Geometria Analityczna

Wstęp: Geometria bez cyrkla, za to z równaniami

Geometria analityczna na maturze rozszerzonej to ratunek dla tych, którzy nie przepadają za żmudnym szukaniem podobieństw trójkątów. Tutaj każda kropka, prosta czy okrąg ma swój dokładny adres (współrzędne) lub przepis (równanie). Zaczynamy od wektorów, które są fundamentem analitycznego myślenia!

📋 Spis treści

Część I: Wektory

1 Obliczanie współrzędnych i długości wektora
2 Dodawanie, odejmowanie i równość
3 Zastosowanie wektorów w planimetrii

Część II: Proste i Okręgi

4 Podstawowe pojęcia (Proste i Okręgi)
5 Punkty wspólne prostej i okręgu
6 Punkty wspólne dwóch okręgów
7 Prostopadłość i Styczne do okręgu
8 Odległość punktu od prostej a okręgi
9 Złożone zadania (Miks analityczny)

Obliczanie Współrzędnych i Długości Wektora

Wektor to w matematyce nic innego jak odcinek, który wie dokąd zmierza (ma zwrot wyznaczony strzałką). Wektor zaczynający się w punkcie $A$ i kończący w punkcie $B$ zapisujemy jako $\vec{AB}$ . Jego współrzędne mówią nam po prostu: "ile kroków w prawo/lewo i ile kroków w górę/dół" musimy zrobić, by z punktu $A$ dojść do $B$ .

Współrzędne Wektora (Koniec minus Początek)

Zawsze od współrzędnych punktu końcowego odejmujemy współrzędne punktu początkowego. Jeśli $A = (x_A, y_A)$ oraz $B = (x_B, y_B)$ :

\vec{AB} = [x_B - x_A, y_B - y_A]

Pamiętaj o nawiasach kwadratowych dla wektorów!

Długość Wektora (Pitagoras w ukryciu)

Długość wektora oznaczamy pionowymi kreskami $|\vec{AB}|$ . To zwykłe Twierdzenie Pitagorasa, gdzie przyprostokątnymi są współrzędne wektora!

|\vec{v}| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}

Wynik zawsze jest liczbą dodatnią.

Zadanie Obliczeniowe:

Dane są punkty $A = (-2, 1)$ oraz $B = (4, 5)$ . Wyznacz współrzędne wektora $\vec{AB}$ oraz oblicz jego długość.

Krok 1: Obliczanie współrzędnych (Koniec - Początek).

Naszym punktem końcowym jest $B$ . Od jego "iksa" odejmujemy "iksa" z punktu $A$ . To samo robimy z igrekami. Uważaj na znaki minus przy odejmowaniu liczb ujemnych!

\vec{AB} = [4 - (-2), 5 - 1]

\vec{AB} = [4 + 2, 4] = [6, 4]

Krok 2: Długość wektora.

Mamy gotowy wektor $\vec{v} = [6, 4]$ . Aby policzyć jego długość, wkładamy obie składowe do pierwiastka podniesione do kwadratu.

|\vec{AB}| = \sqrt{6^2 + 4^2} = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52}

Dobrym nawykiem maturalnym jest wyciąganie czynnika przed znak pierwiastka: $\sqrt{52} = \sqrt{4 \cdot 13} = 2\sqrt{13}$ . Gotowe!

Dodawanie, Odejmowanie i Równość Wektorów

Geometrycznie wektory dodajemy najczęściej metodą równoległoboku: zaczepiamy oba wektory w jednym punkcie, budujemy z nich równoległobok, a przekątna wychodząca z tego punktu to nasz wektor wypadkowy (suma). Na szczęście w geometrii analitycznej w ogóle nie musimy tego rysować! Wszystko załatwia prosta algebra – dodajemy "iksy do iksów, a igreki do igreków".

Dodawanie / Odejmowanie

Działamy na odpowiednich współrzędnych. Nic prostszego!

[x_1, y_1] \pm [x_2, y_2] =

[x_1 \pm x_2, y_1 \pm y_2]

Mnożenie przez liczbę

Mnożymy "iksy" i "igreki" przez dany skalar (liczbę). Wektor staje się dłuższy/krótszy, a jeśli liczba jest ujemna – odwraca zwrot.

k \cdot [x, y] = [k \cdot x, k \cdot y]

Kiedy są równe?

