Trygonometria

Wstęp: Witaj w krainie fal i okręgów

Trygonometria na maturze rozszerzonej to zupełnie inna bajka niż na podstawie. Tutaj kąty nie kończą się na 90 stopniach. Będziemy kręcić się w nieskończoność po okręgu, zamieniać stopnie na radiany, "redukować" wielkie kąty do tych ostrych oraz rozwiązywać równania, które mają nieskończenie wiele rozwiązań. Spokojnie – większość narzędzi, których potrzebujesz, leży bezpiecznie w tablicach CKE!

📋 Spis treści

Podstawy i Wzory

1 Miara łukowa i stopniowa
2 Definicje (Koło trygonometryczne)
3 Wykresy i okresowość
4 Wzory redukcyjne (Trik Kowala)
5 Wzory na sumy i kąty podwojone
6 Tożsamości trygonometryczne (Dowody)

Równania Trygonometryczne

7 Wstęp do równań trygonometrycznych
8 Równania kwadratowe z "t"
9 Metoda Iloczynowa
10 Wybieranie rozwiązań z przedziału
11 Kompleksowe zadanie z arkusza

Zamiana Kątów (Stopnie vs Radiany)

Na rozszerzeniu rzadko używamy stopni. Przechodzimy na profesjonalną miarę łukową (radiany). Radian to nic innego jak długość łuku, który wycina kąt na okręgu o promieniu 1. Zapamiętaj tylko jedno najważniejsze równanie, z którego wyciągniesz wszystko za pomocą proporcji!

\pi = 180^\circ

Stopnie $\implies$ Radiany

Chcąc zamienić stopnie na radiany, mnożysz wartość przez $\frac{\pi}{180^\circ}$ .

60^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{60\pi}{180} = \frac{\pi}{3}

Radiany $\implies$ Stopnie

Wystarczy w miejsce $\pi$ wstawić $180^\circ$ i wykonać mnożenie/dzielenie.

\frac{5\pi}{4} = \frac{5 \cdot 180^\circ}{4} = 5 \cdot 45^\circ = 225^\circ

Definicje dla dowolnego kąta (Koło trygonometryczne)

W trójkącie prostokątnym nie narysujesz kąta 200 stopni. Dlatego na rozszerzeniu wkładamy kąt do układu współrzędnych. Jego wierzchołek jest w środku $(0,0)$ , a jedno ramię leży na dodatniej osi OX. Bierzemy dowolny punkt $P(x,y)$ na drugim ramieniu kąta. Odległość tego punktu od środka to ramię $r$ (gdzie z Pitagorasa $r = \sqrt{x^2 + y^2}$ ).

Sinus

\sin\alpha = \frac{y}{r}

(odpowiada współrzędnej igrekowej)

Cosinus

\cos\alpha = \frac{x}{r}

(odpowiada współrzędnej iksowej)

Tangens

\tan\alpha = \frac{y}{x}

(tutaj mianownik nie może być zerem!)

🧠

Maturalny wierszyk o znakach

Ponieważ punkt $P(x,y)$ krąży po wszystkich czterech ćwiartkach układu, iks i igrek mogą być ujemne. Stąd wzięły się znaki funkcji. Pamiętaj ten krótki wierszyk (nie znajdziesz go w tablicach!):

"W pierwszej ćwiartce same plusy, w drugiej tylko sinus. W trzeciej tangens i cotangens, a w czwartej cosinus."

Wykresy i Okresowość (Fale Trygonometryczne)

Wykresem sinusa (i cosinusa) jest sinusoida – niekończąca się fala. Najważniejszą cechą tych funkcji jest okresowość, co oznacza, że po pewnym czasie ich kształt powtarza się w 100%. To dlatego równania trygonometryczne mają nieskończenie wiele rozwiązań!

