Na rozszerzeniu zadanie ze słowem „wykaż" wraca co roku, a pod spodem prawie zawsze siedzi ta sama obserwacja: kwadrat liczby rzeczywistej nie bywa ujemny. Zmienia się opakowanie — raz czysta nierówność, raz wersja z ułamkiem i założeniem o znaku mianownika — kolejność ruchów zostaje ta sama. Dlatego opłaca Ci się wyćwiczyć jeden schemat i taki zapis, który egzaminator uzna za pełny dowód.

1. Dlaczego to jest pewniak

Dowód nierówności to zadanie, którego wielu zdających nawet nie zaczyna — a ma najbardziej powtarzalny schemat na całym arkuszu. Prawie zawsze sprowadza się do jednej obserwacji: kwadrat liczby rzeczywistej nigdy nie jest ujemny.

$(a-b)^2 \geq 0$ dla dowolnych $a, b \in \mathbb{R}$

2. Schemat, który działa niemal zawsze

Przenieś wszystko na jedną stronę, tak aby po drugiej został zero.
Sprowadź do wspólnego mianownika, jeśli występują ułamki.
Zwiń licznik do kwadratu albo do sumy kwadratów.
Powołaj się na nieujemność kwadratu i zapisz wniosek.
Podaj, kiedy zachodzi równość — zwykle dla $a=b$ .

Klasyczny przykład

Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych zachodzi $a^2 + b^2 \geq 2ab$ .

Przenosimy:

a^2 + b^2 - 2ab \geq 0

Zwijamy:

(a-b)^2 \geq 0

To prawda dla każdych

a, b

, bo kwadrat jest nieujemny.

Równość zachodzi dokładnie wtedy, gdy

a = b

3. Wersja z ułamkami

Gdy w nierówności występują ułamki, dochodzi jeden krok: sprowadzenie do wspólnego mianownika i zbadanie jego znaku.

Wykaż, że dla $a > 0$ zachodzi $a + \frac{1}{a} \geq 2$ .

a + \frac{1}{a} - 2 \geq 0

\frac{a^2 - 2a + 1}{a} \geq 0

\frac{(a-1)^2}{a} \geq 0

Licznik jest nieujemny jako kwadrat, mianownik dodatni z założenia, więc cały ułamek jest nieujemny.

Założenie $a > 0$ jest tu kluczowe i trzeba je wykorzystać jawnie. Bez niego mianownik mógłby być ujemny i nierówność by nie zachodziła. Egzaminatorzy zwracają na to uwagę.

4. Nierówność między średnimi — skrót, który trzeba umieć wyprowadzić

Z nierówności $a^2 + b^2 \geq 2ab$ wyprowadza się najczęściej używane narzędzie całego działu: średnia arytmetyczna dwóch liczb dodatnich nie jest mniejsza od ich średniej geometrycznej.

\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}

dla

a, b > 0

równoważnie:

a + b \geq 2\sqrt{ab}

Wyprowadzenie w dwóch linijkach. Podstawiamy $a = (\sqrt{x})^2$ , $b = (\sqrt{y})^2$ do nierówności z kwadratem: $(\sqrt{x} - \sqrt{y})^2 \geq 0$ , po rozwinięciu $x + y - 2\sqrt{xy} \geq 0$ . Równość zachodzi dokładnie dla $x = y$ .

Trzy nierówności, które wynikają z tej jednej i warto rozpoznawać je od razu:

\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2

dla

a, b > 0

— po sprowadzeniu do wspólnego mianownika licznik to

a^2 + b^2 - 2ab = (a-b)^2

x + \frac{1}{x} \geq 2

dla

x > 0

— ten sam rachunek dla

b = 1

(a+b)\left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}\right) \geq 4

— wymnażasz i dostajesz

2 + \frac{a}{b} + \frac{b}{a}

, czyli poprzedni przypadek.

