Przejdź do treści
Matura 2026

Planimetria

Przed Tobą 10 zadań zamkniętych. Sprawdź, czy Twoja wiedza z działu Planimetria wystarczy, by zdobyć 100% punktów.

Pytanie 1 / 10Excel
Wysokość trójkąta równobocznego o boku a=6a=6 wynosi:
▸ Wszystkie 10 pytań z wyjaśnieniamiRozwiń, jeśli wolisz przejrzeć zestaw bez rozwiązywania testu.

Twierdzenie Pitagorasa, kąty w okręgu, trójkąt równoboczny i najważniejsze wzory na pola figur płaskich.

1.Wysokość trójkąta równobocznego o boku a=6a=6 wynosi:

  • A.1818
  • B.636\sqrt{3}
  • C.333\sqrt{3}— poprawna
  • D.939\sqrt{3}
Dlaczego: Korzystamy z tablicowego wzoru na wysokość: h=a32h = \frac{a\sqrt{3}}{2}. Podstawiamy a=6a=6, co daje 632=33\frac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}.

2.Kąt środkowy oparty na pewnym łuku ma 100∘100^\circ. Kąt wpisany oparty na tym samym łuku ma miarę:

  • A.100∘100^\circ
  • B.50∘50^\circ— poprawna
  • C.200∘200^\circ
  • D.25∘25^\circ
Dlaczego: Własność kątów w okręgu: kąt środkowy jest zawsze dokładnie dwa razy większy od kąta wpisanego opartego na tym samym łuku. Zatem 100∘:2=50∘100^\circ : 2 = 50^\circ.

3.Promień okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym o przeciwprostokątnej 1010 wynosi:

  • A.1010
  • B.2,52{,}5
  • C.2020
  • D.55— poprawna
Dlaczego: Środek okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym leży dokładnie w połowie przeciwprostokątnej. Promień to więc połowa z 1010, czyli 55.

4.Twierdzenie cosinusów dla trójkąta o bokach a,b,ca, b, c i kącie γ\gamma naprzeciw boku cc ma postać:

  • A.c2=a2+b2+2abcos⁡γc^2 = a^2 + b^2 + 2ab \cos \gamma
  • B.c2=a2+b2−2abcos⁡γc^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma— poprawna
  • C.c2=a2+b2c^2 = a^2 + b^2
  • D.c=a+b−2abcos⁡γc = a + b - 2ab \cos \gamma
Dlaczego: To oryginalne uogólnienie Twierdzenia Pitagorasa. Poprawny wzór z tablic matematycznych to c2=a2+b2−2abcos⁡γc^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma.

5.Trójkąt ABCABC jest podobny do trójkąta A′B′C′A'B'C' w skali k=3k = 3. Pole trójkąta ABCABC jest większe od pola drugiego trójkąta:

  • A.33 razy
  • B.66 razy
  • C.2727 razy
  • D.99 razy— poprawna
Dlaczego: Stosunek pól figur podobnych jest równy kwadratowi skali podobieństwa (k2k^2). Skoro skala to 33, to pole jest większe 32=93^2 = 9 razy.

6.Kąt wpisany w okrąg, który opiera się na średnicy tego okręgu, ma miarę:

  • A.90∘90^\circ— poprawna
  • B.180∘180^\circ
  • C.45∘45^\circ
  • D.zależną od promienia
Dlaczego: To jedna z najważniejszych własności w planimetrii. Kąt wpisany oparty na półokręgu (czyli na średnicy) jest zawsze kątem prostym, czyli ma 90∘90^\circ.

7.Pole sześciokąta foremnego o boku a=2a=2 wynosi:

  • A.12312\sqrt{3}
  • B.636\sqrt{3}— poprawna
  • C.24324\sqrt{3}
  • D.66
Dlaczego: Sześciokąt foremny składa się z 6 identycznych trójkątów równobocznych. Ich pole to 6⋅a2346 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4}. Dla a=2a=2 mamy 6⋅434=636 \cdot \frac{4\sqrt{3}}{4} = 6\sqrt{3}.

8.Długość łuku okręgu o promieniu r=6r=6 i kącie środkowym 60∘60^\circ wynosi:

  • A.4π4\pi
  • B.6π6\pi
  • C.2π2\pi— poprawna
  • D.12π12\pi
Dlaczego: Kąt 60∘60^\circ to 16\frac{1}{6} całego okręgu (360∘360^\circ). Obwód całego okręgu to L=2πr=12πL = 2\pi r = 12\pi. Bierzemy szóstą część: 12π6=2π\frac{12\pi}{6} = 2\pi.

9.Przekątna kwadratu jest o 22 dłuższa od jego boku. Długość boku wynosi:

  • A.222\sqrt{2}
  • B.44
  • C.2+1\sqrt{2} + 1
  • D.22+22\sqrt{2} + 2— poprawna
Dlaczego: Równanie: a2=a+2a\sqrt{2} = a + 2. Zatem a(2−1)=2a(\sqrt{2}-1) = 2. Usuwamy niewymierność: a=22−1⋅2+12+1=2(2+1)=22+2a = \frac{2}{\sqrt{2}-1} \cdot \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}+1} = 2(\sqrt{2}+1) = 2\sqrt{2}+2.

10.Obwód rombu o przekątnych długości 1010 i 2424 wynosi:

  • A.5252— poprawna
  • B.2626
  • C.1313
  • D.104104
Dlaczego: Przekątne w rombie tną się w połowie pod kątem prostym, tworząc trójkąty o przyprostokątnych 55 i 1212. Bok aa liczymy z Pitagorasa: a2=52+122=25+144=169a^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169, czyli a=13a = 13. Obwód to 4⋅13=524 \cdot 13 = 52.

O czym musisz pamiętać w tym dziale?

Test z działu Planimetria zawiera zadania oparte na arkuszach CKE z ubiegłych lat. Matura podstawowa często bazuje na tych samych schematach, dlatego ten quiz to idealny trening przed prawdziwym egzaminem.

  • ✓ Powtórka kluczowych definicji
  • ✓ Trening pracy z Kartą Wzorów

Strategia Maturalna:

"W zadaniach zamkniętych (ABCD) z matematyki zawsze staraj się najpierw wyeliminować dwie skrajnie niepasujące odpowiedzi. To zwiększa Twoją szansę na sukces, nawet jeśli nie jesteś pewien wyniku."

To nie koniec treningu!

Masz jeszcze chwilę? Rozwiąż kolejny test.

Dalej: Geometria analityczna →
Wolisz zadania otwarte? Zobacz Pewniaki Maturalne →