Wyrażenia algebraiczne

Wstęp: Fundament każdego maturalnego zadania

Dział Wyrażenia algebraiczne to narzędziownia całej matematyki. Niezależnie od tego, czy rozwiązujesz równania kwadratowe, badasz własności funkcji, czy wyznaczasz długości w geometrii analitycznej – wszędzie musisz biegle operować nawiasami, potęgami i literkami. Arkusz maturalny bez wyrażeń algebraicznych po prostu nie istnieje. W tym dziale nauczysz się skracać to, co długie, i wyznaczać dziedziny z tego, co ułamkowe.

📋 Spis treści

Operacje na literach

1 Wzory Skróconego Mnożenia (Święta Trójca)
2 Wielomiany: Dodawanie i Mnożenie
3 Wyłączanie czynnika przed nawias

Ułamki i Wzory

4 Wyrażenia Wymierne i ich Dziedzina
5 Przekształcanie Wzorów (Fizyka i Geometria)

Wzory Skróconego Mnożenia

To tzw. "święta trójca" maturalna. Te wzory masz podane w tablicach CKE, ale musisz umieć je zauważać na pierwszy rzut oka. Używasz ich non-stop: przy usuwaniu niewymierności z mianownika, liczeniu wierzchołka paraboli i skracaniu ułamków.

⚠️ BŁĄD KARDYNALNY

Pamiętaj, że $(a+b)^2$ to NIGDY NIE JEST $a^2 + b^2$ . Zjadasz wtedy środkowy wyraz mnożenia! Ten błąd natychmiastowo zeruje punkty w zadaniach otwartych.

Kwadrat sumy

(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

Kwadrat różnicy

(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2

Różnica kwadratów

a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)

Zastosowanie w praktyce:

Rozwijanie:

(2x + 3)^2 = (2x)^2 + 2 \cdot (2x) \cdot 3 + 3^2 = 4x^2 + 12x + 9

Zwijanie (Różnica):

(x - 5)(x + 5) = x^2 - 5^2 = x^2 - 25

Wielomiany: Dodawanie i Mnożenie

Wielomian to po prostu ciąg dodawanych lub odejmowanych liter w różnych potęgach (np. $W(x) = 3x^3 - 2x^2 + x - 5$ ). Na maturze podstawowej najczęściej musisz je do siebie dodać, odjąć lub pomnożyć, pamiętając o żelaznej zasadzie "redukcji wyrazów podobnych" (dodajemy iksy do iksów, kwadraty do kwadratów).

Dodawanie / Odejmowanie

Gdy dodajesz lub odejmujesz wielomiany, po prostu zdejmujesz nawiasy. Pamiętaj tylko o pułapce ze znakiem minusa, który odwraca WSZYSTKIE znaki w drugim wielomianie!

W(x) - P(x) = (2x^2 + 5x) - (x^2 - 3x)

= 2x^2 + 5x - x^2 + 3x

= x^2 + 8x

Mnożenie (Każdy z każdym)

Mnożąc dwa nawiasy, wykonujesz mnożenie "każdy z każdym". Przy mnożeniu liter dodajesz ich potęgi (np.

x^2 \cdot x = x^3

(x + 2)(x^2 - 3x) =

= x^3 - 3x^2 + 2x^2 - 6x

= x^3 - x^2 - 6x

Stopień wielomianu

CKE uwielbia pytać o stopień.

Stopień wielomianu to po prostu najwyższa potęga przy iksie, jaka w nim występuje (po redukcji). W wielomianie $W(x) = 5x^4 - x^2 + 7$ stopień wynosi 4.

Ważne: Gdy mnożysz wielomiany (np. drugiego i trzeciego stopnia), najwyższe potęgi się sumują ( $x^2 \cdot x^3 = x^5$ ), więc wynik ma stopień 5.

Wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias

To absolutnie kluczowa umiejętność, używana jako pierwszy krok do rozkładania wielomianów na postać iloczynową (np. w celu znalezienia miejsc zerowych lub skrócenia ułamka). Szukasz najwyższej potęgi litery i największej liczby, przez którą dzieli się absolutnie każdy element wyrażenia, a następnie "wyrzucasz" je przed nawias.

Krok po kroku: $4x^3 - 6x^2$

Patrzymy na liczby (4 i 6). Obie dzielą się przez $2$ .
Patrzymy na litery ( $x^3$ i $x^2$ ). Bierzemy najniższą występującą potęgę: $x^2$ .
Naszym wspólnym czynnikiem jest $2x^2$ .

2x^2(2x - 3)

Zastosowanie w równaniach

Dzięki temu procesowi łatwo rozwiązujemy równania wyższych stopni. Jeśli $x^3 - 5x^2 = 0$ , wyłączamy $x^2$ :

x^2(x - 5) = 0

Stąd natychmiast widać rozwiązania: $x = 0$ lub $x = 5$ .

Wyrażenia Wymierne i ich Dziedzina

Wyrażenie wymierne to po prostu potężny ułamek, który w mianowniku (na dole) posiada literki (niewiadomą). Ten fakt rodzi jedną, absolutnie krytyczną zasadę matematyczną: Nie wolno dzielić przez zero!

Wyznaczanie Dziedziny (Krok 1 każdego zadania)

Zanim w ogóle zaczniesz skracać czy mnożyć ułamki, musisz ustalić Dziedzinę. Bierzemy cały dół ułamka i przyrównujemy go do zera, przekreślając znak.

Przykład:

\frac{x+5}{x^2 - 4}

Rozwiązanie warunku:

x^2 - 4 \ne 0

(x-2)(x+2) \ne 0

x \ne 2 \quad \text{i} \quad x \ne -2

Dziedzina:

D = \mathbb{R} \setminus \{-2, 2\}

✂️

Skracanie Ułamków

Skracać możemy TYLKO przez mnożenie (całe, złączone nawiasy). Nie wolno skracać pojedynczych iksów, jeśli obok stoi plus lub minus!

\frac{x^2 - 9}{x^2 - 3x} = \frac{(x-3)(x+3)}{x(x-3)} = \frac{x+3}{x}

Dopiero po rozłożeniu na czynniki zauważyliśmy identyczny nawias

(x-3)

u góry i u dołu, i mogliśmy go usunąć.

Przekształcanie Wzorów

Zadanie, za którym maturzyści nie przepadają. Dostajesz gotowy wzór (np. fizyczny) i musisz "wyciągnąć" z niego konkretną literkę na sam początek równania. Traktujesz tę szukaną literkę jako niewiadomą x, a wszystkie inne litery traktujesz tak, jakby były zwykłymi, bezwartościowymi liczbami.

Case Study: Pole trapezu

Zadanie: Wyznacz z podanego wzoru długość górnej podstawy $a$ .

1. Wyjściowy wzór:

P = \frac{(a+b)\cdot h}{2}

Pozbywamy się ułamka (mnożymy obustronnie przez 2):

2P = (a+b)\cdot h

Szukana ukryta jest w nawiasie, izolujemy nawias (dzielimy obustronnie przez h):

\frac{2P}{h} = a + b

Odejmujemy b (wynik końcowy):

a = \frac{2P}{h} - b

Teoria opanowana do perfekcji?

To był wyczerpujący materiał, ale dzięki temu bez mrugnięcia okiem poradzisz sobie z trudniejszymi równaniami, które czekają w kolejnym dziale. Sprawdźmy, jak zgrabnie skracasz ułamki.

Uruchom Quiz z Algebry 🚀

Teoria opanowana? Czas na praktykę!

Baza Quizów Maturalnych

Lista Pewniaków CKE