Twierdzenie Pitagorasa

Na ósmoklasiście rzadko dostaniesz gotowy trójkąt prostokątny. Zwykle jest schowany w innej figurze — najczęściej w trapezie równoramiennym, w którym trzeba najpierw samemu dorysować wysokość, żeby ten trójkąt w ogóle zobaczyć. Dlatego oprócz samego twierdzenia opłaca się znać dwa gotowe układy boków, trzy-cztery-pięć i sześć-osiem-dziesięć, oraz przekątną kwadratu; wtedy rachunki schodzą do kilku sekund. Z naszej praktyki wynika, że mniej więcej siedmiu na dziesięciu uczniów musi to raz zobaczyć. Pytamy wtedy, czy widzą tu jakiś trójkąt, potem czego brakuje, żeby faktycznie nim był, a na końcu co mogą powiedzieć o jego kątach — po takiej serii pytań zapamiętują to na dobre.

O co chodzi z tym Pitagorasem?

To twierdzenie działa tylko w trójkącie prostokątnym. Jeśli masz kąt prosty, to suma kwadratów przyprostokątnych ( $a, b$ ) jest równa kwadratowi przeciwprostokątnej ( $c$ ).

Wzór, który musisz znać

$a, b$ – boki przy kącie prostym (krótsze)

$c$ – bok naprzeciwko kąta prostego (najdłuższy)

a^2 + b^2 = c^2

Trójkąt Egipski (3, 4, 5): Zapamiętaj ten układ! Jeśli przyprostokątne mają $3$ i $4$ , to przeciwprostokątna zawsze ma $5$ . To oszczędza mnóstwo czasu na egzaminie! Inny częsty układ to $6, 8, 10$ .

Pułapka Egzaminacyjna: Trapez

Na egzaminie rzadko dają "goły" trójkąt. Zazwyczaj trójkąt prostokątny jest ukryty w innej figurze, najczęściej w trapezie. Twoim zadaniem jest dorysować wysokość.

Zadanie

Oblicz obwód trapezu równoramiennego, którego podstawy mają długość

10

cm i

4

cm, a wysokość wynosi

4

cm.

(To klasyczne zadanie za 3 punkty)

💡 Pokaż rozwiązanie krok po kroku▼

1
Krok 1: Rysunek i "odcięcie" trójkątów
Wyobraź sobie trapez. Prowadzimy dwie wysokości z górnych wierzchołków na dolną podstawę.
Środkowa część dolnej podstawy jest taka sama jak górna podstawa ( $4$ cm).
Zostają nam dwa małe odcinki po bokach (nazwijmy je $x$ ).
2
Krok 2: Obliczamy podstawę trójkąta (x)
Skoro cały dół ma $10$ , a środek $4$ , to na dwa boki zostaje:
$10 - 4 = 6$ cm
Trapez jest równoramienny, więc te odcinki są równe. Dzielimy na 2:
$x = 6 : 2 = 3$ cm
3
Krok 3: Pitagoras w akcji
Teraz patrzymy na mały trójkąt prostokątny po boku.
- Przyprostokątna 1 (podstawa trójkąta): $3$
- Przyprostokątna 2 (wysokość trapezu): $4$
- Przeciwprostokątna (ramię trapezu $c$ ): $?$
Liczymy z twierdzenia (lub pamiętamy trójkąt egipski!):
$3^2 + 4^2 = c^2$
$9 + 16 = c^2$
$25 = c^2$
$c = \sqrt{25} = 5$
Ramię trapezu ma długość $5$ cm.
4
Krok 4: Obwód (Finał)
Dodajemy wszystkie boki zewnętrzne trapezu:
- Podstawa dolna: $10$
- Podstawa górna: $4$
- Ramię lewe: $5$
- Ramię prawe: $5$
Odpowiedź $Obw = 10 + 4 + 5 + 5 = 24$ cm

Trójki pitagorejskie — rachunek, którego nie musisz robić

Autorzy zadań rzadko dobierają liczby przypadkowo. Jeśli w zadaniu widzisz boki 3 i 4, odpowiedzią prawie na pewno jest 5. Warto znać na pamięć cztery zestawy — oszczędzają liczenie pierwiastka i od razu mówią, czy jesteś na dobrym tropie.

