Na rozszerzeniu zadanie ze słowem „wykaż" wraca co roku, a pod spodem prawie zawsze siedzi ta sama obserwacja: kwadrat liczby rzeczywistej nie bywa ujemny. Zmienia się opakowanie — raz czysta nierówność, raz wersja z ułamkiem i założeniem o znaku mianownika — kolejność ruchów zostaje ta sama. Dlatego opłaca Ci się wyćwiczyć jeden schemat i taki zapis, który egzaminator uzna za pełny dowód.

1. Dlaczego to jest pewniak

Dowód nierówności to zadanie, którego wielu zdających nawet nie zaczyna — a ma najbardziej powtarzalny schemat na całym arkuszu. Prawie zawsze sprowadza się do jednej obserwacji: kwadrat liczby rzeczywistej nigdy nie jest ujemny.

$(a-b)^2 \geq 0$ dla dowolnych $a, b \in \mathbb{R}$

2. Schemat, który działa niemal zawsze

Przenieś wszystko na jedną stronę, tak aby po drugiej został zero.
Sprowadź do wspólnego mianownika, jeśli występują ułamki.
Zwiń licznik do kwadratu albo do sumy kwadratów.
Powołaj się na nieujemność kwadratu i zapisz wniosek.
Podaj, kiedy zachodzi równość — zwykle dla $a=b$ .

Klasyczny przykład

Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych zachodzi $a^2 + b^2 \geq 2ab$ .

Przenosimy:

a^2 + b^2 - 2ab \geq 0

Zwijamy:

(a-b)^2 \geq 0

To prawda dla każdych

a, b

, bo kwadrat jest nieujemny.

Równość zachodzi dokładnie wtedy, gdy

a = b

3. Wersja z ułamkami

Gdy w nierówności występują ułamki, dochodzi jeden krok: sprowadzenie do wspólnego mianownika i zbadanie jego znaku.

Wykaż, że dla $a > 0$ zachodzi $a + \frac{1}{a} \geq 2$ .

a + \frac{1}{a} - 2 \geq 0

\frac{a^2 - 2a + 1}{a} \geq 0

\frac{(a-1)^2}{a} \geq 0

Licznik jest nieujemny jako kwadrat, mianownik dodatni z założenia, więc cały ułamek jest nieujemny.

Założenie $a > 0$ jest tu kluczowe i trzeba je wykorzystać jawnie. Bez niego mianownik mógłby być ujemny i nierówność by nie zachodziła. Egzaminatorzy zwracają na to uwagę.

4. Za co odejmuje się punkty

Dowód „od tyłu". Zaczynanie od tezy i dochodzenie do czegoś prawdziwego to nie jest dowód, dopóki nie zapiszesz, że wszystkie przejścia są równoważne. Bezpieczniej iść od strony, którą przekształcasz, do wniosku.
Brak zdania kończącego. Napisz wprost „co kończy dowód" — to bywa osobno punktowane.
Pominięte założenia o dziedzinie, zwłaszcza przy ułamkach i pierwiastkach.
Sprawdzenie na przykładzie zamiast dowodu. Podstawienie kilku liczb niczego nie dowodzi i nie daje punktów.

Przeczytaj też

Strategia na arkusz maturalny

Budżet czasu na 180 minut, kolejność rozwiązywania zadań i moment, w którym trzeba odpuścić zadanie.

Dowód Nierówności Algebraicznej

1. Dlaczego to jest pewniak

2. Schemat, który działa niemal zawsze

Klasyczny przykład

3. Wersja z ułamkami

4. Za co odejmuje się punkty

Potrzebujesz kogoś, kto to wytłumaczy?

Test: Wyrażenia Algebraiczne i Równania 🧠

Nadal czujesz się niepewnie?