Stereometria

Wstęp: Wejście w Trzeci Wymiar

Na maturze rozszerzonej stereometria to zazwyczaj jedno z najciekawszych zadań za 4-6 punktów. Skończyły się czasy podstawiania do gotowych wzorów na objętość. Tutaj musisz sam odnaleźć odpowiednie trójkąty prostokątne ukryte we wnętrzu brył, wyznaczać przekroje i płynnie korzystać z trygonometrii. Zaczynamy od absolutnego fundamentu – relacji między prostymi a płaszczyznami.

📋 Spis treści

1 Twierdzenie o prostej prostopadłej i T3P
2 Kąty między ścianami (Graniastosłupy i Ostrosłupy)
3 Wyznaczanie i pola przekrojów

4 Bryły obrotowe z trygonometrią (Walec, Stożek, Kula)
5 Zależności między objętościami brył podobnych

Prosta Prostopadła i Twierdzenie o Trzech Prostopadłych (T3P)

Zanim zaczniemy liczyć kąty, musimy ustalić, co to znaczy, że odcinek jest prostopadły do "podłogi". Prosta jest prostopadła do płaszczyzny, jeśli jest prostopadła do KAŻDEJ prostej leżącej na tej płaszczyźnie, przechodzącej przez punkt przebicia. Brzmi groźnie? W praktyce oznacza to, że wysokość ostrosłupa (spadająca na podstawę) tworzy kąt prosty z każdą możliwą linią narysowaną na podstawie!

Twierdzenie o Trzech Prostopadłych (T3P)

Spójrz na powyższy model. To najważniejszy mechanizm w stereometrii!

Jeśli narysujemy rzut punktu $A$ na płaszczyznę (otrzymując $A'$ ), a następnie z tego rzutu poprowadzimy odcinek prostopadły do dowolnej prostej $k$ na podłodze (niebieska linia przerywana), to odcinek łączący punkt w przestrzeni z tym samym miejscem na prostej $k$ (żółta linia) będzie do niej również automatycznie prostopadły!

Pierwsza Prostopadła

Wysokość

AA'

jest prostopadła do płaszczyzny podłogi.

Druga Prostopadła

Rzut ukośnej (

A'P

) uderza pod kątem prostym w prostą

k

Trzecia Prostopadła!

Z T3P wynika, że ukośna (

AP

) jest prostopadła do prostej

k

💡

Maturalny Haczyk: Wysokość Ściany Bocznej

Po co nam to twierdzenie? Wyobraź sobie ostrosłup. Z punktu $A$ (wierzchołek ostrosłupa) opuszczasz wysokość na podstawę (punkt $A'$ ). Prosta $k$ to krawędź podstawy. Czym jest w takim razie ta "żółta linia" ( $AP$ )? To nic innego jak wysokość ściany bocznej! T3P gwarantuje nam, że tworzy ona kąt prosty z krawędzią podstawy. To właśnie z tego trójkąta prostokątnego $AA'P$ korzystasz w 90% zadań!

Klasyk Obliczeniowy z użyciem T3P:

W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym krawędź podstawy ma długość $a = 6$ , a wysokość całego ostrosłupa wynosi $H = 4$ . Oblicz długość wysokości ściany bocznej tego ostrosłupa ( $h_b$ ).

Krok 1: Lokalizacja trójkąta z T3P.

Zgodnie z naszym twierdzeniem, budujemy pionowy trójkąt prostokątny wewnątrz ostrosłupa. Składa się on z:

Wysokości ostrosłupa $H = 4$ (przyprostokątna pionowa).
Kawałka wysokości podstawy od środka do krawędzi (przyprostokątna pozioma).
Wysokości ściany bocznej $h_b$ (nasza przeciwprostokątna!).

Krok 2: Długość przyprostokątnej na "podłodze".

W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym spodek wysokości ląduje w punkcie przecięcia wysokości podstawy. Odcinek na "podłodze" do krawędzi bocznej to dokładnie $\frac{1}{3}$ wysokości trójkąta równobocznego z podstawy! Liczymy wysokość podstawy ( $h_p$ ):

h_p = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}

Bierzemy jedną trzecią z tego, by dostać naszą przyprostokątną (nazwijmy ją $x$ ):

x = \frac{1}{3} \cdot 3\sqrt{3} = \sqrt{3}

Krok 3: Pitagoras kończy sprawę.

