Planimetria

Wstęp: Prawdziwa geometria bez trzymanki

Planimetria na poziomie podstawowym to głównie szukanie kąta prostego i używanie Twierdzenia Pitagorasa. Na rozszerzeniu zdejmujemy z geometrii "koła treningowe". Trójkąty przestają być prostokątne, czworokąty wpisujemy w okręgi, a pola liczymy z długości promieni. To najpiękniejszy (i często najbardziej punktowany) dział na całej maturze. Zaczynamy!

📋 Spis treści

1 Twierdzenie sinusów i cosinusów
2 Rozwiązywanie trójkątów
3 Podobieństwo i skale (Pola i Obwody)

4 Twierdzenie Talesa i Odwrotne
5 Czworokąty i okręgi (Wpisane / Opisane)

Wstęp: Sztuka Rozwiązywania Trójkątów

Na poziomie podstawowym królował Pitagoras i trójkąty prostokątne. Na rozszerzeniu wkraczamy w świat dowolnych trójkątów i wielokątów. Twoją główną bronią będą tu dwa potężne twierdzenia: sinusów i cosinusów, dzięki którym obliczysz każdy brakujący bok i kąt.

Twierdzenie Sinusów i Cosinusów

Spójrzmy na standardowe oznaczenia w dowolnym trójkącie. Wierzchołki oznaczamy wielkimi literami ( $A, B, C$ ). Boki leżące naprzeciwko nich to małe litery ( $a, b, c$ ), a odpowiadające im kąty to litery greckie ( $\alpha, \beta, \gamma$ ). Zawsze trzymaj się tego schematu!

📐 Twierdzenie Sinusów

Stosunek długości boku do sinusa kąta leżącego naprzeciwko niego jest stały i równy średnicy okręgu opisanego na tym trójkącie ( $2R$ ).

\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} = 2R

Kiedy używać? Gdy znasz 2 kąty i 1 bok lub gdy zadanie pyta o okrąg opisany ( $R$ ).

📏 Twierdzenie Cosinusów

To "rozszerzony Pitagoras". Kwadrat boku równa się sumie kwadratów pozostałych boków, pomniejszonej o podwojony iloczyn tych boków i cosinusa kąta między nimi.

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos \gamma

Kiedy używać? Gdy znasz wszystkie 3 boki (aby policzyć kąt) lub 2 boki i kąt między nimi.

⚠️ Pułapka na maturze Gdy znasz dwa boki i kąt, ale NIE JEST to kąt między nimi, musisz uważać przy używaniu twierdzenia sinusów. Sinus dla kątów rozwartych (np. $\sin 150^\circ$ ) jest dodatni i wynosi tyle samo co dla ostrego ( $\sin 30^\circ$ ). Możesz otrzymać dwa poprawne trójkąty! Z twierdzeniem cosinusów nie ma tego problemu, bo cosinus dla kąta rozwartego jest ujemny, co jednoznacznie określa sytuację.

Rozwiązywanie Trójkątów (Kąty rozwarte w praktyce)

"Rozwiązać trójkąt" to znaczy wyznaczyć długości wszystkich jego boków i miary wszystkich kątów. Aby to zrobić, CKE musi podać Ci zawsze minimum 3 elementy (w tym koniecznie przynajmniej jeden bok!). Do wyboru masz zazwyczaj dwie ścieżki: zacząć od twierdzenia sinusów albo cosinusów. Zobaczmy to na klasycznym zadaniu z arkusza, które sprawdza, czy wiesz, jak radzić sobie z kątami rozwartymi.

Maturalny Schemat (Krok po kroku):

W trójkącie dane są długości boków: $a = 3$ , $b = 5$ , $c = 7$ . Rozwiąż ten trójkąt, zaczynając od wyznaczenia jego największego kąta.

Krok 1: Lokalizacja największego kąta.

W każdym trójkącie naprzeciwko najdłuższego boku leży największy kąt. Nasz najdłuższy bok to $c = 7$ , więc z automatu największym kątem będzie leżący naprzeciwko niego kąt $\gamma$ . To bardzo ważna zasada!

Krok 2: Twierdzenie Cosinusów (szukamy kąta).

Znamy trzy boki (SSS), więc jedynym rozsądnym wyborem jest twierdzenie cosinusów. Zapisujemy wzór tak, aby szukany kąt $\gamma$ (i bok $c$ ) znalazł się "na zewnątrz":

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma

7^2 = 3^2 + 5^2 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cos \gamma

49 = 9 + 25 - 30 \cos \gamma

49 = 34 - 30 \cos \gamma

Krok 3: Analiza Cosinusa (Kąt rozwarty!).

