Pudełko, ogrodzenie albo pole trójkąta — treść bywa różna, a sześć kroków od oznaczenia zmiennej po powrót do zadanego pytania zostaje bez zmian. To najdłuższe zadanie arkusza, punktowane etapami, więc miejsca, w których traci się najwięcej, są z góry znane: pominięta dziedzina i brak uzasadnienia, że znalezione miejsce zerowe pochodnej to naprawdę maksimum. Te dwa kroki ćwicz osobno. Dziedzina jest u nas punktem obowiązkowym — wracamy do niej aż do skutku, bo to najprostszy punkt w całym zadaniu. Takie zadania rozbijamy na konkretne kroki, z których każdy musi się pojawić, żeby uczeń dostał komplet.

1. Struktura zadania jest zawsze ta sama

Treść bywa o pudełku, ogrodzeniu albo polu trójkąta, ale kroki nie zmieniają się nigdy. Warto wykonywać je w tej kolejności, bo każdy jest osobno punktowany.

Oznacz zmienną i zapisz pozostałe wielkości przez nią.
Zbuduj funkcję celu — to, co ma być największe albo najmniejsze.
Wyznacz dziedzinę z warunków geometrycznych. To najczęściej pomijany krok.
Policz pochodną i przyrównaj do zera.
Zbadaj znak pochodnej i uzasadnij, że to faktycznie maksimum lub minimum.
Wróć do pytania i podaj wielkość, o którą pytano.

2. Dziedzina decyduje o punktach

Jeśli $x$ jest długością boku, to $x > 0$ . Jeśli dodatkowo wycinasz kwadraty o boku $x$ z prostokąta o boku 10, to również $x < 5$ , bo inaczej nie zostanie nic do zagięcia.

Dziedzina to zwykle przedział otwarty, na przykład $x \in (0, 5)$ . Zapisz ją jawnie, zanim policzysz pochodną — potem łatwo o niej zapomnieć, a bez niej rozwiązanie jest niepełne nawet przy dobrym wyniku.

3. Uzasadnienie ekstremum

Samo przyrównanie pochodnej do zera nie wystarcza. Miejsce zerowe pochodnej może być maksimum, minimum albo punktem przegięcia — trzeba rozstrzygnąć, które.

Najczytelniej opisać zmianę znaku pochodnej:

pochodna zmienia znak z dodatniego na ujemny — funkcja rośnie, potem maleje, więc jest tam maksimum;
pochodna zmienia znak z ujemnego na dodatni — jest tam minimum.

Wystarczy zdanie: „dla $x < x_0$ pochodna jest dodatnia, a dla $x > x_0$ ujemna, zatem w $x_0$ funkcja osiąga maksimum".

4. Pochodne, bez których nie ruszysz

Wzory są w karcie, ale w zadaniu optymalizacyjnym liczy się tempo — te kilka trzeba mieć w palcach, bo pojawiają się w każdej funkcji, jaką wyprowadzisz z treści.

Funkcja	Pochodna	Uwaga
$x^n$	$nx^{n-1}$	działa też dla ujemnych $n$
$\frac{1}{x}$	$-\frac{1}{x^2}$	to $x^{-1}$ w przebraniu
$\sqrt{x}$	$\frac{1}{2\sqrt{x}}$	tylko dla $x > 0$
$(f \cdot g)'$	$f'g + fg'$	iloczyn
$\left(\frac{f}{g}\right)'$	$\frac{f'g - fg'}{g^2}$	uwaga na kolejność w liczniku

W zadaniach optymalizacyjnych najczęściej i tak wystarczy pochodna wielomianu. Jeśli po wyprowadzeniu funkcji widzisz pierwiastek albo ułamek, prawie zawsze da się go usunąć wcześniej — na przykład maksymalizując $d^2$ zamiast odległości $d$ . Obie funkcje mają ekstremum w tym samym miejscu, bo pierwiastek jest rosnący, a rachunek robi się dwa razy krótszy. Warto tę uwagę zapisać w rozwiązaniu.

5. Pełny przykład: pudełko z kartonu

Z kwadratowego kartonu o boku 12 cm wycinamy w rogach kwadraty o boku $x$ i zaginamy brzegi, otrzymując pudełko bez wieczka. Dla jakiego $x$ objętość będzie największa?

