Losowanie w dwóch etapach — najpierw urna, potem kula, albo najpierw maszyna, potem produkt — pojawia się na rozszerzeniu praktycznie w każdej sesji. Za każdym razem działa ten sam układ: drzewko, mnożenie wzdłuż gałęzi, dodawanie gałęzi prowadzących do tego samego zdarzenia i iloraz, w którego mianowniku ląduje suma wszystkich dróg. Cała trudność sprowadza się do tego, żebyś najpierw ustalił, co jest warunkiem.

1. Kiedy rysować drzewko

Jeśli losowanie odbywa się w dwóch etapach — najpierw urna, potem kula; najpierw maszyna, potem produkt — drzewko jest najszybszą i najbezpieczniejszą drogą. Bywa też osobno punktowane jako element rozwiązania.

Gałęzie wychodzące z jednego punktu muszą sumować się do 1.
Wzdłuż gałęzi mnożymy prawdopodobieństwa kolejnych etapów.
Różne gałęzie dodajemy, jeśli prowadzą do tego samego zdarzenia.

2. Wzór na prawdopodobieństwo warunkowe

P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}

przy założeniu $P(B) > 0$

Czyta się to tak: „prawdopodobieństwo $A$ pod warunkiem, że zaszło $B$ ". Zawężasz świat wyłącznie do sytuacji, w których $B$ już się wydarzyło — dlatego w mianowniku stoi właśnie $P(B)$ .

$P(A|B)$ i $P(B|A)$ to dwie różne liczby. Mylenie ich to najpoważniejszy błąd w tym dziale. Zawsze ustal najpierw, co jest warunkiem, czyli co już wiadomo, że zaszło.

3. Przykład z dwiema urnami

W pierwszej urnie są 3 kule białe i 2 czarne, w drugiej 1 biała i 4 czarne. Wybieramy losowo urnę, a z niej kulę. Wylosowano kulę białą — jakie jest prawdopodobieństwo, że pochodzi z pierwszej urny?

Wybór urny:

\frac{1}{2}

na każdą.

Biała z pierwszej:

\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{5} = \frac{3}{10}

Biała z drugiej:

\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5} = \frac{1}{10}

Razem biała:

\frac{3}{10} + \frac{1}{10} = \frac{4}{10}

Szukane: $\frac{3/10}{4/10} = \frac{3}{4}$

Zwróć uwagę na strukturę: w mianowniku ląduje suma wszystkich dróg prowadzących do zaobserwowanego zdarzenia, a w liczniku tylko ta jedna, o którą pytają. Ten sam schemat obsługuje zadania o wadliwych produktach z kilku maszyn.

4. Prawdopodobieństwo całkowite i wzór Bayesa

Drzewko z poprzedniej sekcji to w istocie zapis dwóch twierdzeń. Warto znać je również we wzorach, bo arkusz potrafi poprosić o powołanie się na twierdzenie, a nie tylko o wynik.

Prawdopodobieństwo całkowite. Gdy zdarzenia $B_1, B_2, \ldots, B_n$ wykluczają się i wyczerpują wszystkie możliwości:

P(A) = P(B_1)P(A|B_1) + \ldots + P(B_n)P(A|B_n)

To jest dokładnie „idź każdą gałęzią, wymnóż po drodze, a na końcu dodaj".

Wzór Bayesa odwraca pytanie: znasz skutek, pytasz o przyczynę.

P(B_k|A) = \frac{P(B_k)P(A|B_k)}{P(A)}

W liczniku jest jedna gałąź, w mianowniku suma wszystkich gałęzi prowadzących do zdarzenia $A$ .

Przykład. Pierwsza urna: 3 białe i 2 czarne, druga: 1 biała i 4 czarne. Losujemy urnę, a z niej kulę. Wyszła biała — jakie jest prawdopodobieństwo, że pochodzi z pierwszej urny?