Przenosimy liczby na jedną stronę i wyliczamy wartość cosinusa:

15 = -30 \cos \gamma \quad / : (-30)

\cos \gamma = -\frac{1}{2}

Zauważ, że otrzymaliśmy wartość ujemną! W trójkącie (gdzie kąty mieszczą się między $0^\circ$ a $180^\circ$ ), ujemny cosinus oznacza, że kąt jest rozwarty (leży w II ćwiartce układu współrzędnych).

Z małej tabelki w tablicach wiemy, że $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$ . Korzystając ze wzorów redukcyjnych dla II ćwiartki ( $180^\circ - \alpha$ ): $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$ . Zatem nasz kąt wynosi $\gamma = 120^\circ$ .

Krok 4: Reszta kątów (Twierdzenie Sinusów).

Mając "pełną parę" (bok $c=7$ i kąt $\gamma=120^\circ$ ), resztę zadania rozwiązujemy o wiele łatwiejszym twierdzeniem sinusów. Policzmy np. kąt $\alpha$ . Pamiętamy, że dla kątów rozwartych sinus jest wciąż dodatni: $\sin 120^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{c}{\sin \gamma}

\frac{3}{\sin \alpha} = \frac{7}{\sin 120^\circ}

7 \sin \alpha = 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}

\sin \alpha = \frac{3\sqrt{3}}{14}

Trzeci kąt ( $\beta$ ) moglibyśmy łatwo policzyć, odliczając wyznaczone miary od $180^\circ$ .

Podobieństwo Trójkątów (Magia skali $k$ i $k^2$ )

Dwie figury są podobne, jeśli mają dokładnie ten sam kształt, ale różnią się rozmiarem. W przypadku trójkątów najłatwiej to sprawdzić za pomocą cechy KKK (Kąt-Kąt-Kąt) – jeśli dwa trójkąty mają takie same kąty, to są gwarantowanie podobne! Stosunek odpowiadających sobie boków nazywamy skalą podobieństwa $k$ .

⚠️

Maturalna Pułapka: Skala dla Pól (Złota Reguła)

Spójrz na trójkąty powyżej. Fioletowy jest dwa razy większy od niebieskiego (jego boki są 2 razy dłuższe). Mówimy, że skala podobieństwa wynosi $k = 2$ .

Obwód fioletowego trójkąta też będzie 2 razy większy. ALE JEGO POLE POWIERZCHNI BĘDZIE WIĘKSZE AŻ 4 RAZY! Dlaczego? Bo pole zależy od dwóch wymiarów (np. podstawa i wysokość), a każdy z nich urósł dwukrotnie ( $2 \cdot 2 = 4$ ).

\frac{\text{Obwód}_2}{\text{Obwód}_1} = k \quad \text{ORAZ} \quad \frac{\text{Pole}_2}{\text{Pole}_1} = k^2

Maturalny Pewniak:

Dwa trójkąty są do siebie podobne. Pole pierwszego z nich wynosi $10 \text{ cm}^2$ , a pole drugiego $90 \text{ cm}^2$ . Obwód mniejszego trójkąta to $15 \text{ cm}$ . Oblicz obwód większego trójkąta.

Krok 1: Wyciągamy $k^2$ z Pól.

Dzielimy pole większego przez pole mniejszego, aby otrzymać stosunek pól. Pamiętamy z "Złotej Reguły", że ten stosunek to $k^2$ .

k^2 = \frac{P_2}{P_1} = \frac{90}{10} = 9

Krok 2: Znajdujemy "zwykłe" $k$ .

Skoro kwadrat skali wynosi 9, to po spierwiastkowaniu otrzymujemy czystą skalę podobieństwa (czyli to, ile razy dłuższe są boki i obwody). Skala zawsze jest liczbą dodatnią!

k = \sqrt{9} = 3

Krok 3: Obliczamy brakujący obwód.

Wiemy już, że większy trójkąt ma 3 razy dłuższe boki od mniejszego. Skoro tak, jego obwód też musi być 3 razy większy.

