Ciągi i Szeregi

Wstęp: Nieskończoność to dopiero początek

Witaj w dziale, w którym matematyka fizycznie zaczyna dotykać nieskończoności. O ile na poziomie podstawowym ciągi miały bardzo konkretną, skończoną liczbę wyrazów, tutaj nauczysz się dodawać do siebie nieskończenie wiele ułamków i badać, do jakiej granicy zmierza ciąg, gdy jego numer rośnie bez absolutnie żadnego końca. Zaczniemy jednak od absolutnego pewniaka, czyli maturalnych "miksów".

📋 Spis treści

Klasyka i Baza

1 Ciąg Arytmetyczny (Fundament)
2 Ciąg Geometryczny i Miksy

Nieskończoność

3 Granice Ciągów i L'Hospital
4 Nieskończone Szeregi Geometryczne

Ciąg Arytmetyczny (Fundament)

Ciąg arytmetyczny to matematyczny odpowiednik wchodzenia po idealnie równych schodach. Z każdym krokiem pokonujesz dokładnie tę samą wysokość. Tę stałą wartość, którą dodajemy do każdego wyrazu, nazywamy różnicą ciągu i oznaczamy literą $r$ .

Wzór na n-ty wyraz

Pozwala "przeskoczyć" z pierwszego wyrazu na dowolny inny.

a_n = a_1 + (n-1)r

Suma wyrazów (Dwa wzory!)

Używaj pierwszego, gdy znasz ostatni wyraz, a drugiego, gdy masz tylko

r

S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n

S_n = \frac{2a_1 + (n-1)r}{2} \cdot n

Złota własność

Środkowy wyraz to idealna średnia arytmetyczna jego sąsiadów. Twój ratunek w zadaniach z "x".

a_n = \frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}

Przykład rozszerzony: Budowanie układu równań

W ciągu arytmetycznym trzeci wyraz wynosi $8$ , a siódmy $20$ . Oblicz sumę dwudziestu początkowych wyrazów tego nieskończonego ciągu.

Krok 1: Rozpisujemy dane ze wzoru na n-ty wyraz.

Każdy wymyślony wyraz w ciągu arytmetycznym możemy matematycznie zapisać za pomocą $a_1$ oraz $r$ . Tworzymy sztywny układ równań:

\begin{cases} a_3 = a_1 + 2r = 8 \\ a_7 = a_1 + 6r = 20 \end{cases}

Krok 2: Rozwiązujemy układ równań.

Najszybciej i najbezpieczniej odjąć równania stronami w słupku (od dolnego górne):

(a_1 + 6r) - (a_1 + 2r) = 20 - 8

4r = 12 \implies r = 3

Podstawiamy grzecznie nasze wyliczone $r = 3$ do pierwszego równania: $a_1 + 2(3) = 8 \implies a_1 = 2$ .

Krok 3: Obliczamy ostateczną sumę.

Mamy już wszystko na stole! Używamy drugiego dłuższego wzoru na sumę (bo mamy pewne $a_1$ i $r$ ), podstawiając za małe $n = 20$ .

S_{20} = \frac{2 \cdot 2 + (20-1) \cdot 3}{2} \cdot 20

S_{20} = \frac{4 + 57}{2} \cdot 20 = 61 \cdot 10 = 610

Ciąg Geometryczny (Fundament i Miksy)

Ciąg geometryczny to z kolei matematyczny odpowiednik lawiny śnieżnej lub stada namnażających się bakterii w szalce. Każdy kolejny wyraz powstaje przez pomnożenie poprzedniego przez stałą liczbę, zwaną bezlitosnym ilorazem ciągu – $q$ .

