Funkcje i równania

Wstęp: Królowa Matury

Dział Funkcje i równania to prawdziwe serce matury podstawowej. Spotkasz je w zadaniach zamkniętych, otwartych, optymalizacyjnych i tekstowych. Funkcje to nic innego jak maszyny, do których wrzucasz jedną liczbę (x), a one wypluwają inną (y). Jeśli dobrze zrozumiesz, jak czytać wykresy i po co nam słynna "Delta", zdobycie co najmniej 30-40% na maturze stanie się formalnością.

📋 Spis treści

Podstawy i Wykresy

1 Odczytywanie własności i Przesunięcia
2 Równania, Nierówności i Układy Równań

Kluczowe Funkcje

3 Funkcja Liniowa (Prosta)
4 Funkcja Kwadratowa i Delta
5 Wykładnicza, Logarytmiczna i Hiperbola

Odczytywanie własności z wykresu i Przesunięcia

Często na maturze dostajesz gotowy, "pofalowany" wykres i musisz odczytać z niego dane. Zapamiętaj prostą zasadę: wszystko, co dotyczy Dziedziny, argumentów i słowa "dla jakich", czytamy z osi poziomej X (od lewej do prawej). Wszystko, co dotyczy Wartości (najmniejsza, największa), czytamy z osi pionowej Y (z dołu do góry).

Kluczowe pojęcia

Dziedzina (D): Zbiór wszystkich x. (Płaszczyzna lewo-prawo).
Zbiór wartości (ZW): Zbiór wszystkich y. (Płaszczyzna dół-góra).
Miejsca zerowe: Punkty, w których wykres przecina poziomą oś X (wtedy $y=0$ ).

Przesunięcia wykresu

f(x-p) + q

CKE uwielbia przesuwać wykresy. Mając funkcję

f(x)

$f(x) + 3$ to przesunięcie całego wykresu o 3 w górę.
$f(x - 2)$ to przesunięcie o 2 w prawo (uwaga na zmianę znaku w nawiasie!).
$f(x + 4) - 1$ to ruch o 4 w lewo i 1 w dół.

Równania, Nierówności i Układy Równań

Podstawa to zasada: "iksy na lewo, liczby na prawo". Przy przenoszeniu na drugą stronę znaku równości, zawsze zmieniasz znak na przeciwny.

Rozwiązywanie nierówności:

Wyjściowa nierówność:

3x - 5 \ge 5x - 1

Przenosimy (zmieniamy znaki):

3x - 5x \ge -1 + 5

Redukujemy:

-2x \ge 4

⚠️ UWAGA: Zmiana znaku (Dzioba)!

Kiedy w ostatnim kroku dzielisz (lub mnożysz) nierówność przez liczbę ujemną, musisz odwrócić "dziób" nierówności w drugą stronę!

Dzielimy $-2x \ge 4$ przez $(-2)$ , więc otrzymujemy: $x \le -2$

Interpretacja na osi liczbowej:

Wynik $x \le -2$ oznacza wszystkie liczby mniejsze lub równe -2. Przedział zamykamy zamalowaną kropką, a linia leci w lewo aż do minus nieskończoności: $x \in (-\infty, -2\rangle$ .

Matura Podstawowa

⚖️

Układy równań liniowych

Rozwiązaniem układu dwóch równań jest punkt $(x, y)$ , w którym przecinają się dwie proste. Najbezpieczniejszą metodą maturalną jest Metoda Przeciwnych Współczynników.

2x + y = 5

3x - y = 5

// +y oraz -y same się zerują po dodaniu w słupku:

5x = 10 \implies x = 2

// Podstawiamy x=2 do pierwszego równania:

2(2) + y = 5 \implies 4 + y = 5 \implies y = 1

Funkcja Liniowa

Jej wykresem jest prosta linia. Wzór to zawsze $y = ax + b$ . Litery $a$ i $b$ mówią nam o wykresie dosłownie wszystko.

Współczynnik "a" (kierunkowy)

Określa monotoniczność funkcji (kierunek):

$a > 0$ prosta rośnie (idzie w górę)
$a < 0$ prosta maleje (spada w dół)
$a = 0$ prosta jest stała (pozioma linia)

Współczynnik "b" (wyraz wolny)

Mówi nam, w którym dokładnie miejscu wykres przecina pionową oś Y. Jeśli $b = -4$ , to prosta przetnie oś pionową w punkcie $(0, -4)$ .

Przykład wizualny: Wykres funkcji $f(x) = 2x - 4$

Zauważ: prosta rośnie (bo $a = 2$ ) i przecina oś pionową na poziomie $-4$ (bo $b = -4$ ). Jej miejsce zerowe to punkt przecięcia z poziomą osią X (w tym wypadku $x = 2$ ).