Sinus i Cosinus

Dziedzina: $x \in \mathbb{R}$ (wszystkie liczby)
Zbiór wartości: $y \in \langle -1, 1 \rangle$ (fala jest zamknięta z góry i z dołu)
Okres podstawowy: $T = 2\pi$ (czyli $360^\circ$ – co tyle wykres zaczyna się od nowa)

Tangens

Dziedzina: Wyrzucamy punkty, w których cosinus to zero (np. $90^\circ$ , czyli $\frac{\pi}{2}$ ).
Zbiór wartości: $y \in \mathbb{R}$ (leci w dół i w górę bez końca)
Okres podstawowy: $T = \pi$ (powtarza się dwa razy szybciej!)

Wzory Redukcyjne (Zasada Kowala)

W tablicach CKE znajduje się cała strona przerażających wzorów redukcyjnych. Nikt normalny nie uczy się ich na pamięć. Istnieje prosta, dwuetapowa zasada, dzięki której poradzisz sobie z każdym "wielkim" kątem, np. $\cos(120^\circ)$ czy $\sin(\frac{7\pi}{6})$ .

Algorytm Redukcji (2 Kroki):

Zadanie: Oblicz wartość $\cos(150^\circ)$ . Rozbijamy kąt używając osi układu współrzędnych: $\cos(180^\circ - 30^\circ)$ lub $\cos(90^\circ + 60^\circ)$ .

Krok 1: Znak (+ czy - ?)

Kąt $150^\circ$ leży w drugiej ćwiartce. Wierszyk mówi: "w drugiej tylko sinus". My sprawdzamy cosinusa, więc dajemy znak minusa z przodu!

Krok 2: Zamiana na kofunkcję (Reguła Konia)

Spoglądamy na bazowy kąt (ten leżący na osi, względem którego odkładamy resztę):

• Jeśli użyliśmy osi pionowej (kąty $90^\circ, 270^\circ$ , czyli $\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}$ ), kiwamy głową w pionie ("TAK"). Funkcja ZMIENIA SIĘ na swoją kofunkcję (sin na cos, tg na ctg).

• Jeśli użyliśmy osi poziomej (kąty $180^\circ, 360^\circ$ , czyli $\pi, 2\pi$ ), kręcimy głową w poziomie ("NIE"). Funkcja ZOSTAJE BEZ ZMIAN.

Dla osi poziomej (180°):

\cos(180^\circ - 30^\circ) = -\cos(30^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2}

Dla osi pionowej (90°):

\cos(90^\circ + 60^\circ) = -\sin(60^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2}

Wzory: Sumy, różnice i podwojone kąty

To broń najcięższego kalibru. Kiedy w równaniu lub tożsamości zobaczysz podwojony kąt (np. $2x$ ), zawsze musisz zrzucić go do pojedynczego iksa. Używasz do tego wzorów z tablic.

Sinus podwojonego kąta

\sin(2\alpha) = 2 \sin\alpha \cos\alpha

Wspaniały wzór, bo ma tylko jedną postać!

Cosinus podwojonego kąta

\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha

Można go łatwo modyfikować z jedynki trygonometrycznej.

Tożsamości Trygonometryczne (Dowodzenie)

Często w zadaniu masz wykazać, że lewa strona równania z wielkim potworem trygonometrycznym równa się prostej liczbie z prawej strony. Rozwiązanie polega na sprowadzaniu wszystkiego do funkcji sinus i cosinus za pomocą dwóch fundamentów:

\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1

ORAZ

\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}

Klasyczny Dowód:

Wykaż, że dla każdego kąta ostrego $\alpha$ zachodzi: $(\sin\alpha + \cos\alpha)^2 + (\sin\alpha - \cos\alpha)^2 = 2$

Startujemy ZAWSZE od jednej strony, która jest dłuższa i trudniejsza (tutaj Lewa Strona). Podnosimy do kwadratu ze wzorów skróconego mnożenia:

L = (\sin^2\alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha + \cos^2\alpha) + (\sin^2\alpha - 2\sin\alpha\cos\alpha + \cos^2\alpha)

Zauważ, że środkowe człony z dwójką kasują się nawzajem!

