Procenty i proporcje

Wstęp: Król zadań tekstowych i życiowej matematyki

Procenty to dział, który bez wątpienia najbardziej przyda Ci się w dorosłym życiu – od liczenia rat kredytu, przez lokaty bankowe, aż po wyprzedaże w galeriach handlowych. Na Egzaminie Ósmoklasisty CKE uwielbia tworzyć długie, życiowe zadania otwarte o zakupach czy ankietach szkolnych. W tym dziale zdemaskujemy największą pułapkę egzaminatorów (tzw. podwójną obniżkę) oraz nauczymy się uniwersalnej metody "na krzyż", która ratuje życie, gdy zapomnisz jakiegokolwiek wzoru.

📋 Spis treści

Fundamenty Procentów

1 Podstawy: Procent to po prostu ułamek
2 Trzy żelazne typy zadań procentowych

Praktyka i Proporcje

3 Zniżki, podwyżki i podwójne obniżki (Pułapka!)
4 Proporcje: Magiczna metoda "na krzyż"
5 Podział proporcjonalny (Stosunek np. 2:3)

Podstawy: Procent to po prostu ułamek

Słowo pro cent z łaciny oznacza dosłownie "na sto". Znaczek $\%$ jest zatem tylko skrótem od zapisania w mianowniku liczby 100. $7\%$ to nic innego jak $\frac{7}{100}$ lub $0{,}07$ . Biegłe zamienianie tych najpopularniejszych wartości oszczędzi Ci mnóstwo czasu na egzaminie:

100\%

1

Całość

50\%

\frac{1}{2}

Połowa

25\%

\frac{1}{4}

Ćwiartka

10\%

\frac{1}{10}

Dziesiąta część

1\%

\frac{1}{100}

Setna część

Trzy żelazne typy zadań procentowych

Każde, nawet najtrudniejsze i najdłuższe zadanie tekstowe z procentami, sprowadza się pod spodem do jednego z poniższych trzech schematów. Jeśli nauczysz się je rozpoznawać, rozwiążesz wszystko.

Typ 1

Oblicz 20% z liczby 60

Kiedy to stosujemy? Chcemy policzyć ułamek z danej wielkości.

Słowo "z" w matematyce oznacza mnożenie. Zamieniasz procent na ułamek i po prostu wymnażasz obie liczby.

\frac{20}{100} \cdot 60 = \frac{1}{5} \cdot 60 = 12

Typ 2

Jakim procentem 50 jest 15?

Kiedy to stosujemy? Oceniamy skuteczność (np. ile rzutów do kosza trafiliśmy).

Budujesz ułamek: na dole (w mianowniku) zawsze dajesz całość (do czego przyrównujesz), a na górę część. Wynik mnożysz przez $100\%$ .

\frac{15}{50} \cdot 100\% = 30\%

Typ 3

Znajdź całość, gdy 30% to 15

Kiedy to stosujemy? Wiemy, że po obniżce cena wynosi 15 zł, i szukamy starej ceny przed obniżką.

Stosujemy metodę na 1%. Dzielimy liczbę przez jej procent, by znaleźć 1%, a potem mnożymy przez 100.

1\% = 15 : 30 = 0{,}5

100\% = 0{,}5 \cdot 100 = 50

Zniżki, podwyżki i podwójne obniżki (Pułapka CKE!)

Najszybszy sposób na policzenie nowej ceny to myślenie w kategorii "ile procent zostało" lub "ile procent będę musiał zapłacić", zamiast na siłę liczyć wartość obniżki i dopiero potem ją odejmować od całości.

Szybka Obniżka

Jeśli kurtka za 200 zł jest przeceniona o 20%, to oznacza, że w kasie płacisz za nią dokładnie 80% jej starej ceny (

100\% - 20\%

Zamiast dwóch działań, robisz jedno proste mnożenie przez ułamek

0{,}8

200 \cdot 0{,}80 = 160\,\text{zł}

Szybka Podwyżka

Jeśli prąd drożeje o 15% z kwoty 300 zł, to oznacza, że Twój nowy rachunek wyniesie 115% starej ceny (

100\% + 15\%

Mnożysz całą starą kwotę przez ułamek

1{,}15

300 \cdot 1{,}15 = 345\,\text{zł}

🛍️

Uwaga na pułapkę podwójnej obniżki!

