoru.

Pierwszy, ten lewy nawias to nic innego jak standardowa różnica kwadratów! Rozbijamy go na dwa nawiasy, a następnie łączymy identyczne człony w kwadrat potęgi.

(a - 2b)(a + 2b)(a - 2b) > 0

(a - 2b)^2(a + 2b) > 0

⚠️ Krok 5: Analiza założeń z treści (Kluczowe!)

CKE dała nam w pierwszej linijce zadania bardzo konkretne założenia. Teraz musimy ich użyć krok po kroku, by ostatecznie udowodnić egzaminatorowi, że rozłożona lewa strona jest ściśle większa od zera:

Z treści zadania wiemy, że $a > 0$ oraz $b > 0$ . Wynika z tego bezpośrednio, że ich łączona suma $a + 2b$ musi być również na pewno dodatnia ( $a + 2b > 0$ ).
Z treści zadania wiemy, że $b \neq \frac{1}{2}a$ , czyli po pomnożeniu $2b \neq a$ . To oznacza, że $a - 2b \neq 0$ . Kwadrat każdej liczby różnej od zera w matematyce jest zawsze na plusie ( $(a - 2b)^2 > 0$ ).

"Iloczyn dwóch liczb ułożonych na podstawie założeń, z których każda jest ściśle dodatnia, jest zawsze dodatni, co formalnie kończy dowód."

Kompendium: Niezbędnik Dowodziciela

Utknąłeś na dowodzie algebraicznym i nie wiesz, jak w ogóle ruszyć ołówek? Oto 3 absolutnie kluczowe pytania, które musisz sobie zadać w brudnopisie:

🔍

1. Czy mam ułamki?

Jeśli w tezie zadania masz mianowniki, sprowadź wszystko do wspólnego mianownika LUB pomnóż nierówność obustronnie przez ten mianownik. Uważaj: możesz mnożyć nierówność ze zniknięciem dołu tylko wtedy, gdy masz absolutną pewność z założeń, że ten mianownik jest zawsze dodatni!

📦

2. Są potęgi parzyste?

Mając na planszy samo $a^2$ i $b^2$ , strzelaj od razu w zwinięcie wszystkiego w $(a \pm b)^2 \ge 0$ . Jeśli wyrazów jest znacznie więcej (np. z iksem puszczonym luzem), szukaj rozbicia wszystkiego na sumę dwóch odseparowanych kwadratów.

🎲

3. Są potęgi nieparzyste?

Widzisz potęgę 3. stopnia wejściowo w zadaniu? W 9 na 10 przypadków CKE na rozszerzeniu oznacza to, że musisz coś pogrupować i doprowadzić do końcowej postaci iloczynowej typu $(x-y)(\text{reszta}) > 0$ , a znaki odczytać bezpośrednio i brutalnie z wyjściowych założeń zadania.

Część 2: Logarytmy (Królowie Rozszerzenia)

Logarytmy na poziomie rozszerzonym to zupełnie inna, wyższa liga w porównaniu do podstawy. Tutaj rzadko kiedy będziesz tylko "zwijać" gotowe dodawanie logarytmów w jedno mnożenie. CKE będzie wymagać od Ciebie swobodnego żonglowania podstawami, korzystania z nietypowych własności wyrzucania potęg z dołu logarytmu oraz przeprowadzania dowodów algebraicznych, w których właśnie ta dziwna funkcja gra pierwsze skrzypce.

Wzór na zamianę podstawy logarytmu

Nie da się skutecznie dodawać ani odejmować logarytmów, jeśli w swoich dolnych nogach mają one zupełnie różne podstawy. Kiedy dostajesz wyrażenie typu $\log_2(x) + \log_4(x)$ , Twoim jedynym ratunkiem staje się wzór na zamianę podstawy. Pozwala on "wybrać" z głowy i z powietrza zupełnie nową, pasującą nam matematycznie podstawę (oznaczaną we wzorze jako $c$ ).

Wzór główny (dostępny w tablicach CKE):

\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}

Jak to wykorzystać w praktyce?