L = \sin^2\alpha + \cos^2\alpha + \sin^2\alpha + \cos^2\alpha

Zauważamy dwie "Jedynki Trygonometryczne":

L = 1 + 1 = 2

L = P

(Lewa strona równa się Prawej, co kończy dowód)

Wstęp do Równań Trygonometrycznych

Najważniejsza zasada rozwiązywania równań (np. $\sin x = \frac{1}{2}$ ): takie równanie ma nieskończenie wiele rozwiązań! Skoro funkcja rysuje się w kółko (fala powtarza się co $2\pi$ ), to nie masz tylko jednego iksa, dla którego wynik to jedna druga. Masz ich tysiące. Dlatego do wyniku zawsze doklejamy informację o okresowości.

Przykład:

\sin x = \frac{1}{2}

Z małej tabelki w tablicach wyczytujesz podstawowy kąt:

x_0 = 30^\circ

(czyli

\frac{\pi}{6}

w radianach).

Z sinusoidy wiemy jednak, że na jednym "okrążeniu" funkcja "przecina" ten poziom w dwóch miejscach. Drugi punkt to $\pi - x_0$ , czyli $\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$ .

Pełne rozwiązanie:

x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi

LUB

x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi

Gdzie

k \in \mathbb{Z}

(k to dowolna liczba całkowita).

Równania kwadratowe z "t" (Jedynka na ratunek)

Co zrobić, gdy w jednym równaniu masz wymieszanego sinusa i cosinusa, a do tego pojawiają się kwadraty? Twój cel to pozostawienie tylko jednej funkcji. Służy do tego Jedynka Trygonometryczna. Kiedy zamienisz wszystko np. na same sinusy, możesz wprowadzić zmienną pomocniczą $t$ i policzyć zwykłą deltę!

🚧

Krytyczne założenie zmiennej "t"

Jeśli podstawiasz $t = \sin x$ lub $t = \cos x$ , musisz bezwzględnie zapisać obok założenie: $t \in \langle -1, 1 \rangle$ . Sinus i cosinus nigdy nie wyskoczą poza ten przedział! Jeśli wyjdzie Ci $t = 2$ , natychmiast odrzucasz to rozwiązanie.

Klasyk Maturalny (Krok po Kroku):

Rozwiąż równanie:

2\cos^2 x + \sin x - 1 = 0

Krok 1: Jedynka Trygonometryczna.

Mamy sinusa w pierwszej potędze (z nim nic nie zrobimy) i cosinusa w kwadracie. Zamieniamy cosinusa ze wzoru $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ .

2(1 - \sin^2 x) + \sin x - 1 = 0

2 - 2\sin^2 x + \sin x - 1 = 0

-2\sin^2 x + \sin x + 1 = 0

Krok 2: Podstawienie $t$ i Delta.

Wprowadzamy zmienną $t = \sin x$ , gdzie $t \in \langle -1, 1 \rangle$ .

-2t^2 + t + 1 = 0

Liczymy deltę: $\Delta = 1^2 - 4(-2)(1) = 9 \implies \sqrt{\Delta} = 3$ .

t_1 = \frac{-1 - 3}{-4} = 1 \quad \text{oraz} \quad t_2 = \frac{-1 + 3}{-4} = -\frac{1}{2}

Oba wyniki mieszczą się w przedziale $\langle -1, 1 \rangle$ , więc oba akceptujemy!

Krok 3: Powrót do sinusa i serie rozwiązań.

Rozwiązujemy teraz dwa niezależne, proste równania:

\sin x = 1

Sinus osiąga 1 na samym szczycie fali, czyli dla 90 stopni.

x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi

\sin x = -\frac{1}{2}

Dla wartości ujemnych szukamy w III i IV ćwiartce.

x = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi \lor x = \frac{11\pi}{6} + 2k\pi

Metoda Iloczynowa i Wzory na Podwojony Kąt

CKE kocha ukrywać przed Tobą zmienną $t$ . Robią to, wprowadzając do równania różne kąty, np. $2x$ oraz $x$ . Nie możesz rozwiązać równania, jeśli kąty nie są takie same! Twoim pierwszym zadaniem jest zawsze "rozbicie" podwojonego kąta wzorami z tablic, a następnie wyciągnięcie wspólnego czynnika przed nawias.