Egzamin CKE. Pojawia się zdanie: "Najpierw obniżyliśmy cenę butów o 10%, a po tygodniu znów o 10%."

Miliony uczniów dodają procenty w głowie i myślą: 10% + 10% to przecież obniżka o 20%. I zaznaczają taką odpowiedź. TO BŁĄD!

Druga obniżka liczona jest już z NOWEJ, mniejszej kwoty, więc będzie kwotowo mniejsza niż pierwsza! Jeśli buty kosztowały 100 zł:

Po pierwszej obniżce o 10% kosztują 90 zł.
Druga obniżka o 10% jest liczona z 90 zł (a 10% z 90 zł to 9 zł).
Ostateczna cena to $90 - 9 = 81\,\text{zł}$ .

Łączna obniżka z 100 zł do 81 zł wynosi 19%, a nie 20%! Zawsze wyliczaj krok po kroku.

Proporcje: Magiczna metoda "na krzyż"

W klasach 7-8 poznajesz pojęcie "proporcjonalności prostej" (im więcej kupisz jabłek, tym więcej za nie zapłacisz). Metoda na krzyż to absolutne koło ratunkowe. Jeśli w stresie zapomnisz, czy miałeś mnożyć, czy dzielić – ta metoda zawsze da Ci poprawny wynik.

Zadanie: Jeśli 15 batonów kosztuje 45 zł, to ile kosztuje 7 takich samych batonów?

Krok 1: Układamy dane

---------

45 zł

---------

x zł

Ważne: sztuki pod sztukami, złotówki pod złotówkami!

Krok 2: Rozwiązanie "na krzyż"

Mnożymy te dwie liczby, które mają parę po skosie (w tym przypadku 7 oraz 45).

Następnie wynik dzielimy przez liczbę, która została po skosie naprzeciwko naszego szukanego "x" (czyli 15).

x = \frac{7 \cdot 45}{15}

x = 21\,\text{zł}

Podział proporcjonalny (Stosunek np. 2:3)

Wymóg z podstawy programowej brzmi: "stosuje podział proporcjonalny". Zazwyczaj wygląda to tak, że musimy podzielić zysk, spadek, albo liczbę głosów w pewnym stosunku (np. Adam i Tomek podzielili się zyskiem w stosunku 2:3). Jak się za to zabrać? Wprowadzamy "kawałki" (często oznaczane jako $x$ ).

Zadanie: Podziel 500 zł w stosunku 2 : 3

Liczymy wszystkie kawałki: Skoro stosunek to 2 do 3, to Adam dostaje 2 "kawałki" tortu, a Tomek dostaje 3 "kawałki".
Łącznie mamy: $2x + 3x = 5x$ (5 kawałków).

Znajdujemy wartość jednego kawałka: Dzielimy całą pulę (500 zł) przez łączną liczbę kawałków (5).
$5x = 500 \implies x = 100\,\text{zł}$ . Jeden kawałek jest warty stówę.

Rozdajemy pieniądze: Adam miał 2 kawałki, więc dostaje $2 \cdot 100 = 200\,\text{zł}$ .
Tomek miał 3 kawałki, więc dostaje $3 \cdot 100 = 300\,\text{zł}$ . Gotowe!

Umiemy liczyć promocje i zarobki?

Zadania z procentów i proporcji to Twoja tajna broń. CKE lubi pakować je w długie opisy o lodówkach na raty czy ankietach w szkole, ale w rzeczywistości zawsze sprowadzają się do tych samych, wyćwiczonych schematów i mnożenia na krzyż.

Uruchom Quiz z Procentów (E8) 🚀

Teoria opanowana? Czas na praktykę!

Baza Quizów Ósmoklasisty

Pewniaki Ósmoklasisty