Dwa wektory są równe tylko wtedy, gdy mają identyczne "iksy" i identyczne "igreki". To fundament zadań na równoległoboki!

\vec{u} = \vec{v} \iff \begin{cases} u_x = v_x \\ u_y = v_y \end{cases}

Maturalny Pewniak: Szukanie czwartego wierzchołka

Punkty $A = (1, 2)$ , $B = (4, 6)$ oraz $C = (2, -1)$ to trzy wierzchołki równoległoboku. Wyznacz współrzędne punktu $D$ takiego, aby czworokąt $ABDC$ (uwaga na kolejność liter!) był równoległobokiem.

Krok 1: Własność równoległoboku (Wektory na ratunek).

Zamiast liczyć skomplikowane odległości i proste równoległe, wykorzystamy wektory. W równoległoboku $ABDC$ przeciwległe boki są równoległe i równej długości. Oznacza to, że wektor przesunięcia z $A$ do $B$ jest dokładnie taki sam, jak wektor z $C$ do $D$ ! Zapisujemy równanie:

\vec{AB} = \vec{CD}

Krok 2: Obliczamy współrzędne wektorów.

Oznaczamy nieznany punkt jako $D = (x, y)$ . Rozpisujemy oba wektory, odejmując początek od końca.

\vec{AB} = [4 - 1, 6 - 2] = [3, 4]

\vec{CD} = [x - 2, y - (-1)] = [x - 2, y + 1]

Krok 3: Przyrównanie współrzędnych i wynik.

Skoro wektory są równe, to pierwsza współrzędna pierwszego musi się równać pierwszej drugiego (to samo dla drugiej). Tworzymy dwa proste równania:

x - 2 = 3

x = 5

y + 1 = 4

y = 3

Odpowiedź: Czwartym wierzchołkiem jest punkt $D = (5, 3)$ . Rozwiązane bez rysowania w 2 minuty!

Zastosowanie Wektorów w Planimetrii

Wektory to najszybsze narzędzie do rozwiązywania problemów ze współliniowością punktów oraz środkami ciężkości. Kiedy CKE prosi o wykazanie, że trzy punkty leżą na jednej prostej, albo o znalezienie środka symetrii, uciekamy do prostych wzorów, które sprowadzają się do liczenia średniej arytmetycznej!

Środek Odcinka i Ciężkości

Aby znaleźć środek odcinka, wystarczy policzyć średnią arytmetyczną współrzędnych jego końców. Analogicznie, środek ciężkości trójkąta (punkt przecięcia środkowych) to średnia z trzech wierzchołków!

S_{AB} = \left(\frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}\right)

S_{\triangle} = \left(\frac{x_A + x_B + x_C}{3}, \frac{y_A + y_B + y_C}{3}\right)

Współliniowość Punktów

Zamiast tworzyć równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty i sprawdzać trzeci, użyj wektorów! Trzy punkty $A, B, C$ leżą na jednej prostej, jeśli wektory z nich zbudowane są równoległe.

\vec{AB} \parallel \vec{AC}

(Współrzędne wektorów są proporcjonalne, np. jeden to 2-krotność drugiego)

Zadanie na Wykazywanie:

Wykaż, że punkty $A = (-1, -2)$ , $B = (2, 4)$ oraz $C = (4, 8)$ leżą na jednej prostej (są współliniowe).

Krok 1: Budujemy dwa wektory z jednego punktu.

Zaczepmy oba wektory w punkcie $A$ . Tworzymy wektory $\vec{AB}$ oraz $\vec{AC}$ , pamiętając o odejmowaniu początku od końca.

\vec{AB} = [2 - (-1), 4 - (-2)] = [3, 6]

\vec{AC} = [4 - (-1), 8 - (-2)] = [5, 10]

Krok 2: Badanie proporcjonalności (wyznacznik wektorów).

Wektory są równoległe, gdy istnieje jakaś liczba (skalar), przez którą pomnożymy pierwszy, aby otrzymać drugi, albo gdy ich wyznacznik jest równy 0.