Rozwiązanie przez grupowanie:

Rozwiąż równanie:

\sin(2x) - \sin x = 0

Krok 1: Wzór na podwojony kąt.

Używamy wzoru z tablic: $\sin(2x) = 2\sin x \cos x$ . Zastępujemy nim pierwszy człon równania.

2\sin x \cos x - \sin x = 0

Krok 2: Wyłączanie przed nawias (NIGDY NIE DZIEL!).

Kusi Cię, żeby podzielić równanie obustronnie przez $\sin x$ ? Zakazane! Utracisz w ten sposób połowę rozwiązań (bo $\sin x$ może być zerem). Zamiast tego wyłączamy go przed nawias.

\sin x \cdot (2\cos x - 1) = 0

Krok 3: Dwa mini-równania.

Iloczyn wynosi zero tylko wtedy, gdy któryś z czynników jest zerem. Rozbijamy zadanie na dwie ścieżki:

\sin x = 0

Sinusoida przecina oś poziomą co

180^\circ

x = k\pi

2\cos x - 1 = 0 \implies \cos x = \frac{1}{2}

Cosinus jest dodatni w I i IV ćwiartce.

x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \lor x = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi

Ostateczną odpowiedzią jest suma wszystkich wyznaczonych serii rozwiązań, dla $k \in \mathbb{Z}$ .

Wybieranie rozwiązań z przedziału (Pułapka CKE)

Często na końcu polecenia CKE dodaje niewinnie brzmiący dopisek: "...w przedziale $\langle 0, 2\pi \rangle$ ". To oznacza, że nie interesują ich nieskończone serie z literką $k$ . Musisz "ręcznie" podstawiać za $k$ liczby całkowite ( $\dots, -1, 0, 1, 2, \dots$ ) i wypisać tylko te iksy, które wpadają w wyznaczony przedział.

Jak to robić sprawnie?

Załóżmy, że wyszła Ci seria:

x = \frac{\pi}{6} + k\pi

. Szukamy rozwiązań w

\langle 0, 2\pi \rangle

Dla $k=0$ : $x = \frac{\pi}{6}$ . Mieści się w $\langle 0, 2\pi \rangle$ ? TAK. Zapisujemy.
Dla $k=1$ : $x = \frac{\pi}{6} + \pi = \frac{7\pi}{6}$ . Mieści się? TAK. Zapisujemy.
Dla $k=2$ : $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi = 2\frac{1}{6}\pi$ . Mieści się? NIE. Wyskoczyło poza prawą stronę przedziału. Tutaj przerywamy wstawianie na plusie.
Dla $k=-1$ : $x = \frac{\pi}{6} - \pi = -\frac{5\pi}{6}$ . Mieści się? NIE. Jest ujemne, a przedział zaczyna się od zera.

Ostateczna odpowiedź to dokładnie dwie liczby: $x \in \left\{\frac{\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}\right\}$

Kompleksowe zadanie z arkusza (Krok po kroku)

Pora połączyć całą zdobytą wiedzę w jednym, typowym zadaniu maturalnym za 3-4 punkty. Mamy tutaj równanie z różnymi funkcjami, podwojonym kątem oraz ograniczonym przedziałem. Kluczem do sukcesu jest zauważenie ukrytego wzoru, który pozwoli nam sprowadzić wszystko do jednej funkcji.

Rozwiązanie zadania maturalnego:

Rozwiąż równanie:

3\cos^2 x + \sqrt{3}\sin(2x) - 3\sin^2 x = 0

w przedziale $[-\pi, \pi]$ .

Krok 1: Szukamy ukrytego wzoru (Grupowanie).