\text{Obwód}_2 = k \cdot \text{Obwód}_1 = 3 \cdot 15 = 45 \text{ cm}

Twierdzenie Talesa i Odwrotne (Moc Proporcji)

Twierdzenie Talesa mówi nam, co się dzieje, gdy ramiona dowolnego kąta przetniemy prostymi równoległymi. Powstają wtedy odcinki, które są do siebie proporcjonalne. Zrozumienie, które dokładnie odcinki można ze sobą zestawiać, to klucz do rozwiązywania wielu zadań dowodowych i obliczeniowych w planimetrii.

Wersja 1: Same ramiona kąta

Możesz porównywać stosunki małych kawałków do siebie, albo małych do całych długich ramion. Dowolność jest ogromna, byle robić to symetrycznie!

\frac{|OA|}{|AB|} = \frac{|OA'|}{|A'B'|}

\frac{|OA|}{|OB|} = \frac{|OA'|}{|OB'|}

Wersja 2: Z odcinkami równoległymi

Tutaj pada najwięcej błędów! Jeśli chcesz ułożyć proporcję z zielonymi odcinkami $|AA'|$ i $|BB'|$ , MUSISZ brać boki od samego wierzchołka $O$ .

\frac{|OA|}{|OB|} = \frac{|AA'|}{|BB'|}

ZAKAZANE: $\frac{|OA|}{|AB|} \neq \frac{|AA'|}{|BB'|}$

🔄

Twierdzenie Odwrotne do Talesa (Dowodzenie równoległości)

Często na maturze spotkasz polecenie: "Wykaż, że proste $AA'$ i $BB'$ są równoległe". Używasz wtedy twierdzenia odwrotnego. Wystarczy, że obliczysz i pokażesz egzaminatorowi, że zachodzi proporcja: $\frac{|OA|}{|AB|} = \frac{|OA'|}{|A'B'|}$ . Jeśli lewa strona równa się prawej, proste z automatu są równoległe!

Zadanie Obliczeniowe:

Ramiona kąta przecięto prostymi równoległymi $AA'$ i $BB'$ . Wiemy, że $|OA| = x$ , $|AB| = 2$ , $|OA'| = x + 3$ oraz $|A'B'| = 4$ . Oblicz długość odcinka $|OA|$ .

Krok 1: Układamy proporcję z Twierdzenia Talesa.

Mamy podane długości "kawałków" na obu ramionach kąta. Korzystamy z pierwszej, najprostszej wersji twierdzenia: "góra do dołu na lewym ramieniu = góra do dołu na prawym ramieniu".

\frac{|OA|}{|AB|} = \frac{|OA'|}{|A'B'|}

\frac{x}{2} = \frac{x + 3}{4}

Krok 2: Mnożenie "na krzyż".

Aby pozbyć się ułamków, mnożymy licznik pierwszego przez mianownik drugiego i odwrotnie.

x \cdot 4 = 2 \cdot (x + 3)

4x = 2x + 6

Krok 3: Rozwiązanie i weryfikacja.

Przenosimy iksy na jedną stronę:

2x = 6 \implies x = 3

Zawsze sprawdzamy wynik! Długość odcinka musi być dodatnia. U nas $x = 3$ , co ma sens fizyczny. Zatem odcinek $|OA| = 3$ .

Czworokąty i Okręgi (Wpisane i Opisane)

Większość uczniów w panice próbuje układać skomplikowane układy równań, widząc czworokąt połączony z okręgiem. Tymczasem rozwiązanie opiera się zazwyczaj na jednej z dwóch magicznych reguł. Musisz tylko bezbłędnie rozpoznać, czy okrąg jest w środku, czy na zewnątrz czworokąta!

Czworokąt Wpisany w Okrąg

Wierzchołki leżą na okręgu. Tutaj decydują KĄTY! Suma miar przeciwległych kątów musi być równa dokładnie 180°.

\alpha + \gamma = 180^\circ

\beta + \delta = 180^\circ

Czworokąt Opisany na Okręgu

Boki są styczne do okręgu. Tutaj decydują BOKI! Suma długości przeciwległych boków musi być sobie równa.

a + c = b + d

(Gdzie $a, c$ to boki naprzeciwko siebie, a $b, d$ to druga para).

Maturalny Klasyk (Trapez + Okrąg):

W trapez równoramienny wpisano okrąg o promieniu $r = 4$ . Kąt ostry trapezu wynosi 30°. Oblicz pole tego trapezu.

Krok 1: Analiza "Wpisano okrąg" (Co to oznacza dla trapezu?).

