Przejdź do treści
Poziom Rozszerzony

Liczby Rzeczywiste i Logarytmy

Przygotuj kartkę i długopis. Masz przed sobą 10 pytania wymagających głębszego zastanowienia.

Pytanie 1 / 10Programowanie
Wiadomo, że log⁡34=a\log_3 4 = a oraz log⁡35=b\log_3 5 = b. Wartość log⁡410\log_4 10 jest równa:
▸ Wszystkie 10 pytań z wyjaśnieniamiRozwiń, jeśli wolisz przejrzeć zestaw bez rozwiązywania testu.

Dowody algebraiczne, potężne grupowanie, zmiana podstawy i zaawansowane logarytmy.

1.Wiadomo, że log⁡34=a\log_3 4 = a oraz log⁡35=b\log_3 5 = b. Wartość log⁡410\log_4 10 jest równa:

  • A.a+b2a\frac{a+b}{2a}
  • B.a+2b2a\frac{a+2b}{2a}— poprawna
  • C.a+2ba\frac{a+2b}{a}
  • D.2a+ba\frac{2a+b}{a}
Dlaczego: log⁡410=log⁡310log⁡34=log⁡3(2⋅5)log⁡34\log_4 10 = \frac{\log_3 10}{\log_3 4} = \frac{\log_3 (2 \cdot 5)}{\log_3 4}. Wiemy, że log⁡34=a  ⟹  2log⁡32=a  ⟹  log⁡32=a2\log_3 4 = a \implies 2\log_3 2 = a \implies \log_3 2 = \frac{a}{2}. Zatem log⁡32+log⁡35a=a2+ba=a+2b2a\frac{\log_3 2 + \log_3 5}{a} = \frac{\frac{a}{2} + b}{a} = \frac{a+2b}{2a}.

2.Dla każdej liczby rzeczywistej x>0x > 0 wyrażenie log⁡x+log⁡2x+log⁡4x\log x + \log 2x + \log 4x jest równe:

  • A.log⁡7x\log 7x
  • B.log⁡8x3\log 8x^3— poprawna
  • C.3log⁡2x3\log 2x
  • D.log⁡8x\log 8x
Dlaczego: Suma logarytmów o tej samej podstawie to logarytm iloczynu: log⁡(x⋅2x⋅4x)=log⁡(8x3)\log(x \cdot 2x \cdot 4x) = \log(8x^3).

3.Wartość wyrażenia 25log⁡5225^{\log_5 2} wynosi:

  • A.22
  • B.44— poprawna
  • C.55
  • D.1010
Dlaczego: 25log⁡52=(52)log⁡52=52log⁡52=5log⁡522=5log⁡54=425^{\log_5 2} = (5^2)^{\log_5 2} = 5^{2\log_5 2} = 5^{\log_5 2^2} = 5^{\log_5 4} = 4.

4.Liczba log⁡39\log_{\sqrt{3}} 9 jest równa:

  • A.22
  • B.44— poprawna
  • C.1/21/2
  • D.1/41/4
Dlaczego: (3)x=9  ⟹  (31/2)x=32  ⟹  12x=2  ⟹  x=4(\sqrt{3})^x = 9 \implies (3^{1/2})^x = 3^2 \implies \frac{1}{2}x = 2 \implies x = 4.

5.Ile wynosi log⁡2(log⁡216)\log_2(\log_2 16)?

  • A.11
  • B.22— poprawna
  • C.44
  • D.88
Dlaczego: log⁡216=4\log_2 16 = 4. Zatem log⁡24=2\log_2 4 = 2.

6.Jeśli a=log⁡27a = \log_2 7, to log⁡256\log_2 56 wynosi:

  • A.8a8a
  • B.a+8a+8
  • C.a+3a+3— poprawna
  • D.3a3a
Dlaczego: log⁡256=log⁡2(8⋅7)=log⁡28+log⁡27=3+a\log_2 56 = \log_2(8 \cdot 7) = \log_2 8 + \log_2 7 = 3 + a.

7.Wyrażenie 1log⁡210+1log⁡510\frac{1}{\log_2 10} + \frac{1}{\log_5 10} jest równe:

  • A.11— poprawna
  • B.log⁡710\log_7 10
  • C.1010
  • D.log⁡107\log_{10} 7
Dlaczego: Korzystamy ze wzoru 1log⁡ab=log⁡ba\frac{1}{\log_a b} = \log_b a. Mamy log⁡102+log⁡105=log⁡10(2⋅5)=log⁡1010=1\log_{10} 2 + \log_{10} 5 = \log_{10}(2 \cdot 5) = \log_{10} 10 = 1.

8.Która z liczb jest największa?

  • A.log⁡25\log_2 5— poprawna
  • B.log⁡35\log_3 5
  • C.log⁡45\log_4 5
  • D.log⁡55\log_5 5
Dlaczego: Przy tej samej liczbie logarytmowanej, logarytm o mniejszej podstawie (większej od 1) ma większą wartość.

9.Liczba 7−43\sqrt{7-4\sqrt{3}} jest równa:

  • A.2−32-\sqrt{3}— poprawna
  • B.3−2\sqrt{3}-2
  • C.2+32+\sqrt{3}
  • D.7−237-2\sqrt{3}
Dlaczego: 7−43=4−43+3=(2−3)27-4\sqrt{3} = 4 - 4\sqrt{3} + 3 = (2-\sqrt{3})^2. Pierwiastek z kwadratu to wartość bezwzględna, a ponieważ 2>32 > \sqrt{3}, wynik to 2−32-\sqrt{3}.

10.Wartość wyrażenia log⁡3127\log_3 \frac{1}{27} wynosi:

  • A.33
  • B.−3-3— poprawna
  • C.1/31/3
  • D.−1/3-1/3
Dlaczego: 3−3=1273^{-3} = \frac{1}{27}.

Dlaczego ten quiz jest kluczowy?

Na poziomie rozszerzonym nie wystarczy znać wzory. Musisz rozumieć powiązania między działami. Ten quiz z tematu Liczby Rzeczywiste i Logarytmy został zaprojektowany, aby wyłapać Twoje luki w dowodzeniu i analizie.

  • → Zgodność z nową podstawą programową 2027
  • → Zadania typu "wykaż, że" i zadania z parametrem

Wskazówka Maturalna:

Pamiętaj, że na rozszerzeniu liczy się zapis. Choć to quiz ABCD, staraj się rozwiązywać każde zadanie tak, jakby było zadaniem otwartym w arkuszu CKE. To najlepszy trening przed "prawdziwą" maturą.

To było za proste?

Sprawdź kolejny dział lub wróć do teorii.

Następny Quiz →
Wolisz zadania otwarte? Zobacz Pewniaki Maturalne →