Wyrażenia algebraiczne

Wstęp: Kiedy litery wchodzą do matematyki

Wyrażenia algebraiczne potrafią na początku przerażać, bo nagle obok znanych nam cyfr pojawiają się "iksy", "igreki" czy "zetki". Prawda jest jednak taka, że litery to po prostu puste pudełka, do których w przyszłości ktoś wrzuci jakąś liczbę. Umiejętność sprawnego operowania tymi literami (dodawania ich do siebie i mnożenia) to najważniejsza umiejętność przed rozwiązywaniem trudnych zadań tekstowych. W tym dziale nauczysz się języka algebry!

📋 Spis treści

Podstawy Algebry

1 Język algebry (Tłumaczenie na matematykę)
2 Wartość liczbowa (Podstawianie liczb)

Działania na literach

3 Redukcja wyrazów podobnych
4 Mnożenie przez liczbę i pułapka minusa
5 Mnożenie nawiasu przez nawias

Język algebry (Tłumaczenie polskiego na matematykę)

CKE wymaga, byś potrafił przeczytać zdanie w języku polskim i zapisać je używając symboli matematycznych. Najważniejszą zasadą, o której musisz wiedzieć od razu, jest ukryte mnożenie. Jeśli widzisz zapis $3x$ , to oznacza on dokładnie $3 \cdot x$ . W algebrze kropkę mnożenia po prostu zjadamy z lenistwa.

Słownik pojęć obowiązkowych

Suma / Różnica

Suma to wynik dodawania, a różnica to odejmowanie.

"Suma liczb a i b"

\implies a + b

"Różnica liczb x i 5"

\implies x - 5

Iloczyn / Iloraz

Iloczyn to mnożenie, a iloraz to dzielenie (najczęściej kreska ułamkowa).

"Iloczyn liczb 3 i y"

\implies 3y

"Iloraz liczb k i 2"

\implies \frac{k}{2}

Kombinacje (Uważaj na kolejność)

Zadania E8 bardzo często łączą te pojęcia. Co przeczytasz pierwsze, jest głównym działaniem!

"Różnica kwadratów liczb a i b"

\implies a^2 - b^2

"Kwadrat sumy liczb x i y"

\implies (x + y)^2

(Najpierw suma w nawiasie, potem kwadrat całości)

Wartość liczbowa (Podstawianie liczb pod litery)

Obliczanie wartości wyrażenia to moment, w którym matematyka abstrakcyjna staje się znów zwykłą arytmetyką. Zdejmujesz "pudełko" z literką i w jego miejsce wstawiasz konkretną liczbę.

🚨

Najważniejsza zasada podstawiania!

Jeżeli w zadaniu masz podaną liczbę ujemną (np. $x = -3$ ) i musisz ją podstawić do wzoru – ZAWSZE wstawiaj ją w nawiasach! Zobacz, co się dzieje, jeśli zapomnisz o nawiasie:

Wyrażenie do obliczenia: $x^2 - 4x$ , dla $x = -3$ .

Źle (bez nawiasów): $-3^2 - 4 \cdot -3 = -9 - (-12) = -9 + 12 = 3$ ❌

Dobrze (z nawiasami): $(-3)^2 - 4 \cdot (-3) = 9 - (-12) = 9 + 12 = 21$ ✅

Przykład geometryczny

Mamy trójkąt o bokach:

a

2a + 1

oraz

b

. Zadanie prosi o wyliczenie obwodu, gdy

a = 4

b = 5

Bok pierwszy to po prostu 4.
Bok drugi: $2 \cdot 4 + 1 = 8 + 1 = 9$ .
Bok trzeci to 5.

Obwód = 4 + 9 + 5 = 18

Redukuj przed podstawieniem

Egzaminatorzy lubią dawać okropnie długie wyrażenia, np.

3x + 5y - 2x - 4y

i proszą o podstawienie trudnych liczb. Zanim zaczniesz liczyć, zawsze najpierw uprość wyrażenie!

Przed:

3x - 2x + 5y - 4y

Po redukcji:

x + y

Widzisz? Podstawienie pod

x + y

zajmie Ci 5 sekund zamiast minuty bezsensownego mnożenia wielkich liczb.

