Równania z Parametrem

Równanie kwadratowe, w którym zamiast współczynnika stoi litera, a warunek dotyczy pierwiastków — najczęściej sumy ich kwadratów albo sumy odwrotności — to stały punkt rozszerzenia. Kolejność pracy jest zawsze taka sama: warunek na wyróżnik, wzory Viete'a, przekształcenie warunku do sumy i iloczynu pierwiastków, na końcu sprawdzenie wyników z założeniem z pierwszego kroku. Ten ostatni krok bywa pomijany, a to on decyduje o komplecie punktów. Na maturze 2024 pojawiło się zadanie, w którym wyliczona wartość parametru nie należała do dziedziny i cała rzecz rozbijała się o poprawną interpretację wyniku. Od tamtej pory traktujemy ten ostatni krok jako obowiązkowy.

O co chodzi z tym parametrem?

W zadaniach rozszerzonych współczynniki $b$ lub $c$ często nie są liczbami, ale wyrażeniami z literką $m$ (parametrem). Twoim celem jest znalezienie takiego $m$ , dla którego równanie spełnia konkretne warunki (np. ma dwa różne pierwiastki dodatnie).

Złota zasada: Zawsze zaczynaj od sprawdzenia warunku na istnienie rozwiązań! Bez $\Delta \ge 0$ (lub $\Delta > 0$ ) nie ma w ogóle o czym rozmawiać.

Wzory Viete'a (Twoja Tajna Broń)

SUMA PIERWIASTKÓW

x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}

Zapamiętaj: minus jest tylko tutaj!

ILOCZYN PIERWIASTKÓW

x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}

Tutaj znaku nie zmieniamy.

Niezbędnik Przekształceń

Na maturze prawie nigdy nie dostaniesz prostego $x_1 + x_2$ . Musisz umieć przekształcić te wyrażenia:

Suma kwadratów: $x_1^2 + x_2^2 = (x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2$
Suma odwrotności:
$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1+x_2}{x_1x_2}$

Zadanie maturalne: parametr i suma kwadratów

Zadanie

Wyznacz wszystkie wartości parametru

m

, dla których równanie:

x^2 + mx + m - 1 = 0

ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste

x_1, x_2

, spełniające warunek:

x_1^2 + x_2^2 = 5

💡 Pokaż rozwiązanie krok po kroku▼

1
Krok 1: Warunek konieczny (Delta)
Aby istniały dwa różne pierwiastki, wyróżnik musi być dodatni:
$\Delta > 0$
Liczymy deltę dla $a=1, b=m, c=m-1$ :
$\Delta = m^2 - 4 \cdot 1 \cdot (m-1)$
$\Delta = m^2 - 4m + 4$
Zwijamy ze wzoru skróconego mnożenia:
$\Delta = (m-2)^2$
Rozwiązujemy nierówność $(m-2)^2 > 0$ .
Uwaga! Kwadrat liczby jest zawsze $\ge 0$ . Żeby był ostro większy od zera, musimy tylko wyrzucić moment, w którym jest równy zero.
Warunek 1: $m \in \mathbb{R} \setminus \{2\}$
2
Krok 2: Wzory Viete'a
Wypiszmy je dla naszego równania:
$x_1 + x_2 = -m$
$x_1 \cdot x_2 = m - 1$
3
Krok 3: Rozwiązanie warunku z zadania
Mamy warunek: $x_1^2 + x_2^2 = 5$ .
Przekształcamy go używając "sztuczki" ze wzorem skróconego mnożenia:
$(x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2 = 5$
Podstawiamy nasze $m$ ze wzorów Viete'a:
$(-m)^2 - 2(m-1) = 5$
Rozwiązujemy powstałe równanie kwadratowe:
$m^2 - 2m + 2 = 5$
$m^2 - 2m - 3 = 0$
Liczymy "deltę z m" ( $\Delta_m$ ) lub z pamięci:

$\Delta_m = 4 - 4(1)(-3) = 16$ , więc $\sqrt{\Delta_m}=4$ .
$m_1 = \frac{2-4}{2} = -1$
$m_2 = \frac{2+4}{2} = 3$
4
Krok 4: Konfrontacja z założeniami
Sprawdzamy, czy nasze wyniki spełniają Warunek 1 ( $m \neq 2$ ).
- $m = -1$ (ok, jest różne od 2)
- $m = 3$ (ok, jest różne od 2)
Odpowiedź końcowa $m \in \{-1, 3\}$

Zobaczmy sytuację dla jednego z rozwiązań, np. $m=3$ . Wtedy funkcja to $f(x) = x^2 + 3x + 2$ .

Miejsca zerowe to -1 i -2. Suma ich kwadratów: $(-1)^2 + (-2)^2 = 1 + 4 = 5$ . Zgadza się!

Tłumacz z polskiego na układ warunków

Cała trudność tych zadań siedzi w jednym kroku: zamianie zdania z treści na układ nierówności. Rachunki są potem rutynowe. Poniższa tabela pokrywa praktycznie wszystkie sformułowania, jakie CKE stosuje dla równania $ax^2 + bx + c = 0$ .