3, 4, 5

•

5, 12, 13

•

8, 15, 17

•

7, 24, 25

Każda wielokrotność takiej trójki też jest trójką pitagorejską: 6, 8, 10 albo 9, 12, 15 albo 30, 40, 50. Jeśli w zadaniu pojawiają się boki 6 i 8, przeciwprostokątna to 10 — bez żadnego rachunku.

Uwaga na to, czego szukasz. Największa liczba w trójce to zawsze przeciwprostokątna. Jeśli zadanie podaje boki 5 i 13, to nie szukasz sumy — 13 jest już przeciwprostokątną, a brakujący bok to 12. Mylenie tych dwóch sytuacji to najczęstszy błąd w całym dziale: zamiast dodawać kwadraty, trzeba je odjąć.

Dwa trójkąty, które trzeba znać na pamięć

Te dwa kształty wracają na egzaminie co roku — w kwadracie, w trójkącie równobocznym, w trapezie i w sześcianie. Znajomość zależności między ich bokami zamienia całe zadanie w jedno mnożenie.

Połowa kwadratu (45°, 45°, 90°)

Przyprostokątne są równe:

a

a

Przeciwprostokątna:

a\sqrt{2}

Stąd przekątna kwadratu o boku

a

wynosi

a\sqrt{2}

Połowa trójkąta równobocznego (30°, 60°, 90°)

Krótsza przyprostokątna:

\frac{a}{2}

Dłuższa:

\frac{a\sqrt{3}}{2}

, przeciwprostokątna:

a

Stąd wysokość trójkąta równobocznego o boku

a

wynosi

\frac{a\sqrt{3}}{2}

Skąd to wiedzieć, gdy zapomnisz wzoru. Oba wynikają wprost z Pitagorasa. Dla kwadratu: $a^2 + a^2 = d^2$ , czyli $d = a\sqrt{2}$ . Dla trójkąta równobocznego wysokość dzieli podstawę na połowy, więc $\left(\frac{a}{2}\right)^2 + h^2 = a^2$ . Wyprowadzenie zajmuje trzydzieści sekund i jest pewniejsze niż pamięć pod presją.

Gdzie ukrywa się Pitagoras

Na egzaminie rzadko pada słowo „Pitagoras". Zamiast tego pojawia się sytuacja, w której trzeba go rozpoznać samemu. Oto miejsca, w których warto go szukać w pierwszej kolejności.

Drabina oparta o ścianę, latawiec na sznurku, przekątna ekranu telewizora. Klasyczne opakowania — w każdym z nich kąt prosty jest ukryty w słowie „pionowo", „prostopadle" albo w samym rysunku.
Przekątna prostokąta dzieli go na dwa trójkąty prostokątne. Dla boków $a$ i $b$ : $d = \sqrt{a^2 + b^2}$ .
Przekątna prostopadłościanu wymaga Pitagorasa dwa razy: najpierw przekątna podstawy, potem trójkąt z tą przekątną i wysokością. Wychodzi $d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$ . W sześcianie o krawędzi $a$ daje to $a\sqrt{3}$ .
Ramię trapezu równoramiennego — spuszczasz wysokości z górnych wierzchołków i dostajesz dwa identyczne trójkąty prostokątne po bokach.
Odległość dwóch punktów w układzie współrzędnych to po prostu przeciwprostokątna trójkąta o przyprostokątnych równych różnicom współrzędnych.
Cięciwa i promień okręgu. Odcinek ze środka okręgu prostopadły do cięciwy dzieli ją na połowy i tworzy trójkąt prostokątny z promieniem.

Zawsze zaczynaj od rysunku z opisanymi długościami. Zaznacz kąt prosty, podpisz to, co znasz, i postaw znak zapytania przy szukanej. W dziewięciu przypadkach na dziesięć na rysunku widać już, które dwa boki dodać, a które odjąć — i wtedy nie ma jak pomylić przeciwprostokątnej z przyprostokątną.

Zadania na rozgrzewkę

Czy to trójkąt prostokątny?

Sprawdź boki: $6, 8, 9$

6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100

9^2 = 81

NIE ( $100 \neq 81$ )

Przekątna kwadratu

Wzór na przekątną $d = a\sqrt{2}$

Bok $a=5$

Przekątna to po prostu:

5\sqrt{2}

Przeczytaj też

Pewniaki na egzaminie ósmoklasisty

Zagadnienia, które wracają co roku — z listą zadań do przećwiczenia przed egzaminem.