1. Funkcja. Podstawa ma bok

12 - 2x

, wysokość to

x

, więc

V(x) = x(12-2x)^2 = 4x^3 - 48x^2 + 144x

2. Dziedzina.

x > 0

oraz

12 - 2x > 0

, czyli

x \in (0, 6)

. Bez tego zapisu tracisz punkt, nawet gdy dalej wszystko się zgadza.

3. Pochodna.

V'(x) = 12x^2 - 96x + 144 = 12(x^2 - 8x + 12) = 12(x-2)(x-6)

4. Miejsca zerowe:

x = 2

oraz

x = 6

. Druga odpada, bo nie należy do dziedziny — i to też trzeba napisać.

5. Znak pochodnej. Na

(0, 2)

pochodna jest dodatnia, na

(2, 6)

ujemna, więc w

x = 2

funkcja ma maksimum.

6. Odpowiedź.

V(2) = 2 \cdot 8^2 = 128

cm³ przy

x = 2

cm.

Krok 5 jest tym, o którym najczęściej się zapomina. Samo przyrównanie pochodnej do zera dowodzi tylko, że może tam być ekstremum. Pełne uzasadnienie to tabela znaków pochodnej albo zdanie: „pochodna zmienia znak z dodatniego na ujemny, więc funkcja ma w tym punkcie maksimum". Jedno zdanie, a w kryteriach osobny punkt.

6. Pięć modeli, które wracają w arkuszach

Treści bywają różne, ale funkcja do zbadania pochodzi zwykle z jednego z tych schematów. Rozpoznanie modelu skraca pierwszy, najtrudniejszy krok — ułożenie wzoru.

Stały obwód, maksymalne pole (albo odwrotnie). Z warunku wyznaczasz jeden bok przez drugi i podstawiasz. Odpowiedzią jest zwykle kwadrat — ale i tak trzeba to policzyć.
Puszka o danej objętości i minimalnym polu. Z $V = \pi r^2 h$ wyznaczasz $h$ i wstawiasz do wzoru na pole. Pojawi się wtedy składnik $\frac{1}{r}$ — stąd pochodna z tabelki wyżej.
Prostokąt wpisany w trójkąt, półokrąg albo pod wykres funkcji. Jeden wymiar bierzesz jako $x$ , drugi odczytujesz z geometrii figury lub ze wzoru funkcji.
Najkrótsza odległość punktu od prostej lub krzywej. Minimalizujesz $d^2$ , nie $d$ .
Koszt, zysk, przychód. Zysk to przychód minus koszt; jeśli cena zależy od liczby sztuk, przychód jest funkcją kwadratową i pochodna bywa zbędna — wystarczy wierzchołek.

Ekstremum nie zawsze jest w środku przedziału. Gdy pochodna nie ma miejsc zerowych w dziedzinie, funkcja jest tam monotoniczna i wartości skrajne leżą na końcach. Trzeba wtedy sprawdzić, czy końce w ogóle należą do dziedziny — przy przedziale otwartym wartość najmniejsza może po prostu nie istnieć.

Odpowiadaj na pytanie z treści. Jeśli pytają o wymiary, podaj wymiary, a nie samą objętość; jeśli o objętość — policz ją, nie zostawiaj wyniku na

x

. To najczęstsza strata punktu przy poprawnym rachunku.

7. Najczęstsze straty punktów

Brak uzasadnienia ekstremum. Najczęstsza strata w całym zadaniu — wynik dobry, uzasadnienia brak.
Pominięta dziedzina albo rozwiązanie leżące poza nią, którego nie odrzucono.
Odpowiedź na inne pytanie. Wyliczyłeś $x$ , a pytali o objętość — trzeba jeszcze podstawić.
Błąd w pochodnej ilorazu. Warto sprawdzić wzór jeszcze raz, zanim policzysz miejsca zerowe, bo błąd tutaj przekreśla resztę.

Przeczytaj też

Strategia na arkusz maturalny

Budżet czasu na 180 minut, kolejność rozwiązywania zadań i moment, w którym trzeba odpuścić zadanie.

Optymalizacja z Pochodną

1. Struktura zadania jest zawsze ta sama

2. Dziedzina decyduje o punktach

3. Uzasadnienie ekstremum

4. Pochodne, bez których nie ruszysz

5. Pełny przykład: pudełko z kartonu

6. Pięć modeli, które wracają w arkuszach

7. Najczęstsze straty punktów

Potrzebujesz kogoś, kto to wytłumaczy?

Test: Rachunek Różniczkowy 🧠

Nadal czujesz się niepewnie?