Redukcja wyrazów podobnych (Dodawanie liter)

Złota zasada algebry jest prosta jak budowa cepa: dodajemy i odejmujemy tylko jabłka do jabłek, a gruszki do gruszek. Oznacza to, że możesz dodać do siebie liczby stojące przy tej samej literce, ale nie wolno Ci absolutnie połączyć np. $3x$ z $4y$ . To zostaje jako $3x + 4y$ . Ważne: $x$ oraz $x^2$ to DWA RÓŻNE owoce!

Trening redukcji krok po kroku

Rozbite na części:

4x + 7y - 2x - 3 + y + 8

Grupowanie z podkreślaniem:

Bierzemy każdą literę razem ze znakiem, który stoi po jej lewej stronie!

Iksy: $4x - 2x = 2x$
Igreki: $+ 7y + y = 8y$ (samo 'y' to po prostu 1y)
Liczby: $-3 + 8 = 5$

Wynik końcowy:

2x + 8y + 5

Mnożenie przez nawias i pułapka minusa

Kiedy liczba stoi przyklejona do nawiasu, oznacza to mnożenie. Aby pozbyć się nawiasu, musisz pomnożyć tę liczbę przez absolutnie każdy element wewnątrz (to tak zwane prawo rozdzielności).

Standardowe mnożenie

Liczbę

3

mnożymy najpierw przez

2x

, a potem tę samą trójkę mnożymy przez

-4y

3(2x - 4y) = 6x - 12y

Mnożenie przez liczbę ujemną

Uwaga na znaki!

-2

razy

5a

daje ujemne

-10a

, ale

-2

razy

-3b

daje dodatnie

+6b

(minus razy minus!).

-2(5a - 3b) = -10a + 6b

🧨

Czysty Minus Przed Nawiasem

Egzaminatorzy CKE wprost ubóstwiają jedno działanie, na którym oblewa wielu uczniów: $-(2x - 5y + 3)$ .

Co robi ten samotny minus? Traktuj go jak $-1$ . Oznacza to, że jego jedynym celem jest zmiana znaku absolutnie KAŻDEGO wyrażenia w środku na przeciwny.

-(2x - 5y + 3) = -2x + 5y - 3

Zauważ: dodatnie $2x$ stało się ujemne, ujemne $-5y$ stało się dodatnie, a dodatnia trójka ujemna.

Mnożenie nawiasu przez nawias (Każdy z każdym)

Gdy dwa nawiasy są do siebie przyklejone (np. $(x+2)(x-3)$ ), stosujemy żelazną zasadę "każdy z każdym". Pierwszy element z pierwszego nawiasu wita się z każdym w drugim nawiasie, a potem to samo robi drugi element. Powstaną z tego zawsze cztery mnożenia.

Schemat mnożenia krok po kroku: $(x + 4)(2x - 3)$

x \cdot 2x

oraz

x \cdot (-3)

Faza 1: Bierzemy pierwsze "x" i mnożymy je po kolei przez elementy z drugiego nawiasu. Mamy: $2x^2 - 3x$ .

4 \cdot 2x

oraz

4 \cdot (-3)

Faza 2: Bierzemy czwórkę z pierwszego nawiasu i robimy to samo. Mamy: $+8x - 12$ .

2x^2 - 3x + 8x - 12

2x^2 + 5x - 12

Faza 3 (Finał): Zapisujemy to wszystko w jednej linii i dokonujemy redukcji wyrazów podobnych w środku (iksy do iksów). Gotowe!

Mnożysz nawiasy z zamkniętymi oczami?

Ten dział to fundament. Jeśli potrafisz perfekcyjnie zredukować wyrażenie i usunąć znak minusa przed nawiasem, jesteś gotowy na rozwiązanie każdego równania, jakie przygotowało dla Ciebie CKE.

Sprawdź się w Quizie z Algebry (E8) 🚀

Teoria opanowana? Czas na praktykę!

Baza Quizów Ósmoklasisty

Pewniaki Ósmoklasisty