Treść mówi	Zapisujesz
dwa różne rozwiązania	$a \neq 0$ i $\Delta > 0$
dokładnie jedno rozwiązanie	$\Delta = 0$ albo $a = 0$ z $b \neq 0$
brak rozwiązań	$\Delta < 0$
dwa rozwiązania dodatnie	$\Delta > 0$ , $x_1 + x_2 > 0$ , $x_1 x_2 > 0$
dwa rozwiązania ujemne	$\Delta > 0$ , $x_1 + x_2 < 0$ , $x_1 x_2 > 0$
rozwiązania różnych znaków	wystarczy $x_1 x_2 < 0$
rozwiązania większe od $m$	$\Delta > 0$ , $a \cdot f(m) > 0$ , $p > m$

Dlaczego przy różnych znakach wystarczy iloczyn. Jeśli $x_1 x_2 < 0$ , to $\frac{c}{a} < 0$ , a stąd $\Delta = b^2 - 4ac > 0$ wychodzi już samo. Zapisanie delty nie jest błędem, ale warto wiedzieć, że jest zbędna — na egzaminie to oszczędność dwóch minut.

Ostatni wiersz to warunki „obu pierwiastków po jednej stronie liczby": parabola musi mieć po stronie $m$ właściwy znak (stąd $a \cdot f(m) > 0$ ), a wierzchołek leżeć po właściwej stronie (stąd warunek na $p = -\frac{b}{2a}$ ). Rysunek paraboli z zaznaczoną liczbą $m$ odtwarza te warunki szybciej niż pamięć.

Dwa miejsca, w których zadanie się wykłada

1. Współczynnik przy $x^2$ też zawiera parametr. W równaniu $(m-2)x^2 + 3x + 1 = 0$ dla $m = 2$ nie ma żadnej delty — równanie staje się liniowe i ma dokładnie jedno rozwiązanie. Ten przypadek trzeba rozpatrzyć osobno, na samym początku. Jeśli treść mówi „równanie kwadratowe", warunek $a \neq 0$ i tak musi się pojawić w rozwiązaniu.

2. Część wspólna, a nie suma warunków. Wszystkie nierówności muszą zachodzić jednocześnie. Rozwiąż każdą osobno, zaznacz na jednej osi liczbowej i weź część wspólną. Najczęstszy błąd to zapisanie sumy przedziałów — odpowiedź wygląda wtedy sensownie, a jest za szeroka.

Sprawdzenie na końcu. Weź jedną liczbę z otrzymanego przedziału, podstaw do wyjściowego równania i sprawdź, czy warunek z treści faktycznie zachodzi. Potem weź liczbę spoza przedziału i sprawdź, że nie zachodzi. Dwie minuty, a wyłapuje praktycznie każdy błąd znaku.

Parametr poza równaniem kwadratowym

Na rozszerzeniu parametr pojawia się też w równaniach, które dopiero sprowadzasz do kwadratowego. Schemat jest wtedy ten sam, ale dochodzi jeden krok, o którym łatwo zapomnieć: warunek na zmienną pomocniczą.

Wykładnicze. W $4^x - m \cdot 2^x + 4 = 0$ podstawiasz $t = 2^x$ z warunkiem $t > 0$ . Pytanie o dwa rozwiązania w $x$ to pytanie o dwa dodatnie rozwiązania w $t$ — sama delta dodatnia nie wystarczy.
Logarytmiczne. Podstawienie $t = \log x$ nie nakłada warunku na $t$ , ale dziedzina wyjściowego równania ( $x > 0$ , a często też argument logarytmu dodatni) musi być zapisana przed rozwiązywaniem.
Trygonometryczne. Przy $t = \sin x$ obowiązuje $t \in \langle -1, 1 \rangle$ . Rozwiązanie $t = 1{,}5$ trzeba odrzucić i to napisać. Uwaga też na liczbę rozwiązań: jedna wartość $t$ może dawać dwa różne $x$ w danym przedziale.
Z wartością bezwzględną. Najszybsza droga to wykres: rysujesz $y = |f(x)|$ i poziomą prostą $y = m$ , a liczbę rozwiązań odczytujesz jako liczbę punktów wspólnych. Rachunek przypadkami też działa, ale jest dłuższy i łatwiej w nim o pomyłkę.

Wspólny mianownik wszystkich tych przypadków: liczba rozwiązań w zmiennej pomocniczej nie musi równać się liczbie rozwiązań w $x$ . Po rozwiązaniu równania w $t$ zawsze wróć do podstawienia i sprawdź, ile $x$ odpowiada każdej wartości. To najczęściej pomijany krok w całym dziale.

Przeczytaj też

Strategia na arkusz maturalny

Budżet czasu na 180 minut, kolejność rozwiązywania zadań i moment, w którym trzeba odpuścić zadanie.