Wzór na n-ty wyraz

Zauważ ostrożnie, że potęga u góry przy

q

jest zawsze o jeden mniejsza niż numer wyrazu!

a_n = a_1 \cdot q^{n-1}

Suma wyrazów

Klasyczny wzór z tablic CKE (obowiązuje tylko gdy

q \neq 1

S_n = a_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q}

Złota własność

Kwadrat środkowego wyrazu to po prostu czysty iloczyn jego bezpośrednich sąsiadów.

a_n^2 = a_{n-1} \cdot a_{n+1}

Przykład Rozszerzony: Dzielenie równań

W ściśle rosnącym ciągu geometrycznym drugi wyraz wynosi $6$ , a czwarty wyraz to duża liczba $54$ . Wyznacz pierwszy wyraz oraz iloraz tego ciągu.

Krok 1: Rozpisujemy układ równań z potęgami.

Znowu, wszystko sprowadzamy do fundamentów $a_1$ oraz $q$ .

\begin{cases} a_2 = a_1 \cdot q = 6 \\ a_4 = a_1 \cdot q^3 = 54 \end{cases}

Krok 2: Dzielenie równań stronami (Magiczny trik geometryczny!).

Zamiast żmudnie i z błędami wyznaczać zmienną i ją podstawiać, w ciągu geometrycznym najłatwiej brutalnie podzielić jedno równanie przez drugie w ułamku (np. grubsze dolne przez chudsze górne). Wtedy $a_1$ natychmiast się skróci i wyparuje!

\frac{a_1 \cdot q^3}{a_1 \cdot q} = \frac{54}{6}

$q^2 = 9$

Uwaga na pułapkę CKE!

Z otrzymanego równania $q^2 = 9$ wynikają algebraicznie dwa możliwe rozwiązania: $q = 3$ lub $q = -3$ . Ale w treści zadania mamy na starcie rzucone kluczowe słowo: ciąg rosnący. Skoro wyrazy ciągną do góry i są dodatnie (6, 54...), to mnożnik $q$ bezwzględnie musi być na plusie. Zatem stanowczo odrzucamy -3. Ostatecznie $q = 3$ .

Krok 3: Obliczamy ostatecznie wyraz pierwszy.

Wystarczy tylko podstawić wyliczone z potem $q$ do najprostszego równania linijkę wyżej:

a_1 \cdot 3 = 6 \implies a_1 = 2

Granice Ciągów i Funkcji (Nieskończoność na tacy)

Granice (limesy) to matematyczne badanie tego, do jakiej docelowej wartości zbliża się nasze dzikie wyrażenie. W przypadku ciągów badamy to z definicji tylko dla $n \to \infty$ . W przypadku funkcji możemy zbadać, co dzieje się w nieskończoności ( $x \to \infty$ ), ale też z bliska, co dzieje się, gdy "iks" zbliża się krok po kroku do konkretnej, twardej liczby, np. $x \to 3$ . To tutaj spotykamy w ciemnej uliczce słynne symbole nieoznaczone.

A. Granice w nieskończoności (Królewski Pojedynek Potęg)

Kiedy liczysz granicę w nieskończoności z wielkiego ułamka wielomianów, liczą się tylko i wyłącznie najwyższe potęgi stojące w liczniku i mianowniku. Całą resztę "ogonów" można bezkarnie zignorować i wymazać. Ten trywialny schemat działa identycznie dla ciągów ( $n$ ) i funkcji ( $x$ ).

Licznik WYGRYWA:

Góra rośnie szybciej niż dół. Ułamek eksploduje. Wynik to

\infty

(lub

-\infty

\lim_{n \to \infty} \frac{n^3}{n^2 + 1} = \infty

Mianownik WYGRYWA:

Dół rośnie szybciej i miażdży górę. Ułamek bezlitośnie dąży wprost do

0

\lim_{x \to \infty} \frac{5x}{x^2 - 3} = 0

REMIS POTĘG:

Potęgi są takie same! Wynik to goły stosunek współczynników stojących przy nich.