Mamy okropne, duże $\log_4(x)$ i chcemy sztucznie przejść z czwórki na mniejszą podstawę $2$ (czyli wprowadzamy z powietrza nasze $c=2$ ):

\log_4(x) = \frac{\log_2(x)}{\log_2(4)} = \frac{\log_2(x)}{2} = \frac{1}{2}\log_2(x)

🔄

Błyskawiczne Odwracanie

Istnieje genialny wniosek z tego długiego wzoru na ułamek. Jeśli podstawisz od razu $c=b$ , to fizycznie zamienisz miejscami podstawę z wielkim argumentem w środku, co pozwala po prostu matematycznie odwrócić logarytm ułamkiem do góry nogami:

\log_a b = \frac{1}{\log_b a}

Inne (potężne) wzory trygonometryczno-logarytmiczne

Na rozszerzeniu sama znajomość wzoru na złączenie logarytmów w sumę nie wystarczy. Musisz znać triki, które pozwalają "wyciągać" potęgi na zewnątrz logarytmu, a także rozumieć, co absurdalnego się dzieje, gdy cały logarytm fizycznie ląduje w wykładniku potęgi.

Własność "A-Log-A" (Zjadacz)

Jeśli podstawa bardzo dużej potęgi jest dokładnie taka sama jak podstawa zagnieżdżonego w niej logarytmu w wykładniku, one się matematycznie "zjadają", zostawiając na ziemi sam argument.

a^{\log_a b} = b

Przykład z testu: $3^{\log_3 5} = 5$

Wyrzucanie potęgi z DOŁU

Potęgę leżącą przy argumencie wrzucamy przed logarytm jako zwykłą liczbę, ALE potęgę tkwiącą w małej podstawie u dołu wyrzucamy przed znak jako odwrotność (ułamek)!

\log_{a^n} b = \frac{1}{n} \log_a b

Przykład: $\log_8 5 = \log_{2^3} 5 = \frac{1}{3}\log_2 5$

Zadania dowodowe z logarytmów (Klasyk CKE)

CKE na rozszerzeniu kocha łączyć dwa zjawiska: dział "Liczby Rzeczywiste" z "Logarytmami", tworząc trudne z pozoru dowody algebraiczne utkane z logarytmów. Schemat postępowania jest jednak niemal zawsze identyczny jak kalka: zastosuj wzór na odwracanie, wprowadź sztuczną zmienną pomocniczą (np. literę $t$ ) i sprowadź całość w dół do bezpiecznego wzoru skróconego mnożenia.

Zadanie dowodowe krok po kroku:

Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych $a > 1$ oraz $b > 1$ zachodzi zawsze nierówność:

\log_a b + \log_b a \ge 2

Krok 1: Wykorzystujemy wzór na odwracanie (z punktu 4).

Widzimy, że na planszy logarytmy są dosłownie swoimi lustrzanymi "odwrotnościami". Używamy wzoru zamiany: $\log_b a = \frac{1}{\log_a b}$ .

\log_a b + \frac{1}{\log_a b} \ge 2

Krok 2: Wprowadzamy zmienną pomocniczą $t$ .

Niech nasze wielkie $t = \log_a b$ . Ponieważ z surowych założeń na górze $a > 1$ i $b > 1$ , to wiemy w 100%, że nasz podstawiony logarytm jest sam w sobie wielkością dodatnią, czyli $t > 0$ .

t + \frac{1}{t} \ge 2

Krok 3: Mnożymy i zwijamy (standardowy dowód algebraiczny).

Ponieważ wiemy na 100% z kroku wyżej, że $t > 0$ , możemy bezpiecznie i zgodnie z prawem pomnożyć nierówność obustronnie przez to $t$ bez lęku o zmianę znaku równania.

t^2 + 1 \ge 2t

t^2 - 2t + 1 \ge 0

(t - 1)^2 \ge 0

Wymagany komentarz egzaminacyjny:

"Kwadrat dowolnie wyliczonej na Ziemi liczby rzeczywistej jest zawsze większy lub uderza idealnie w zero. Ponieważ uzyskana na końcu nierówność $(t-1)^2 \ge 0$ jest bezapelacyjnie prawdziwa, a nasze przekształcenia były cały czas równoważne i bezpieczne znakowo, to wyjściowa nierówność również jest prawdziwa, co kończy ostatecznie dowód."

Teoria opanowana? Czas na praktykę!

Baza Quizów Maturalnych

Lista Pewniaków CKE