Przyglądamy się wyrazom z kwadratami. Oba mają z przodu trójkę. Wyciągnijmy ją przed nawias i zobaczmy, co z tego wyjdzie:

3(\cos^2 x - \sin^2 x) + \sqrt{3}\sin(2x) = 0

Nawias to nic innego jak idealny wzór na cosinus podwojonego kąta z tablic maturalnych! Zastępujemy go:

3\cos(2x) + \sqrt{3}\sin(2x) = 0

Krok 2: Przejście na tangensa (Trik z dzieleniem).

Mamy równanie typu $A\cos(\alpha) + B\sin(\alpha) = 0$ . Najszybszą metodą jest podzielenie obu stron przez cosinus. Ale uwaga, musimy się upewnić, że nie dzielimy przez zero!

(Gdyby $\cos(2x) = 0$ , to z równania wyszłoby nam, że $\sin(2x)$ też musi być zerem. Ale sinus i cosinus tego samego kąta nie mogą być jednocześnie zerami przez jedynkę trygonometryczną. Zatem $\cos(2x) \neq 0$ .)

3\cos(2x) + \sqrt{3}\sin(2x) = 0 \quad / : \cos(2x)

3 + \sqrt{3}\frac{\sin(2x)}{\cos(2x)} = 0

3 + \sqrt{3}\tan(2x) = 0

Krok 3: Wyznaczamy ogólne rozwiązanie równania.

Izolujemy tangensa:

\sqrt{3}\tan(2x) = -3 \quad / : \sqrt{3}

\tan(2x) = -\frac{3}{\sqrt{3}} = -\sqrt{3}

Tangens wynosi $\sqrt{3}$ dla kąta $\frac{\pi}{3}$ . Skoro wynik jest ujemny, jesteśmy np. w IV ćwiartce, więc kąt to $-\frac{\pi}{3}$ . Pamiętamy o okresie tangensa ( $k\pi$ ):

2x = -\frac{\pi}{3} + k\pi \quad / : 2

x = -\frac{\pi}{6} + k\frac{\pi}{2}

Krok 4: Sito przedziału (Sprawdzamy k).

Mamy ogólny wynik, ale zadanie wymaga rozwiązań z przedziału $[-\pi, \pi]$ . Dla wygody sprowadźmy ułamki do wspólnego mianownika (6): $x = \frac{-\pi + 3k\pi}{6}$ . Nasz przedział to inaczej $[-\frac{6\pi}{6}, \frac{6\pi}{6}]$ . Podstawiamy liczby całkowite za $k$ :

Dla $k = -2$ : $x = -\frac{\pi}{6} - \frac{6\pi}{6} = -\frac{7\pi}{6}$ ❌ (Za mało, wyszliśmy poza przedział).
Dla $k = -1$ : $x = -\frac{\pi}{6} - \frac{3\pi}{6} = -\frac{4\pi}{6} = \mathbf{-\frac{2\pi}{3}}$ ✅ (Mieści się).
Dla $k = 0$ : $x = \mathbf{-\frac{\pi}{6}}$ ✅ (Mieści się).
Dla $k = 1$ : $x = -\frac{\pi}{6} + \frac{3\pi}{6} = \frac{2\pi}{6} = \mathbf{\frac{\pi}{3}}$ ✅ (Mieści się).
Dla $k = 2$ : $x = -\frac{\pi}{6} + \frac{6\pi}{6} = \mathbf{\frac{5\pi}{6}}$ ✅ (Mieści się).
Dla $k = 3$ : $x = -\frac{\pi}{6} + \frac{9\pi}{6} = \frac{8\pi}{6}$ ❌ (Za dużo, przekroczyliśmy $\pi$ ).

Odpowiedź końcowa:

x \in \left\{ -\frac{2\pi}{3}, -\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{6} \right\}

Teoria opanowana? Czas na praktykę!

Baza Quizów Maturalnych

Lista Pewniaków CKE