Mając $H = 4$ oraz $x = \sqrt{3}$ , odpalamy z T3P Twierdzenie Pitagorasa, by znaleźć wysokość ściany bocznej:

h_b^2 = H^2 + x^2

h_b^2 = 4^2 + (\sqrt{3})^2

h_b^2 = 16 + 3 = 19 \implies h_b = \sqrt{19}

I gotowe! Wysokość ściany bocznej wynosi $\sqrt{19}$ . To najczęstszy schemat w stereometrii!

Kąty Między Ścianami (Gdzie ukrywa się kąt dwuścienny?)

Złota zasada stereometrii: kąta między dwiema płaszczyznami (ścianami) nigdy nie szukamy "na oko". Aby go poprawnie zaznaczyć, musisz znaleźć wspólną krawędź tych ścian, a następnie poprowadzić do niej dwie prostopadłe (po jednej na każdej ścianie), które spotkają się dokładnie w jednym punkcie. Kąt między tymi prostopadłymi to nasz szukany kąt!

⚠️

Maturalna Pułapka: Kąt między ścianami bocznymi w ostrosłupie

Kiedy CKE pyta o kąt między sąsiednimi ścianami bocznymi ostrosłupa, uczniowie często zaznaczają kąt przy wierzchołku głównym. To błąd! Wspólną krawędzią jest krawędź boczna. Musisz poprowadzić wysokości dwóch sąsiednich ścian bocznych tak, aby spadły na tę krawędź w tym samym punkcie. Tworzy się wtedy specyficzny trójkąt, który wyciągamy na zewnątrz i tniemy Twierdzeniem Cosinusów!

Powyższy rysunek to wyciągnięty "na płasko" trójkąt tworzący kąt dwuścienny.

Klasyk Obliczeniowy (Krok po Kroku):

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny, w którym wszystkie krawędzie (zarówno podstawy, jak i boczne) mają długość $a = 6$ . Oblicz cosinus kąta między dwiema sąsiednimi ścianami bocznymi.

Krok 1: Wymiary trójkąta "przekrojowego".

Zgodnie z naszym rysunkiem wyżej, potrzebujemy długości ramion tego trójkąta ( $h_1$ i $h_2$ ) oraz jego podstawy ( $d$ ).

Podstawa trójkąta ( $d$ ): To przekątna kwadratu w podstawie ostrosłupa. Skoro bok kwadratu to $a = 6$ , to przekątna wynosi $d = a\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$ .
Ramiona trójkąta ( $h_1, h_2$ ): To wysokości ścian bocznych opuszczone na krawędź boczną. Ponieważ wszystkie krawędzie w tym ostrosłupie to 6, ściany boczne są trójkątami równobocznymi! Wysokość takiego trójkąta to ze wzoru $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$ . W naszym przypadku $h = \frac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$ .

Krok 2: Twierdzenie Cosinusów na ratunek!

Mamy trójkąt o bokach $3\sqrt{3}, 3\sqrt{3}$ oraz podstawie $6\sqrt{2}$ . Szukamy kąta $\alpha$ naprzeciwko podstawy. Używamy Twierdzenia Cosinusów z planimetrii:

d^2 = h_1^2 + h_2^2 - 2 \cdot h_1 \cdot h_2 \cdot \cos\alpha

Podstawiamy nasze wartości:

(6\sqrt{2})^2 = (3\sqrt{3})^2 + (3\sqrt{3})^2 - 2 \cdot (3\sqrt{3}) \cdot (3\sqrt{3}) \cdot \cos\alpha

72 = 27 + 27 - 2 \cdot 27 \cdot \cos\alpha

72 = 54 - 54\cos\alpha

Krok 3: Wyliczenie Cosinusa.

Teraz to już tylko prosta algebra. Przenosimy niewiadomą na jedną stronę, liczby na drugą:

54\cos\alpha = 54 - 72

54\cos\alpha = -18 \quad / : 54

\cos\alpha = -\frac{18}{54} = -\frac{1}{3}

Ujemny cosinus informuje nas (zupełnie przy okazji), że kąt między tymi ścianami jest rozwarty (więcej niż 90°)! Wynik jest gotowy do wpisania w kartę odpowiedzi.

Wyznaczanie Przekrojów (Cięcie Brył Nożem) i Trygonometria

Przekrój to po prostu figura płaska (najczęściej trójkąt, prostokąt, trapez lub sześciokąt), która powstaje wewnątrz bryły, gdy przetniemy ją idealnie płaskim "nożem" (płaszczyzną). Najważniejszą zasadą wyznaczania przekrojów jest to, że płaszczyzna tnąca, przechodząc przez dwie równoległe ściany (np. lewą i prawą ścianę sześcianu), zawsze zostawia na nich równoległe ślady (odcinki).