Najszybciej to widać sprawdzając stosunki iksów i igreków:

\frac{x_{\vec{AB}}}{x_{\vec{AC}}} = \frac{3}{5}

\frac{y_{\vec{AB}}}{y_{\vec{AC}}} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}

Stosunki współrzędnych są równe ( $\frac{3}{5} = \frac{3}{5}$ ), co oznacza, że wektory są równoległe. Skoro oba mają wspólny początek w punkcie $A$ , punkty muszą leżeć na jednej prostej. c.n.d.

Podstawowe pojęcia (Proste i Okręgi)

W geometrii analitycznej każda linia ma swój "przepis" (równanie), który mówi nam, z jakich punktów się składa. Najważniejsze to płynnie przechodzić między różnymi postaciami tych równań, bo niektóre wzory maturalne wymagają postaci ogólnej, a inne kierunkowej!

Równania Prostej

1. Postać kierunkowa:

y = ax + b

Idealna do rysowania i sprawdzania prostopadłości/równoległości. $a$ mówi o nachyleniu, a $b$ to punkt przecięcia z osią OY.

2. Postać ogólna:

Ax + By + C = 0

Wszystko zrzucone na jedną stronę. Bezwzględnie wymagana, gdy chcesz użyć wzoru na odległość punktu od prostej!

Równanie Okręgu

Postać kanoniczna (najlepsza!):

(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2

Od razu widać z niej, gdzie jest środek okręgu: $S = (a, b)$ oraz jak długi jest promień $r$ .

Uwaga na znaki! Jeśli we wzorze masz $(x + 3)^2$ , to współrzędna środka wynosi $-3$ . Zawsze bierzemy liczbę z odwrotnym znakiem!

Maturalny Nawyk (Zwrot znaków):

Z poniższego równania okręgu odczytaj współrzędne jego środka $S$ oraz długość promienia $r$ .

(x - 5)^2 + (y + 2)^2 = 16

Krok 1: Środek $S(a, b)$ .

Przy "iksie" stoi $-5$ , więc zmieniamy znak i otrzymujemy $a = 5$ . Przy "igreku" stoi $+2$ , więc po zmianie znaku mamy $b = -2$ .

S = (5, -2)

Krok 2: Promień $r$ .

Liczba po prawej stronie znaku równości to promień podniesiony do kwadratu ( $r^2$ ). Musimy ją spierwiastkować.

r^2 = 16 \implies r = \sqrt{16} = 4

Gotowe! To podstawa do wszelkich zadań ze stycznymi i przecięciami.

Punkty Wspólne Prostej i Okręgu (Sieczna i Styczna)

Co się stanie, gdy nałożymy na siebie prostą i okrąg? Prosta może przeciąć okrąg w dwóch miejscach (nazywamy ją wtedy sieczną), dotknąć go w jednym punkcie (styczna) lub w ogóle go ominąć (prosta rozłączna). Aby to sprawdzić, zawsze budujemy układ równań, w którym łączymy równanie prostej z równaniem okręgu.

Magia Delty

(\Delta)

Po podstawieniu "igreka" z równania prostej do równania okręgu, zawsze otrzymasz równanie kwadratowe ze zmienną $x$ . To, ile wyjdzie punktów wspólnych, zależy wyłącznie od znaku delty z tego równania!

\Delta > 0

Dwa punkty (Sieczna)

Prosta wchodzi do środka okręgu. Mamy dwa rozwiązania

x_1, x_2

\Delta = 0

Jeden punkt (Styczna)

Prosta tylko "muska" okrąg. Niezwykle ważny przypadek na maturze!

\Delta < 0

Brak punktów

Prosta w ogóle nie dotyka okręgu. Układ równań nie ma rozwiązań.

Zadanie Obliczeniowe (Krok po kroku):

Wyznacz współrzędne punktów przecięcia okręgu o równaniu $x^2 + y^2 = 25$ z prostą o równaniu $y = x - 1$ .

Krok 1: Podstawienie do równania okręgu.

Z równania prostej wiemy, że $y$ to inaczej $x - 1$ . Bierzemy ten nawias i wrzucamy go w miejsce $y$ do równania okręgu.

x^2 + (x - 1)^2 = 25

Krok 2: Wzory skróconego mnożenia i równanie kwadratowe.