P(\text{biała}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{5} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}

P(\text{I urna}\,|\,\text{biała}) = \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{5}}{\frac{2}{5}} = \frac{3}{4}

Zwróć uwagę, że pytanie odwróciło kierunek: w treści dane jest prawdopodobieństwo koloru przy danej urnie, a pytamy o urnę przy danym kolorze. To rozpoznanie jest całą trudnością zadania — reszta to podstawienie.

5. Niezależność zdarzeń

Zdarzenia $A$ i $B$ są niezależne dokładnie wtedy, gdy zachodzi równość:

P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)

Równoważnie: $P(A|B) = P(A)$ — wiedza o tym, że zaszło $B$ , nic nie zmienia w szansach na $A$ .

Niezależne to nie to samo co wykluczające się. To najczęściej mylona para pojęć w całym dziale. Zdarzenia wykluczające się o dodatnich prawdopodobieństwach są wręcz zależne w najsilniejszym stopniu: jeśli zaszło jedno, drugie na pewno nie zaszło, czyli

P(A \cap B) = 0 \neq P(A)P(B)

Niezależności nie zgaduje się z treści. Gdy polecenie brzmi „zbadaj, czy zdarzenia są niezależne", trzeba policzyć obie strony równości i porównać je liczbowo. Samo stwierdzenie „rzuty są niezależne, bo kostka nie pamięta" nie jest rozwiązaniem, choć bywa prawdziwe.

6. Schemat Bernoulliego

Gdy to samo doświadczenie powtarza się $n$ razy niezależnie, a w każdej próbie interesuje nas tylko „sukces albo porażka", drzewko miałoby setki gałęzi. Zastępuje je jeden wzór — jeden z najpewniejszych punktów na rozszerzeniu.

P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}

$n$ — liczba prób, $k$ — liczba sukcesów, $p$ — prawdopodobieństwo sukcesu w pojedynczej próbie. Symbol Newtona zlicza, na ile sposobów te $k$ sukcesów może się rozłożyć w czasie.

Przykład. Rzucamy kostką 5 razy. Jakie jest prawdopodobieństwo dokładnie dwóch szóstek?

P = \binom{5}{2}\left(\frac{1}{6}\right)^2\left(\frac{5}{6}\right)^3 = 10 \cdot \frac{1}{36} \cdot \frac{125}{216} = \frac{1250}{7776} \approx 0{,}16

„Co najmniej jeden sukces" liczymy przez zdarzenie przeciwne: $1 - (1-p)^n$ . „Co najmniej dwa" to już suma kilku wyrazów albo jedynka minus dwa pierwsze — zwykle drugi wariant jest krótszy.

Warunek stosowalności trzeba sprawdzić. Próby muszą być niezależne, a prawdopodobieństwo sukcesu stałe. Losowanie bez zwracania tego nie spełnia — tam wraca zwykłe zliczanie kombinacjami. To jedno rozróżnienie decyduje, czy w ogóle wolno ci użyć tego wzoru.

7. Na co uważać

Losowanie bez zwracania zmienia prawdopodobieństwa na drugim etapie — zarówno licznik, jak i mianownik.
Niezależność trzeba wykazać, a nie założyć. Warunek to $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ .
Suma gałęzi różna od 1 to sygnał błędu — sprawdź drzewko, zanim policzysz dalej.
Opisz oznaczenia. Zapisz, co znaczy $A$ , a co $B$ ; bez tego rozwiązanie bywa uznane za niepełne.

Przeczytaj też

Strategia na arkusz maturalny

Budżet czasu na 180 minut, kolejność rozwiązywania zadań i moment, w którym trzeba odpuścić zadanie.

Prawdopodobieństwo Warunkowe i Drzewka

1. Kiedy rysować drzewko

2. Wzór na prawdopodobieństwo warunkowe

3. Przykład z dwiema urnami

4. Prawdopodobieństwo całkowite i wzór Bayesa

5. Niezależność zdarzeń

6. Schemat Bernoulliego

7. Na co uważać

Potrzebujesz kogoś, kto to wytłumaczy?

Test: Rachunek Prawdopodobieństwa 🧠

Nadal czujesz się niepewnie?