Matura Podstawowa

Funkcja Kwadratowa i Słynna Delta

Najważniejszy punkt programu na maturze. Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola. Zamiast prostej linii, mamy tu charakterystyczne "U" (ramiona w górę, gdy $a > 0$ ) lub "smutną buzię" (ramiona w dół, gdy $a < 0$ ).

Trzy postacie funkcji kwadratowej:

Postać Ogólna

Podstawa do liczenia Delty

f(x) = ax^2 + bx + c

Postać Kanoniczna

Ujawnia wierzchołek

W(p, q)

f(x) = a(x-p)^2 + q

Postać Iloczynowa

Ujawnia miejsca zerowe

x_1, x_2

(jeśli istnieją)

f(x) = a(x-x_1)(x-x_2)

Wyróżnik trójmianu (Delta)

Aby znaleźć miejsca zerowe z postaci ogólnej, liczymy Deltę:

$\Delta = b^2 - 4ac$

Δ > 0Dwa miejsca zerowe (wykres przecina oś X dwa razy). Wzory na $x_1, x_2$ znajdziesz w tablicach.
Δ = 0Jedno miejsce zerowe (wykres styka się z osią X wierzchołkiem). Wynosi ono $x_0 = \frac{-b}{2a}$ .
Δ < 0Brak miejsc zerowych (parabola "wisi" w powietrzu nad osią X lub tonie pod nią). Równanie nie ma rozwiązań!

Anatomia Paraboli: $f(x) = x^2 - 4x + 3$

Spójrz na poniższy wykres. Nasze parametry to $a=1, b=-4, c=3$ . Z Delty wyszły dwa miejsca zerowe: $x_1 = 1$ oraz $x_2 = 3$ . Wierzchołek znajduje się dokładnie pośrodku, na samym dole, w punkcie $W(2, -1)$ .

Matura Podstawowaf(x) = x² - 4x + 3

Nierówności kwadratowe (Metoda "Wężyka")

Kiedy rozwiązujesz nierówność np. $x^2 - 4x + 3 < 0$ , nie wystarczy policzyć miejsc zerowych! Musisz:

Zaznaczyć wyliczone miejsca zerowe (1 i 3) na osi X.
Narysować szkic paraboli (ramiona w górę, bo $a=1 > 0$ ).
Odczytać z rysunku, kiedy wykres jest pod osią (bo znak to < 0).

Odpowiedź to zawsze przedział: $x \in (1, 3)$ . Za sam wykres CKE daje punkty!

Inne ważne funkcje: Wykładnicza i Logarytmiczna

Na maturze często padają pytania o to, czy funkcja rośnie czy maleje. Dla funkcji wykładniczej (gdzie $x$ jest w potędze) oraz logarytmicznej zasada jest identyczna i zależy wyłącznie od podstawy (a).

Funkcja wykładnicza

y = a^x

Jej wykres zawsze leży w całości nad osią X (nigdy nie przyjmuje wartości ujemnych!). Zawsze przecina oś pionową w punkcie

(0, 1)

Jeśli podstawa $a > 1$ (np. $y = 2^x$ ) – funkcja rośnie jak rakieta.
Jeśli $0 < a < 1$ (np. $y = (\frac{1}{2})^x$ ) – funkcja opada (maleje).

Funkcja logarytmiczna

y = \log_a x

Odwrotność wykładniczej. Jej dziedziną są tylko iksy dodatnie (nie ma wykresu po lewej stronie osi Y). Zawsze przecina oś X w punkcie

(1, 0)

Jeśli podstawa $a > 1$ – funkcja rośnie powoli.
Jeśli $0 < a < 1$ – funkcja maleje.

Proporcjonalność odwrotna (Hiperbola)

Wzór $y = \frac{a}{x}$ . Gdy x rośnie, y maleje (np. im więcej robotników, tym krótszy czas pracy). Jej wykresem są dwa łuki zwane hiperbolą. Najważniejsza cecha: wykres ten nigdy nie dotyka ani osi X, ani osi Y (są to tzw. asymptoty).

Zrozumiałeś jak działają funkcje?

Pora zamienić teorię na praktykę. Jeśli potrafisz odczytywać dane z wykresu i sprawnie obliczać miejsca zerowe za pomocą Delty, zdobędziesz masę punktów na maturze. Czas na test!

Sprawdź swoją wiedzę w Quizie 🚀

Teoria opanowana? Czas na praktykę!

Baza Quizów Maturalnych

Lista Pewniaków CKE