Założenie o dodatniości jest obowiązkowe. Nierówność między średnimi i wszystkie jej konsekwencje wymagają $a, b > 0$ . Dla $x < 0$ wyrażenie $x + \frac{1}{x}$ jest nie większe od $-2$ , więc bez zapisania założenia dowód jest po prostu fałszywy — i tak też bywa oceniany.

5. Gdy kwadrat się nie zwija — trzy inne drogi

Schemat z kwadratem obsługuje większość zadań, ale nie wszystkie. Poniższe techniki wracają w arkuszach na tyle regularnie, że warto rozpoznawać, kiedy sięgnąć po którą.

Suma kilku kwadratów. Gdy zmiennych jest trzy, po przeniesieniu wszystkiego na jedną stronę często wychodzi $\frac{1}{2}\left[(a-b)^2 + (b-c)^2 + (a-c)^2\right] \geq 0$ . Tak dowodzi się $a^2+b^2+c^2 \geq ab+bc+ca$ . Równość dopiero przy $a = b = c$ .
Dowód nie wprost. Zakładasz, że nierówność nie zachodzi, i doprowadzasz do sprzeczności. Przydaje się, gdy teza dotyczy liczb niewymiernych albo gdy w treści jest słowo „nie istnieje".
Szacowanie wyrazami. Gdy nierówność dotyczy sumy wielu składników, czasem wystarczy pokazać, że każdy składnik lewej strony jest nie większy od odpowiadającego mu składnika prawej. Trzeba wtedy napisać, że sumowanie nierówności tego samego kierunku jest dozwolone.
Pochodna. Nierówność z jedną zmienną w przedziale można udowodnić, badając monotoniczność funkcji $f(x) = \text{lewa} - \text{prawa}$ i pokazując, że jej wartość najmniejsza jest nieujemna. Droga dłuższa, ale zawsze dostępna.

Czego nie wolno w dowodzie:

• Zaczynać od tezy. Zapis „mamy pokazać, że

L \geq P

", a potem przekształcanie tego w dół to rozumowanie odwrotne. Albo prowadź je od strony znanej prawdy do tezy, albo wyraźnie zaznacz, że wszystkie przejścia są równoważnościami.

• Mnożyć przez wyrażenie o nieznanym znaku. Pomnożenie obu stron przez

ab

jest legalne tylko wtedy, gdy wcześniej napisałeś, że

ab > 0

• Podnosić do kwadratu bez założenia. Działa tylko dla obu stron nieujemnych — inaczej nierówność potrafi zmienić kierunek.

• Pomijać wniosku. Dowód kończy zdanie „co należało wykazać", a nie ostatnie przekształcenie. Brak tego zdania bywa jedynym powodem odjęcia punktu przy poprawnym rachunku.

6. Za co odejmuje się punkty

Dowód „od tyłu". Zaczynanie od tezy i dochodzenie do czegoś prawdziwego to nie jest dowód, dopóki nie zapiszesz, że wszystkie przejścia są równoważne. Bezpieczniej iść od strony, którą przekształcasz, do wniosku.
Brak zdania kończącego. Napisz wprost „co kończy dowód" — to bywa osobno punktowane.
Pominięte założenia o dziedzinie, zwłaszcza przy ułamkach i pierwiastkach.
Sprawdzenie na przykładzie zamiast dowodu. Podstawienie kilku liczb niczego nie dowodzi i nie daje punktów.

Przeczytaj też

Strategia na arkusz maturalny

Budżet czasu na 180 minut, kolejność rozwiązywania zadań i moment, w którym trzeba odpuścić zadanie.

Dowód Nierówności Algebraicznej

1. Dlaczego to jest pewniak

2. Schemat, który działa niemal zawsze

Klasyczny przykład

3. Wersja z ułamkami

4. Nierówność między średnimi — skrót, który trzeba umieć wyprowadzić

5. Gdy kwadrat się nie zwija — trzy inne drogi

6. Za co odejmuje się punkty

Potrzebujesz kogoś, kto to wytłumaczy?

Test: Wyrażenia Algebraiczne i Równania 🧠

Nadal czujesz się niepewnie?