Równania z Parametrem

O co chodzi z tym parametrem?

W zadaniach rozszerzonych współczynniki $b$ lub $c$ często nie są liczbami, ale wyrażeniami z literką $m$ (parametrem). Twoim celem jest znalezienie takiego $m$ , dla którego równanie spełnia konkretne warunki (np. ma dwa różne pierwiastki dodatnie).

Złota zasada: Zawsze zaczynaj od sprawdzenia warunku na istnienie rozwiązań! Bez $\Delta \ge 0$ (lub $\Delta > 0$ ) nie ma w ogóle o czym rozmawiać.

Wzory Viete'a (Twoja Tajna Broń)

SUMA PIERWIASTKÓW

x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}

Zapamiętaj: minus jest tylko tutaj!

ILOCZYN PIERWIASTKÓW

x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}

Tutaj znaku nie zmieniamy.

Niezbędnik Przekształceń

Na maturze prawie nigdy nie dostaniesz prostego $x_1 + x_2$ . Musisz umieć przekształcić te wyrażenia:

Suma kwadratów: $x_1^2 + x_2^2 = (x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2$
Suma odwrotności:
$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1+x_2}{x_1x_2}$

Zadanie Maturalne: Parametr i Suma Kwadratów

Zadanie

Wyznacz wszystkie wartości parametru

m

, dla których równanie:

x^2 + mx + m - 1 = 0

ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste

x_1, x_2

, spełniające warunek:

x_1^2 + x_2^2 = 5

💡 Pokaż rozwiązanie krok po kroku▼

1
Krok 1: Warunek konieczny (Delta)
Aby istniały dwa różne pierwiastki, wyróżnik musi być dodatni:
$\Delta > 0$
Liczymy deltę dla $a=1, b=m, c=m-1$ :
$\Delta = m^2 - 4 \cdot 1 \cdot (m-1)$
$\Delta = m^2 - 4m + 4$
Zwijamy ze wzoru skróconego mnożenia:
$\Delta = (m-2)^2$
Rozwiązujemy nierówność $(m-2)^2 > 0$ .
Uwaga! Kwadrat liczby jest zawsze $\ge 0$ . Żeby był ostro większy od zera, musimy tylko wyrzucić moment, w którym jest równy zero.
Warunek 1: $m \in \mathbb{R} \setminus \{2\}$
2
Krok 2: Wzory Viete'a
Wypiszmy je dla naszego równania:
$x_1 + x_2 = -m$
$x_1 \cdot x_2 = m - 1$
3
Krok 3: Rozwiązanie warunku z zadania
Mamy warunek: $x_1^2 + x_2^2 = 5$ .
Przekształcamy go używając "sztuczki" ze wzorem skróconego mnożenia:
$(x_1+x_2)^2 - 2x_1x_2 = 5$
Podstawiamy nasze $m$ ze wzorów Viete'a:
$(-m)^2 - 2(m-1) = 5$
Rozwiązujemy powstałe równanie kwadratowe:
$m^2 - 2m + 2 = 5$
$m^2 - 2m - 3 = 0$
Liczymy "deltę z m" ( $\Delta_m$ ) lub z pamięci:

$\Delta_m = 4 - 4(1)(-3) = 16$ , więc $\sqrt{\Delta_m}=4$ .
$m_1 = \frac{2-4}{2} = -1$
$m_2 = \frac{2+4}{2} = 3$
4
Krok 4: Konfrontacja z założeniami
Sprawdzamy, czy nasze wyniki spełniają Warunek 1 ( $m \neq 2$ ).
- $m = -1$ (ok, jest różne od 2)
- $m = 3$ (ok, jest różne od 2)
Odpowiedź końcowa $m \in \{-1, 3\}$

Zobaczmy sytuację dla jednego z rozwiązań, np. $m=3$ . Wtedy funkcja to $f(x) = x^2 + 3x + 2$ .

Miejsca zerowe to -1 i -2. Suma ich kwadratów: $(-1)^2 + (-2)^2 = 1 + 4 = 5$ . Zgadza się!