\lim_{n \to \infty} \frac{\mathbf{6}n^2 - n}{\mathbf{2}n^2 + 5} = \mathbf{3}

B. Granice w punkcie i groźny symbol $\left[\frac{0}{0}\right]$

Co się dzieje w matematyce, gdy badamy mikroskopijną granicę funkcji przy dążeniu $x \to 2$ , a po podstawieniu dwójki otrzymujemy zero zarówno w liczniku, jak i zablokowane zero w mianowniku? Otrzymujemy symbol nieoznaczony $\left[\frac{0}{0}\right]$ . To znak, że wykres ma w tym miejscu "pustą dziurę", ale sama granica przylegania jak najbardziej istnieje i czeka na odkrycie!

Metoda Klasyczna: Rozkład na czynniki

Zgodnie z potężnym twierdzeniem Bézouta, skoro wstawienie "2" dało fizyczne zero, to zarówno wielki licznik, jak i dół (mianownik) dzielą się ukradkiem przez nawias $(x-2)$ . Wystarczy je pogrupować (lub z boku policzyć deltę) i bezwzględnie skrócić "winowajcę" wywołującego zero!

\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x^2 - 3x + 2} = \left[\frac{0}{0}\right]

\lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(x+2)}{(x-2)(x-1)} = \lim_{x \to 2} \frac{x+2}{x-1} = \frac{2+2}{2-1} = 4

C. Reguła de L'Hospitala (Szpitalna Królowa Granic)

Rozkładanie na proste czynniki jest fajne, ale co w sytuacji, jeśli w liczniku masz zakopane sinusy, logarytmy naturalne albo piętrowe pierwiastki? Wtedy na białym koniu wjeżdża z hukiem Reguła de L'Hospitala. To potężne, akademickie twierdzenie, które mówi: jeśli masz w garści symbol $\left[\frac{0}{0}\right]$ lub $\left[\frac{\infty}{\infty}\right]$ , to możesz i masz pełne prawo policzyć kompletnie niezależnie pochodną licznika i z osobna pochodną mianownika. Granica całości się od tego nie zmieni!

⚠️

Złota zasada stosowania Szpitala

Pamiętaj: liczymy pochodną ze szczytu góry i zupełnie osobno pochodną z dołu. Nigdy nie stosujemy tu skomplikowanego wzoru na pochodną ilorazu! Dodatkowo, aby na maturze CKE uznało Ci ten bezczelny zapis, nad nowym znakiem równości musisz zawsze, bezwzględnie napisać duże "H" w nawiasie.

L'Hospital w praktyce (Dowód Maturalny):

Oblicz skomplikowaną granicę z potęgą:

\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{\sin(x)}

Krok 1: Sprawdzamy glejt, czy w ogóle mamy prawo wjechać z Hospitalem.

Podstawiamy w pamięci czyste $x=0$ do równania. Wiemy z własności, że $e^0 = 1$ , a $\sin(0) = 0$ .

\frac{e^0 - 1}{\sin(0)} = \frac{1 - 1}{0} = \left[\frac{0}{0}\right]

Mamy idealne

\left[\frac{0}{0}\right]

, więc droga wolna! Odpalamy protokół.

Krok 2: Uruchamiamy L'Hospitala.

Liczymy niezależną pochodną z licznika: $(e^x - 1)' = e^x$ .

Liczymy odciętą pochodną z mianownika: $(\sin(x))' = \cos(x)$ .

\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{\sin(x)} \stackrel{[H]}{=} \lim_{x \to 0} \frac{e^x}{\cos(x)}

Podstawiamy po raz drugi nasze felerne zero, by zbadać wynik nowej formy:

\frac{e^0}{\cos(0)} = \frac{1}{1} = 1

A co z ciągami?

Regułę de L'Hospitala z pochodnymi matematycznie stosujemy tylko i wyłącznie dla zmiennej ciągłej $x$ . Jeśli masz granicę złożoną z dyskretnego ciągu $a_n$ i bardzo chcesz użyć tego morderczego twierdzenia, musisz na marginesie na chwilę "zamienić" ciąg na funkcję (zamienić ołówkiem literki $n$ na $x$ ), policzyć granicę dla funkcji z użyciem Hospitala, a na sam koniec napisać sprytny wniosek, że skoro cała funkcja dąży do danego wyniku, to ciąg na niej leżący również osiągnie to dno.

