Losowanie w dwóch etapach — najpierw urna, potem kula, albo najpierw maszyna, potem produkt — pojawia się na rozszerzeniu praktycznie w każdej sesji. Za każdym razem działa ten sam układ: drzewko, mnożenie wzdłuż gałęzi, dodawanie gałęzi prowadzących do tego samego zdarzenia i iloraz, w którego mianowniku ląduje suma wszystkich dróg. Cała trudność sprowadza się do tego, żebyś najpierw ustalił, co jest warunkiem.

1. Kiedy rysować drzewko

Jeśli losowanie odbywa się w dwóch etapach — najpierw urna, potem kula; najpierw maszyna, potem produkt — drzewko jest najszybszą i najbezpieczniejszą drogą. Bywa też osobno punktowane jako element rozwiązania.

Gałęzie wychodzące z jednego punktu muszą sumować się do 1.
Wzdłuż gałęzi mnożymy prawdopodobieństwa kolejnych etapów.
Różne gałęzie dodajemy, jeśli prowadzą do tego samego zdarzenia.

2. Wzór na prawdopodobieństwo warunkowe

P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}

przy założeniu $P(B) > 0$

Czyta się to tak: „prawdopodobieństwo $A$ pod warunkiem, że zaszło $B$ ". Zawężasz świat wyłącznie do sytuacji, w których $B$ już się wydarzyło — dlatego w mianowniku stoi właśnie $P(B)$ .

$P(A|B)$ i $P(B|A)$ to dwie różne liczby. Mylenie ich to najpoważniejszy błąd w tym dziale. Zawsze ustal najpierw, co jest warunkiem, czyli co już wiadomo, że zaszło.

3. Przykład z dwiema urnami

W pierwszej urnie są 3 kule białe i 2 czarne, w drugiej 1 biała i 4 czarne. Wybieramy losowo urnę, a z niej kulę. Wylosowano kulę białą — jakie jest prawdopodobieństwo, że pochodzi z pierwszej urny?

Wybór urny:

\frac{1}{2}

na każdą.

Biała z pierwszej:

\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{5} = \frac{3}{10}

Biała z drugiej:

\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5} = \frac{1}{10}

Razem biała:

\frac{3}{10} + \frac{1}{10} = \frac{4}{10}

Szukane: $\frac{3/10}{4/10} = \frac{3}{4}$

Zwróć uwagę na strukturę: w mianowniku ląduje suma wszystkich dróg prowadzących do zaobserwowanego zdarzenia, a w liczniku tylko ta jedna, o którą pytają. Ten sam schemat obsługuje zadania o wadliwych produktach z kilku maszyn.

4. Na co uważać

Losowanie bez zwracania zmienia prawdopodobieństwa na drugim etapie — zarówno licznik, jak i mianownik.
Niezależność trzeba wykazać, a nie założyć. Warunek to $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ .
Suma gałęzi różna od 1 to sygnał błędu — sprawdź drzewko, zanim policzysz dalej.
Opisz oznaczenia. Zapisz, co znaczy $A$ , a co $B$ ; bez tego rozwiązanie bywa uznane za niepełne.

Przeczytaj też

Strategia na arkusz maturalny

Budżet czasu na 180 minut, kolejność rozwiązywania zadań i moment, w którym trzeba odpuścić zadanie.

Prawdopodobieństwo Warunkowe i Drzewka

1. Kiedy rysować drzewko

2. Wzór na prawdopodobieństwo warunkowe

3. Przykład z dwiema urnami

4. Na co uważać

Potrzebujesz kogoś, kto to wytłumaczy?

Test: Rachunek Prawdopodobieństwa 🧠

Nadal czujesz się niepewnie?