Rozpisujemy nawias, redukujemy wyrazy podobne i wszystko przerzucamy na lewą stronę, by po prawej zostało tylko zero.

x^2 + (x^2 - 2x + 1) - 25 = 0

2x^2 - 2x - 24 = 0 \quad / : 2

x^2 - x - 12 = 0

Krok 3: Delta i pierwiastki.

Liczymy deltę dla naszego uproszczonego równania.

\Delta = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49

\sqrt{\Delta} = 7

Ponieważ $\Delta > 0$ , wiemy już na pewno, że prosta przecina okrąg w dwóch miejscach! Liczymy iksy:

x_1 = \frac{1 - 7}{2} = -3 \quad \text{oraz} \quad x_2 = \frac{1 + 7}{2} = 4

Krok 4: Znalezienie "igreków" (Powrót do prostej).

Mamy współrzędne "iksowe" naszych punktów. Aby poznać pełne adresy punktów, wstawiamy te iksy z powrotem do równania prostej (jest to najszybszy sposób).

Dla pierwszego punktu:

y_1 = -3 - 1 = -4 \implies B = (-3, -4)

Dla drugiego punktu:

y_2 = 4 - 1 = 3 \implies A = (4, 3)

Rozwiązaniem są dwa punkty: $A(4, 3)$ oraz $B(-3, -4)$ . Dokładnie tak, jak na naszym wykresie na górze!

Punkty Wspólne Dwóch Okręgów (Magia Odejmowania)

Dwa okręgi mogą się przecinać w dwóch punktach, stykać w jednym lub w ogóle nie mieć punktów wspólnych. Kiedy próbujesz rozwiązać układ dwóch równań okręgów, pojawia się problem: w obu masz $x^2$ i $y^2$ . Jak się ich pozbyć? Odejmując równania stronami! Ten genialny krok kasuje kwadraty i zostawia Ci zwykłe równanie prostej (tzw. oś potęgową), która przechodzi przez punkty przecięcia.

💡

Maturalny Wytrych: Redukcja do Prostej

Po odjęciu stronami dwóch równań okręgów, otrzymasz równanie liniowe (np. $y = 2x + 1$ ). Od tego momentu zadanie jest identyczne jak w poprzednim punkcie! Bierzemy to nowe równanie prostej i podstawiamy je do dowolnego z dwóch początkowych okręgów (wybierz ten z ładniejszymi liczbami). Liczymy deltę i gotowe!

Zadanie Obliczeniowe (Krok po kroku):

Znajdź punkty przecięcia okręgu $O_1: x^2 + y^2 = 25$ oraz okręgu $O_2: (x - 4)^2 + y^2 = 9$ .

Krok 1: Rozpisanie nawiasów.

Zanim odejmiemy równania, musimy pozbyć się nawiasów z postaci kanonicznej drugiego okręgu, używając wzoru skróconego mnożenia.

O_2: x^2 - 8x + 16 + y^2 = 9

Krok 2: Odejmowanie stronami (Likwidacja kwadratów).

Zapisujemy układ równań i odejmujemy dolne równanie od górnego. Kwadraty z $x$ i $y$ magicznie znikają!

x^2 + y^2 = 25

-(x^2 - 8x + 16 + y^2) = -9

8x - 16 = 16

Rozwiązujemy to proste równanie:

8x = 32 \implies x = 4

(Otrzymaliśmy prostą pionową, która przechodzi przez punkty przecięcia - to nasza zielona linia przerywana z wykresu!)

Krok 3: Powrót do (łatwiejszego) okręgu.

Mamy już $x = 4$ . Podstawiamy tę wartość do pierwszego, znacznie łatwiejszego równania okręgu ( $x^2 + y^2 = 25$ ), aby wyliczyć "igreki".

4^2 + y^2 = 25

16 + y^2 = 25

y^2 = 9

y = 3 \quad \text{lub} \quad y = -3

Otrzymaliśmy dwa komplety współrzędnych. Punkty przecięcia to $A(4, 3)$ oraz $B(4, -3)$ .

