Na ósmoklasiście rzadko dostaniesz gotowy trójkąt prostokątny. Zwykle jest schowany w innej figurze — najczęściej w trapezie równoramiennym, w którym trzeba najpierw samemu dorysować wysokość, żeby ten trójkąt w ogóle zobaczyć. Dlatego oprócz samego twierdzenia opłaca się znać dwa gotowe układy boków, trzy-cztery-pięć i sześć-osiem-dziesięć, oraz przekątną kwadratu; wtedy rachunki schodzą do kilku sekund. Z naszej praktyki wynika, że mniej więcej siedmiu na dziesięciu uczniów musi to raz zobaczyć. Pytamy wtedy, czy widzą tu jakiś trójkąt, potem czego brakuje, żeby faktycznie nim był, a na końcu co mogą powiedzieć o jego kątach — po takiej serii pytań zapamiętują to na dobre.

O co chodzi z tym Pitagorasem?

To twierdzenie działa tylko w trójkącie prostokątnym. Jeśli masz kąt prosty, to suma kwadratów przyprostokątnych ( $a, b$ ) jest równa kwadratowi przeciwprostokątnej ( $c$ ).

Wzór, który musisz znać

$a, b$ – boki przy kącie prostym (krótsze)

$c$ – bok naprzeciwko kąta prostego (najdłuższy)

a^2 + b^2 = c^2

Trójkąt Egipski (3, 4, 5): Zapamiętaj ten układ! Jeśli przyprostokątne mają $3$ i $4$ , to przeciwprostokątna zawsze ma $5$ . To oszczędza mnóstwo czasu na egzaminie! Inny częsty układ to $6, 8, 10$ .

Pułapka Egzaminacyjna: Trapez

Na egzaminie rzadko dają "goły" trójkąt. Zazwyczaj trójkąt prostokątny jest ukryty w innej figurze, najczęściej w trapezie. Twoim zadaniem jest dorysować wysokość.

Zadanie

Oblicz obwód trapezu równoramiennego, którego podstawy mają długość

10

cm i

4

cm, a wysokość wynosi

4

cm.

(To klasyczne zadanie za 3 punkty)

💡 Pokaż rozwiązanie krok po kroku▼

1
Krok 1: Rysunek i "odcięcie" trójkątów
Wyobraź sobie trapez. Prowadzimy dwie wysokości z górnych wierzchołków na dolną podstawę.
Środkowa część dolnej podstawy jest taka sama jak górna podstawa ( $4$ cm).
Zostają nam dwa małe odcinki po bokach (nazwijmy je $x$ ).
2
Krok 2: Obliczamy podstawę trójkąta (x)
Skoro cały dół ma $10$ , a środek $4$ , to na dwa boki zostaje:
$10 - 4 = 6$ cm
Trapez jest równoramienny, więc te odcinki są równe. Dzielimy na 2:
$x = 6 : 2 = 3$ cm
3
Krok 3: Pitagoras w akcji
Teraz patrzymy na mały trójkąt prostokątny po boku.
- Przyprostokątna 1 (podstawa trójkąta): $3$
- Przyprostokątna 2 (wysokość trapezu): $4$
- Przeciwprostokątna (ramię trapezu $c$ ): $?$
Liczymy z twierdzenia (lub pamiętamy trójkąt egipski!):
$3^2 + 4^2 = c^2$
$9 + 16 = c^2$
$25 = c^2$
$c = \sqrt{25} = 5$
Ramię trapezu ma długość $5$ cm.
4
Krok 4: Obwód (Finał)
Dodajemy wszystkie boki zewnętrzne trapezu:
- Podstawa dolna: $10$
- Podstawa górna: $4$
- Ramię lewe: $5$
- Ramię prawe: $5$
Odpowiedź $Obw = 10 + 4 + 5 + 5 = 24$ cm

Zadania na rozgrzewkę

Czy to trójkąt prostokątny?

Sprawdź boki: $6, 8, 9$

6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100

9^2 = 81

NIE ( $100 \neq 81$ )

Przekątna kwadratu

Wzór na przekątną $d = a\sqrt{2}$

Bok $a=5$

Przekątna to po prostu:

5\sqrt{2}

Przeczytaj też

Pewniaki na egzaminie ósmoklasisty

Zagadnienia, które wracają co roku — z listą zadań do przećwiczenia przed egzaminem.

Twierdzenie Pitagorasa

O co chodzi z tym Pitagorasem?

Wzór, który musisz znać

Pułapka Egzaminacyjna: Trapez

Zadanie

Zadania na rozgrzewkę

Czy to trójkąt prostokątny?

Przekątna kwadratu

Potrzebujesz kogoś, kto to wytłumaczy?

Test: Geometria płaska 🧠

Nadal czujesz się niepewnie?