📐

Złoty Trójkąt Przekroju (Klucz do kątów)

Kiedy musisz policzyć pole przekroju lub kąt jego nachylenia do podstawy ( $\alpha$ ), prawie zawsze musisz wyodrębnić wewnątrz bryły mały trójkąt prostokątny. Składa się on z:

Pionowego odcinka (np. kawałka krawędzi bocznej).
Poziomego odcinka na podłodze (np. połowy przekątnej).
Ukośnego odcinka, który jest wysokością samego przekroju!

To właśnie w tym małym trójkącie ukryta jest cała trygonometria!

Maturalne Wyzwanie (Zadanie z sześcianem):

W sześcianie o krawędzi $a = 6$ poprowadzono przekrój płaszczyzną przechodzącą przez przekątną podstawy oraz środek krawędzi bocznej (jak na rysunku wyżej). Oblicz pole tego przekroju oraz podaj cosinus kąta nachylenia tego przekroju do płaszczyzny podstawy.

Krok 1: Wymiary Trójkąta Prostokątnego (Szukamy $h_p$ ).

Z naszego rysunku wyciągamy mały trójkąt prostokątny $SCM$ , gdzie $S$ to środek podstawy, a $M$ to punkt na krawędzi bocznej.

Pionowa przyprostokątna ( $|CM|$ ): Punkt $M$ to środek krawędzi, więc $|CM| = \frac{a}{2} = \frac{6}{2} = 3$ .
Pozioma przyprostokątna ( $|SC|$ ): To dokładnie połowa przekątnej kwadratu w podstawie. Przekątna to $a\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$ , więc jej połowa wynosi $3\sqrt{2}$ .

Krok 2: Pitagoras dla wysokości przekroju.

Wysokość naszego trójkątnego przekroju ( $h_p$ ) to przeciwprostokątna w tym małym trójkącie.

h_p^2 = 3^2 + (3\sqrt{2})^2

h_p^2 = 9 + 18 = 27

h_p = \sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3}

Krok 3: Obliczamy pole przekroju.

Naszym przekrojem jest trójkąt równoramienny $BDM$ . Jego podstawa to cała przekątna kwadratu ( $d = 6\sqrt{2}$ ), a wysokość policzyliśmy przed chwilą ( $h_p = 3\sqrt{3}$ ).

P = \frac{1}{2} \cdot 6\sqrt{2} \cdot 3\sqrt{3} = 3\sqrt{2} \cdot 3\sqrt{3} = 9\sqrt{6}

Krok 4: Trygonometria (Cosinus kąta nachylenia).

Kąt nachylenia przekroju do podstawy to kąt między wysokością przekroju a płaszczyzną podstawy (czyli kąt $\angle MSC$ w naszym małym trójkącie prostokątnym). Cosinus to stosunek przyprostokątnej leżącej przy kącie do przeciwprostokątnej.

\cos\alpha = \frac{|SC|}{h_p} = \frac{3\sqrt{2}}{3\sqrt{3}}

\cos\alpha = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}

(W ostatnim kroku usunęliśmy niewymierność z mianownika, co jest zawsze dobrą praktyką). Zadanie rozpykane perfekcyjnie!

Bryły Obrotowe i Trygonometria (Przekroje Osiowe)

Bryły obrotowe powstają przez obrót figur płaskich (prostokąta dla walca, trójkąta prostokątnego dla stożka i koła dla kuli). Zamiast wyobrażać sobie skomplikowane obroty w 3D, na maturze niemal zawsze rysujemy przekrój osiowy takiej bryły. Przekrój walca to prostokąt, przekrój stożka to trójkąt równoramienny, a kuli – koło. To w nich ukrywamy nasze kąty!

Walec

Przekrojem jest prostokąt o bokach $2r$ (średnica podstawy) oraz $H$ (wysokość). Przekątna tego przekroju często tworzy kąt z podstawą!

V = \pi r^2 H

P_b = 2\pi r H

Stożek (Patrz wykres!)

Kluczowy jest tu trójkąt prostokątny zbudowany z promienia $r$ , wysokości $H$ i tworzącej $l$ . Pitagoras to podstawa: $r^2 + H^2 = l^2$ .

V = \frac{1}{3}\pi r^2 H

P_b = \pi r l

Kula

Najbardziej idealna bryła ze wszystkich. Wymaga znajomości wyłącznie promienia $R$ . Jej przekrojem jest zawsze wielkie koło.

