Przejdź do treści
TrudnyWaga: 3-5 pkt

Dowód Nierówności Algebraicznej

Zadanie na dowód wraca na rozszerzeniu co roku. Schemat: przenieś wszystko na jedną stronę, zwiń do kwadratu i powołaj się na jego nieujemność.

1. Dlaczego to jest pewniak

Dowód nierówności to zadanie, którego wielu zdających nawet nie zaczyna — a ma najbardziej powtarzalny schemat na całym arkuszu. Prawie zawsze sprowadza się do jednej obserwacji: kwadrat liczby rzeczywistej nigdy nie jest ujemny.

(a−b)2≥0(a-b)^2 \geq 0 dla dowolnych a,b∈Ra, b \in \mathbb{R}

2. Schemat, który działa niemal zawsze

  1. Przenieś wszystko na jedną stronę, tak aby po drugiej został zero.
  2. Sprowadź do wspólnego mianownika, jeśli występują ułamki.
  3. Zwiń licznik do kwadratu albo do sumy kwadratów.
  4. Powołaj się na nieujemność kwadratu i zapisz wniosek.
  5. Podaj, kiedy zachodzi równość — zwykle dla a=ba=b.

Klasyczny przykład

Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych zachodzi a2+b2≥2aba^2 + b^2 \geq 2ab.

Przenosimy: a2+b2−2ab≥0a^2 + b^2 - 2ab \geq 0
Zwijamy: (a−b)2≥0(a-b)^2 \geq 0
To prawda dla każdych a,ba, b, bo kwadrat jest nieujemny.
Równość zachodzi dokładnie wtedy, gdy a=ba = b.

3. Wersja z ułamkami

Gdy w nierówności występują ułamki, dochodzi jeden krok: sprowadzenie do wspólnego mianownika i zbadanie jego znaku.

Wykaż, że dla a>0a > 0 zachodzi a+1a≥2a + \frac{1}{a} \geq 2.

a+1a−2≥0a + \frac{1}{a} - 2 \geq 0
a2−2a+1a≥0\frac{a^2 - 2a + 1}{a} \geq 0
(a−1)2a≥0\frac{(a-1)^2}{a} \geq 0
Licznik jest nieujemny jako kwadrat, mianownik dodatni z założenia, więc cały ułamek jest nieujemny.

Założenie a>0a > 0 jest tu kluczowe i trzeba je wykorzystać jawnie. Bez niego mianownik mógłby być ujemny i nierówność by nie zachodziła. Egzaminatorzy zwracają na to uwagę.

4. Za co odejmuje się punkty

  • Dowód „od tyłu". Zaczynanie od tezy i dochodzenie do czegoś prawdziwego to nie jest dowód, dopóki nie zapiszesz, że wszystkie przejścia są równoważne. Bezpieczniej iść od strony, którą przekształcasz, do wniosku.
  • Brak zdania kończącego. Napisz wprost „co kończy dowód" — to bywa osobno punktowane.
  • Pominięte założenia o dziedzinie, zwłaszcza przy ułamkach i pierwiastkach.
  • Sprawdzenie na przykładzie zamiast dowodu. Podstawienie kilku liczb niczego nie dowodzi i nie daje punktów.
Sprawdź wiedzę

Test: Wyrażenia Algebraiczne i Równania 🧠

Rozwiąż szybki test i zobacz, czy opanowałeś materiał.

Pytanie 1 / 10Programowanie
Równanie x2+mx+4=0x^2 + mx + 4 = 0 ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste, gdy:

Nadal czujesz się niepewnie?

To tylko jeden z pewniaków. Na kursie przechodzimy przez nie wszystkie, krok po kroku, aż poczujesz ten spokój.

Pomóżcie mi zdać maturę!