Prostopadłość i Styczne do Okręgu

Jedną z najważniejszych własności w geometrii jest to, że styczna do okręgu tworzy zawsze kąt prosty z promieniem poprowadzonym do punktu styczności. Dzięki temu, znając środek okręgu i punkt styczności, możemy błyskawicznie wyznaczyć równanie tej stycznej, korzystając z warunku na prostopadłość prostych!

Warunek Prostopadłości

Dwie proste o równaniach $y = a_1x + b_1$ i $y = a_2x + b_2$ są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych wynosi $-1$ .

a_1 \cdot a_2 = -1

W skrócie: Odwróć ułamek i zmień znak! (np. $\frac{2}{3} \rightarrow -\frac{3}{2}$ )

Przepis na Styczną

Jeśli masz dany okrąg i punkt na nim, nie musisz liczyć delty! Wystarczy znaleźć współczynnik kierunkowy promienia, odwrócić go (z minusem) i podstawić punkt.

a_{stycznej} = -\frac{1}{a_{promienia}}

Zadanie Obliczeniowe (Krok po kroku):

Wyznacz równanie prostej stycznej do okręgu o równaniu $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 25$ w punkcie $P(4, 6)$ , który leży na tym okręgu.

Krok 1: Wyciągamy środek okręgu i liczymy współczynnik promienia.

Z równania okręgu odczytujemy środek: $S(1, 2)$ . Następnie liczymy współczynnik kierunkowy prostej, która przechodzi przez środek $S$ i punkt styczności $P(4, 6)$ . Korzystamy ze wzoru $a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ .

a_r = \frac{6 - 2}{4 - 1} = \frac{4}{3}

Krok 2: Odwracamy współczynnik dla stycznej.

Styczna jest prostopadła do promienia. Zatem jej współczynnik kierunkowy to "odwrócony ułamek z przeciwnym znakiem".

a_t = -\frac{3}{4}

Nasza styczna ma więc postać: $y = -\frac{3}{4}x + b$ .

Krok 3: Obliczamy brakujące "b".

Styczna musi przechodzić przez punkt styczności $P(4, 6)$ . Wstawiamy jego współrzędne w miejsce $x$ i $y$ w naszym niepełnym równaniu.

6 = -\frac{3}{4} \cdot 4 + b

6 = -3 + b \implies b = 9

y = -\frac{3}{4}x + 9

To jest ostateczne równanie naszej prostej stycznej!

Odległość Punktu od Prostej a Okręgi

Zamiast liczyć punkty przecięcia, czasem wystarczy nam wiedza, czy w ogóle one istnieją. W tym celu liczymy najkrótszą odległość (po kącie prostym) środka okręgu od danej prostej. Następnie porównujemy ten wynik z promieniem okręgu. Do tego potrzebujemy najsłynniejszego wzoru z wartością bezwzględną z tablic!

Wzór na odległość punktu $P(x_0, y_0)$ od prostej

Uwaga: Aby użyć tego wzoru, prosta MUSI być w postaci ogólnej ( $Ax + By + C = 0$ )! Jeśli masz postać kierunkową ( $y = ax+b$ ), przerzuć wszystko na jedną stronę.

d = \frac{|A \cdot x_0 + B \cdot y_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}

d < r

Prosta jest sieczną (przecina w 2 punktach).

d = r

Prosta jest styczną (1 punkt styku).

d > r

Prosta omija okrąg (jak na wykresie wyżej).

Maturalne Omijanie Delty (Krok po kroku):

Zbadaj wzajemne położenie prostej $y = \frac{3}{4}x + 2$ i okręgu o środku w punkcie $S(2, -1)$ i promieniu $r = 3$ .

Krok 1: Przejście na postać ogólną prostej.

Mamy równanie kierunkowe. Mnożymy je przez 4 (żeby zabić ułamek), a potem przerzucamy wszystko na lewą stronę, aby przyrównać do zera.

y = \frac{3}{4}x + 2 \quad / \cdot 4

4y = 3x + 8

-3x + 4y - 8 = 0

(Współczynniki to: $A = -3$ , $B = 4$ , $C = -8$ )

Krok 2: Wstawienie do wzoru na odległość.