V = \frac{4}{3}\pi R^3

P_c = 4\pi R^2

Maturalne Zadanie ze Stożkiem (Krok po Kroku):

W stożku kąt nachylenia tworzącej do płaszczyzny podstawy wynosi $\alpha = 60^\circ$ , a pole powierzchni bocznej wynosi $32\pi$ . Oblicz objętość tego stożka.

Krok 1: Analiza przekroju i Trygonometria.

Zaczynamy od połówki przekroju osiowego (nasz trójkąt prostokątny z bokami $r, H, l$ na wykresie wyżej). Kąt $60^\circ$ znajduje się między promieniem $r$ a tworzącą $l$ . Możemy uzależnić $r$ od $l$ korzystając z funkcji cosinus:

\cos 60^\circ = \frac{r}{l} \implies \frac{1}{2} = \frac{r}{l} \implies l = 2r

Dowiedzieliśmy się właśnie, że tworząca jest dokładnie dwa razy dłuższa od promienia! (Co zresztą ma sens, bo ten przekrój to połówka trójkąta równobocznego).

Krok 2: Wykorzystanie danej z pola bocznego.

Wiemy, że $P_b = 32\pi$ . Podstawiamy to do wzoru na pole boczne stożka i zamiast $l$ wrzucamy nasze uzyskane wcześniej $2r$ :

\pi r l = 32\pi \quad / : \pi

r \cdot (2r) = 32

2r^2 = 32 \implies r^2 = 16 \implies r = 4

Mamy promień! Skoro $l = 2r$ , to tworząca $l = 8$ .

Krok 3: Obliczamy wysokość $H$ (Pitagoras lub Sinus).

Do objętości potrzebujemy wysokości $H$ . Możemy użyć Pitagorasa ( $4^2 + H^2 = 8^2$ ) lub sinusa/tangensa kąta $60^\circ$ . Użyjmy tangensa:

\tan 60^\circ = \frac{H}{r} \implies \sqrt{3} = \frac{H}{4} \implies H = 4\sqrt{3}

Krok 4: Finał (Objętość).

Mamy wszystkie składniki. Wrzucamy promień i wysokość do wzoru na objętość stożka:

V = \frac{1}{3}\pi r^2 H = \frac{1}{3}\pi \cdot 4^2 \cdot 4\sqrt{3} = \frac{1}{3}\pi \cdot 16 \cdot 4\sqrt{3} = \frac{64\sqrt{3}}{3}\pi

(Nie bój się pierwiastków w liczniku i liczby Pi – w takich zadaniach to standardowy, piękny wynik).

Bryły Podobne i Skala Objętości ( $k^3$ )

Dwie bryły są podobne, jeśli jedna powstała przez powiększenie lub pomniejszenie drugiej w każdym wymiarze. Skala podobieństwa $k$ mówi nam, ile razy zwiększyły się krawędzie. Jednak w 3D musimy pamiętać o kluczowej zasadzie: jeśli krawędzie rosną $k$ razy, to pole powierzchni rośnie $k^2$ razy, a objętość rośnie aż $k^3$ razy!

Długości (krawędzie, h, r)

\frac{L_2}{L_1} = k

Pola powierzchni

\frac{P_2}{P_1} = k^2

Objętości

\frac{V_2}{V_1} = k^3

Zadanie na "odcięty czubek" (Typowy arkusz):

Stożek o objętości $V = 54 \pi$ przecięto płaszczyzną równoległą do podstawy w połowie jego wysokości. Oblicz objętość mniejszego stożka (odciętego czubka).

Krok 1: Wyznaczenie skali podobieństwa.

Skoro cięcie nastąpiło w połowie wysokości, to wysokość małego stożka ( $h_{mały}$ ) stanowi $\frac{1}{2}$ wysokości dużego stożka ( $H_{duży}$ ). Nasza skala podobieństwa $k$ (mały do dużego) wynosi:

k = \frac{1}{2}

Krok 2: Zastosowanie skali dla objętości.

Stosunek objętości brył podobnych jest równy sześcianowi skali podobieństwa. Obliczamy $k^3$ :

k^3 = (\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}

Oznacza to, że mały stożek ma objętość 8 razy mniejszą niż duży!

Krok 3: Wynik końcowy.

V_{mały} = \frac{1}{8} \cdot V_{duży}

V_{mały} = \frac{1}{8} \cdot 54\pi = \frac{27}{4}\pi = 6.75\pi

Pro-tip: Gdyby zadanie pytało o objętość dolnej części (stożka ściętego), odjęlibyśmy mały stożek od dużego: $54\pi - 6.75\pi = 47.25\pi$ .

Teoria opanowana? Czas na praktykę!

Baza Quizów Maturalnych

Lista Pewniaków CKE