Nieskończone Szeregi Geometryczne

Jak to w ogóle fizycznie możliwe, że dodajemy do siebie nieskończenie, absolutnie w nieskończoność wiele liczb i nie otrzymujemy przytłaczającej nieskończoności? Jest to matematycznie możliwe tylko wtedy, gdy liczby, które dorzucamy do kotła, stają się z kroku na krok błyskawicznie coraz mniejsze, zbiegając do pyłu. Na maturze nazywamy to twardo warunkiem zbieżności szeregu.

Wzór na Sumę Szeregu

Sumę tę, dla odróżnienia od zwykłej, oznaczamy po prostu dużą literą $S$ (bez żadnego uciśnioného "n" na dole, bo bierzemy wszystko). Wzór jest bajecznie prosty!

S = \frac{a_1}{1 - q}

⚠️ Bezwzględny Warunek Zbieżności

To za to CKE przyznaje bez pytania pierwszy punkt z klucza! Szereg ma na ziemi skończoną sumę tylko i wyłącznie wtedy, gdy jego iloraz twardo spełnia warunek:

|q| < 1

czyli $q \in (-1, 1)$

Maturalny Pewniak za 4 pkt (Równanie z Szeregiem):

Rozwiąż podane równanie:

x + x^2 + x^3 + \dots = \frac{1}{2}

Krok 1: Identyfikujemy ciąg i zapisujemy punktowany warunek.

Lewa strona zadania to ewidentnie rozciągnięty w nieskończoność szereg geometryczny. Musimy z niego ustalić jego wyraz pierwszy $a_1$ oraz kluczowy iloraz $q$ .

a_1 = x

q = \frac{x^2}{x} = x

WARUNEK ISTNIENIA: $|q| < 1 \implies |x| < 1 \implies x \in (-1, 1)$

Krok 2: "Zwijamy" nieskończoność do małego ułamka.

Skoro znamy gotowy wzór na sumę, podstawiamy nasze dane wyciągnięte z zadania ( $a_1 = x$ oraz $q = x$ ) do małego wzoru: $S = \frac{a_1}{1 - q}$ .

S = \frac{x}{1 - x}

Krok 3: Rozwiązujemy ostateczne równanie wymierne.

Wracamy pamięcią do naszego początkowego, górnego równania. Całą długą lewą stronę kropkowaną zastępujemy naszym zwiniętym ułamkiem.

\frac{x}{1 - x} = \frac{1}{2}

Mnożymy po prostu proporcją "na krzyż" (jesteśmy bezpieczni, ponieważ z naszego warunku $x \in (-1, 1)$ wiemy, że mianownik nie ma szans na bycie zerem):

2 \cdot x = 1 \cdot (1 - x)

2x = 1 - x

3x = 1 \implies x = \frac{1}{3}

Krok 4: Weryfikacja (Klucz do zdobycia maksa punktów)

Sprawdzamy z lupą, czy nasz wylosowany wynik należy w ogóle do dziedziny ustalonej krwią w Kroku 1. Czy $\frac{1}{3} \in (-1, 1)$ ? Oczywiście, że TAK.

Odpowiedź końcowa:

x = \frac{1}{3}

Nieskończoność nie ma przed Tobą tajemnic?

Zrozumienie symboli nieoznaczonych i wyłapanie haczyka ze zbieżnością w szeregu geometrycznym to bilet wstępu na najlepsze politechniki w kraju. Sprawdź, czy potrafisz utrzymać ten poziom w praktycznym teście bojowym!

Uruchom Piekielny Quiz z Ciągów 🚀

Teoria opanowana? Czas na praktykę!

Baza Quizów Maturalnych

Lista Pewniaków CKE