Skoro w trapez wpisano okrąg, to trapez jest opisany na okręgu. Działa więc warunek na boki! Suma ramion ( $c + c$ , bo jest równoramienny) równa się sumie podstaw ( $a + b$ ).

a + b = 2c

Wysokość trapezu ( $h$ ) opisanego na okręgu jest dokładnie równa średnicy tego okręgu. Skoro promień wynosi 4, to:

h = 2r = 2 \cdot 4 = 8

Krok 2: Używamy trygonometrii do znalezienia ramienia $c$ .

Rysujemy wysokość, tworząc trójkąt prostokątny. Mamy w nim wysokość $h = 8$ , kąt 30° oraz ramię $c$ jako przeciwprostokątną. Używamy sinusa:

\sin 30^\circ = \frac{h}{c}

\frac{1}{2} = \frac{8}{c} \implies c = 16

Krok 3: Błyskawiczne obliczenie pola.

Pamiętasz nasz warunek z pierwszego kroku? $a + b = 2c$ . Skoro $c = 16$ , to suma podstaw $a + b = 32$ . W ogóle nie musimy liczyć każdej podstawy z osobna! Wkładamy to bezpośrednio do wzoru na pole trapezu:

P = \frac{a + b}{2} \cdot h = \frac{32}{2} \cdot 8 = 16 \cdot 8 = 128

Właśnie rozwiązaliśmy potężne zadanie w zaledwie 3 szybkich krokach!

Dowody Geometryczne (Koszmar, który da się oswoić)

Zadania typu "Wykaż, że..." w planimetrii rzadko wymagają skomplikowanych obliczeń. Zamiast tego, sprawdzają Twoją umiejętność łączenia faktów. Twoim głównym celem jest zazwyczaj znalezienie trójkątów podobnych lub wykorzystanie zależności kątowych.

1. Polowanie na Kąty

Zawsze zaczynaj dowód od zaznaczenia wszystkich możliwych kątów. Szukaj kątów wierzchołkowych, naprzemianległych (przy prostych równoległych) oraz wpisanych opartych na tym samym łuku. Jeśli oznaczysz jeden kąt jako $\alpha$ , spróbuj uzależnić od niego resztę rysunku!

2. Magia Podobieństwa

Gdy znajdziesz dwa trójkąty, które mają takie same kąty (cecha KKK), natychmiast zapisz proporcje ich boków. Większość dowodów z mnożeniem odcinków (np. $|AB| \cdot |CD| = ...$ ) bierze się właśnie z wymnożenia proporcji "na krzyż"!

3. Ukryte Równoramienne

Jeśli w zadaniu pojawia się okrąg i jego środek, narysuj promienie do kluczowych punktów na okręgu. Każdy trójkąt zbudowany z dwóch promieni i cięciwy jest z automatu równoramienny, co daje Ci darmowe równe kąty przy podstawie!

Klasyczny Dowód Maturalny (Krok po Kroku):

W trójkącie prostokątnym $ABC$ (gdzie kąt przy wierzchołku $C$ jest prosty) poprowadzono wysokość $CD$ na przeciwprostokątną $AB$ . Wysokość ta dzieli przeciwprostokątną na dwa odcinki: $|AD| = x$ oraz $|DB| = y$ . Wykaż, że kwadrat tej wysokości jest równy iloczynowi tych odcinków: $h^2 = x \cdot y$ .

Krok 1: Zabawa kątami (Znalezienie cechy KKK).

Zaczynamy od uzależnienia kątów od siebie. Oznaczmy kąt $CAD$ jako $\alpha$ . Ponieważ duzy trójkąt $ABC$ jest prostokątny, kąt przy wierzchołku $B$ musi wynosić $90^\circ - \alpha$ .

Teraz spójrzmy na mały trójkąt prostokątny $ADC$ (ten po lewej). Ma on kąt $90^\circ$ (od wysokości) oraz kąt $\alpha$ . Oznacza to, że jego trzeci kąt (przy wierzchołku $C$ ) musi wynosić $90^\circ - \alpha$ .

Z kolei w trójkącie $BDC$ (po prawej), skoro jeden kąt to $90^\circ - \alpha$ , a drugi to $90^\circ$ , trzeci kąt musi być równy $\alpha$ . W ten sposób udowodniliśmy, że trójkąty $ADC$ i $BDC$ mają dokładnie takie same kąty!

Krok 2: Proporcja z podobieństwa.

Skoro trójkąty $ADC$ i $BDC$ są podobne (cecha KKK), możemy ułożyć proporcję ich boków. Musimy być tylko bardzo ostrożni, by brać boki leżące naprzeciwko tych samych kątów!