Podstawiamy współczynniki prostej $A, B, C$ oraz współrzędne środka okręgu $x_0 = 2$ , $y_0 = -1$ prosto do wzoru:

d = \frac{|-3 \cdot 2 + 4 \cdot (-1) - 8|}{\sqrt{(-3)^2 + 4^2}}

d = \frac{|-6 - 4 - 8|}{\sqrt{9 + 16}}

d = \frac{|-18|}{\sqrt{25}} = \frac{18}{5} = 3.6

Krok 3: Werdykt.

Nasza odległość od prostej wynosi $d = 3.6$ . Promień okręgu wynosił zaledwie $r = 3$ .

d > r \quad (3.6 > 3)

Ponieważ odległość jest większa niż promień, prosta nie ma punktów wspólnych z okręgiem (jest rozłączna). Obliczyliśmy to bez rozwiązywania koszmarnych równań z kwadratami!

Złożone Zadania (Miks Analityczny i Sprytne Skróty)

Zadania za 4-5 punktów rzadko sprawdzają tylko jedną umiejętność. CKE uwielbia łączyć proste, okręgi i trójkąty w jedno wielkie polecenie. Kluczem do sukcesu nie jest tu ślepe liczenie, ale wykonanie dobrego szkicu i poszukanie ukrytych trójkątów prostokątnych. Zobaczmy to na genialnym przykładzie, w którym ominiemy liczenie okropnej delty!

Maturalny Boss (5 punktów):

Prosta o równaniu $3x - 4y + 20 = 0$ przecina okrąg o równaniu $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 25$ w dwóch punktach $A$ i $B$ . Punkt $S$ jest środkiem tego okręgu. Oblicz pole trójkąta $ABS$ .

🛑

Instynkt początkującego: Zrobić układ równań, podstawić prostą do okręgu, liczyć deltę, wyznaczyć okropne ułamkowe współrzędne punktów A i B, a potem liczyć długość podstawy. Zginiesz w obliczeniach!
Instynkt mistrza: Użyć wzoru na odległość punktu od prostej i Pitagorasa!

Krok 1: Wypisanie danych o okręgu (nasz fundament).

Z równania okręgu błyskawicznie wyciągamy środek i promień. Promień okręgu to jednocześnie ramiona naszego trójkąta (odcinki $SA$ i $SB$ ).

S = (1, 2), \quad r = \sqrt{25} = 5

Krok 2: Wysokość trójkąta (Odległość od prostej).

Wysokość naszego trójkąta $ABS$ opuszczona z wierzchołka $S$ to nic innego jak najkrótsza odległość środka okręgu od prostej! Mamy prostą w postaci ogólnej ( $A=3, B=-4, C=20$ ), więc wjeżdżamy z gotowym wzorem:

h = d = \frac{|3 \cdot 1 - 4 \cdot 2 + 20|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{|3 - 8 + 20|}{\sqrt{9 + 16}}

h = \frac{|15|}{\sqrt{25}} = \frac{15}{5} = 3

Krok 3: Połowa podstawy (Magia Pitagorasa).

Spójrz na wykres. Wysokość $h$ dzieli nasz trójkąt równoramienny na dwa małe trójkąty prostokątne. Znamy przeciwprostokątną ( $r = 5$ ) i przyprostokątną ( $h = 3$ ). Z Pitagorasa liczymy brakujący kawałek podstawy ( $x$ ):

x^2 + h^2 = r^2

x^2 + 3^2 = 5^2

x^2 + 9 = 25 \implies x^2 = 16 \implies x = 4

Cała podstawa trójkąta to podwojony ten odcinek, czyli $|AB| = 2x = 8$ . Znaleźliśmy długość podstawy bez znajomości punktów A i B!

Krok 4: Finał (Pole Trójkąta).

Mamy podstawę ( $a = 8$ ) i mamy wysokość ( $h = 3$ ). Wystarczy to przemnożyć.

P = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 3 = 12

Zadanie rozwiązane z elegancją, bez ani jednego ułamka. To nagroda za znajomość wzorów!

Teoria opanowana? Czas na praktykę!

Baza Quizów Maturalnych

Lista Pewniaków CKE