W lewym trójkącie bok leżący naprzeciwko kąta $(90^\circ - \alpha)$ to nasze $x$ . W prawym trójkącie naprzeciwko tego samego kąta leży bok $h$ .

W lewym trójkącie naprzeciwko kąta $\alpha$ leży bok $h$ . W prawym naprzeciwko $\alpha$ leży bok $y$ .

\frac{x}{h} = \frac{h}{y}

Krok 3: Finał dowodu (Mnożenie na krzyż).

Wystarczy teraz wymnożyć naszą proporcję "na krzyż", aby otrzymać tezę zadania.

h \cdot h = x \cdot y

h^2 = x \cdot y

Co należało dowieść (c.n.d.). Właśnie zdobyłeś cenne punkty na maturze z pozornie trudnego dowodu!

Powtórka: Twierdzenie o Dwusiecznej Kąta

Dwusieczna to półprosta, która dzieli kąt na dwie równe połowy. Na maturze rozszerzonej często pojawia się jedno kluczowe twierdzenie z nią związane: dwusieczna dzieli przeciwległy bok trójkąta na odcinki, które są proporcjonalne do pozostałych boków tego trójkąta. To taki mniejszy brat Twierdzenia Talesa!

Złota Proporcja Dwusiecznej

Stosunek odcinków na podstawie ( $x$ i $y$ ) jest taki sam, jak stosunek bocznych ramion ( $b$ i $a$ ), które do nich "przylegają".

\frac{x}{y} = \frac{b}{a}

Powtórka: Magia Pól w Trapezie (Klasyk Maturalny)

To absolutny hit na dowodzenie i zadania obliczeniowe. Kiedy w dowolnym trapezie poprowadzisz dwie przekątne, podzielą one figurę na cztery mniejsze trójkąty. Ukrywa się w nich potężna wiedza o podobieństwie i skali pól, którą omawialiśmy wcześniej!

Podobieństwo Górny/Dolny

Trójkąt przy dolnej podstawie ( $P_1$ ) i trójkąt przy górnej ( $P_2$ ) są zawsze podobne (cecha KKK z kątów naprzemianległych). Skala ich podobieństwa to stosunek podstaw: $k = \frac{a}{b}$ . Ich pola zachowują się jak $k^2$ !

Równość Pól Bocznych

Dwa trójkąty "boczne" ( $P_3$ i $P_4$ ) nie są podobne, ale zawsze mają dokładnie takie samo pole powierzchni! Dodatkowo zachodzi superwzór: ich pole to pierwiastek z iloczynu pól podstaw: $P_{boczne} = \sqrt{P_1 \cdot P_2}$ .

Zadanie z Polami Trapezu (Krok po Kroku):

W trapezie podstawy mają długości $a = 15$ i $b = 5$ . Przekątne dzielą go na cztery trójkąty. Pole najmniejszego z nich (przy górnej podstawie) wynosi $10 \text{ cm}^2$ . Oblicz pole całkowite tego trapezu.

Krok 1: Skala podobieństwa trójkątów.

Zaczynamy od wyznaczenia skali podobieństwa między dolnym a górnym trójkątem. Znamy długości ich podstaw.

k = \frac{a}{b} = \frac{15}{5} = 3

Większy trójkąt (dolny) ma boki 3 razy dłuższe od mniejszego (górnego).

Krok 2: Używamy $k^2$ do obliczenia pola dolnego trójkąta.

Skoro skala wynosi 3, to pole dolnego trójkąta będzie $3^2 = 9$ razy większe!

P_{dolny} = k^2 \cdot P_{gorny} = 9 \cdot 10 = 90 \text{ cm}^2

Krok 3: Obliczamy pola boczne z magicznego wzoru.

Mamy już pola trójkątów przy podstawach (10 i 90). Pola dwóch trójkątów bocznych są sobie równe i wynoszą:

P_{boczne} = \sqrt{10 \cdot 90} = \sqrt{900} = 30 \text{ cm}^2

Krok 4: Podsumowanie (Pole Całkowite).

Pole trapezu to po prostu suma pól tych czterech trójkątów: Górny (10) + Dolny (90) + Dwa boczne (30 + 30).

P_{calkowite} = 10 + 90 + 30 + 30 = 160 \text{ cm}^2

Teoria opanowana? Czas na praktykę!

Baza Quizów Maturalnych

Lista Pewniaków CKE