Równania i zadania tekstowe

Wstęp: Matematyczna waga szalkowa

Jeśli wyrażenia algebraiczne były nauką alfabetu, to równania są pisaniem pełnych zdań. Równanie to nic innego jak waga szalkowa, która musi być w idealnej równowadze. Znak $=$ to środek tej wagi. Twoim jedynym celem jest takie obieranie "cebuli" (przenoszenie liczb i ściąganie nawiasów), aby na samym końcu na jednej szalce został samotny "iks", a na drugiej konkretna liczba. To właśnie tutaj zarabia się najwięcej punktów na Egzaminie Ósmoklasisty w zadaniach otwartych!

📋 Spis treści

Mechanika Równań

1 Sprawdzanie rozwiązania (L = P)
2 Rozwiązywanie: Iksy na lewo, liczby na prawo
3 Równania z ułamkami (Jak się ich pozbyć?)

Zastosowania Praktyczne

4 Przekształcanie wzorów (Fizyka i Geometria)
5 Zadania tekstowe (Układanie równań z treści)

Sprawdzanie rozwiązania (Metoda L = P)

Czasami w zadaniu zamkniętym CKE pyta: "Która z podanych liczb jest rozwiązaniem równania?". Wcale nie musisz go wtedy rozwiązywać! Wystarczy podstawić podaną liczbę w miejsce $x$ osobno do lewej strony równania (L), osobno do prawej (P) i sprawdzić, czy wyjdzie ten sam wynik.

Przykład z Egzaminu

Czy liczba $x = -2$ jest rozwiązaniem równania $3x + 8 = x - 4$ ?

Lewa Strona (L)

L = 3x + 8

Podstawiamy

-2

(w nawiasie!):

L = 3 \cdot (-2) + 8

L = -6 + 8 = 2

Prawa Strona (P)

P = x - 4

Podstawiamy

-2

P = -2 - 4

P = -6

Werdykt: Skoro $L = 2$ , a $P = -6$ , to $L \neq P$ . Liczba $-2$ nie jest rozwiązaniem tego równania.

Rozwiązywanie: Iksy na lewo, liczby na prawo

Gdy musisz samodzielnie znaleźć "iksa", wykonujesz serię przekształceń. Złota, najważniejsza zasada całego tego działu brzmi: Kiedy przenosisz jakikolwiek element na drugą stronę znaku równości, ZAWSZE zmieniasz jego znak na przeciwny!

Anatomia rozwiązywania równania

1. Równanie startowe:
Mamy bałagan. Iksy i liczby są rozsypane po obu stronach. Cel: ułożyć je po dwóch stronach barykady.

5x - 3 = 2x + 9

2. Przenoszenie ze zmianą znaku:
Zabieramy $2x$ na lewo (staje się $-2x$ ). Zabieramy $-3$ na prawo (staje się $+3$ ).

5x - 2x = 9 + 3

3. Redukcja (Sprzątanie):
Wyliczamy obie strony. $5x - 2x = 3x$ . Po prawej: $9 + 3 = 12$ .

3x = 12

4. Ostatni krok (Dzielenie):
Zawsze, ale to zawsze dzielimy obie strony równania przez tę liczbę, która stoi przy samym iksie (tutaj przez 3).

x = 4

Trudne równania (Z ułamkami i nawiasami)

CKE nie da Ci na egzaminie tak prostego równania jak wyżej. Prawie na pewno wrzucą w nie ułamek z kreską dzielenia przez 2, 3 lub 4. Najlepszą rzeczą, jaką możesz zrobić, to zabić ułamek już w pierwszym kroku, aby pracować na czystych, równych liczbach.

Zabijanie ułamka

Masz równanie:

\frac{x - 2}{3} = x + 4

Przeszkadza Ci trójka w mianowniku. Aby się jej pozbyć, mnożysz całe równanie obustronnie przez 3. Ułamek po lewej znika, ale musisz pamiętać, by pomnożyć każdy element po prawej stronie!

\frac{x - 2}{3} = x + 4 \quad / \cdot 3

x - 2 = 3(x + 4)

x - 2 = 3x + 12

Dalej rozwiązujesz klasycznie: iksy na lewo, liczby na prawo.

Równania tożsamościowe i sprzeczne

Czasami iksy się zredukują do zera. Co wtedy?

Równanie tożsamościowe:
Wychodzi Ci np. $5 = 5$ albo $0 = 0$ . Jest to szczera prawda matematyczna. Oznacza to, że równanie ma nieskończenie wiele rozwiązań. Cokolwiek podstawisz pod x, będzie pasować.
Równanie sprzeczne:
Wychodzi Ci np. $2 = 7$ albo $0 = 5$ . To totalna bzdura. Oznacza to, że to równanie nie ma w ogóle rozwiązań. Taki układ nie może istnieć.

Przekształcanie wzorów (Fizyka i Geometria)

Bardzo częsty wymóg na E8: "wyznacz zadaną wielkość ze wzoru". Traktuj wtedy szukaną literkę jako swojego jedynego, ukochanego "iksa", którego musisz zostawić samego. Wszystkie inne litery w tym wzorze potraktuj tak, jakby były zwykłymi, brzydkimi liczbami (3, 5, 8), których chcesz się z tej szalki pozbyć, stosując odwrotne działania.

Wzór z fizyki na prędkość

Zadanie: Wyznacz czas $t$ ze wzoru $v = \frac{s}{t}$ .

v = \frac{s}{t}

Najpierw wyciągamy

t

z mianownika (mnożymy przez

t

v \cdot t = s

Szukamy

t

, więc przeszkadza nam

v

. Dzielimy przez

v

t = \frac{s}{v}

Wzór z geometrii (Pole Trapezu)

Zadanie: Wyznacz wysokość $h$ ze wzoru.

P = \frac{(a+b) \cdot h}{2}

Zabijamy ułamek mnożąc obustronnie przez 2:

2P = (a+b) \cdot h

Dzielimy przez cały, nienaruszony nawias

(a+b)

h = \frac{2P}{a+b}

Zadania tekstowe (Sztuka układania równań)

Najwyżej punktowane zadania na Egzaminie Ósmoklasisty wymagają, abyś przeczytał polski tekst, zamienił go na równanie, rozwiązał je, a potem sprawdził sensowność. Najważniejszy jest Krok 1: Wypisanie Danych. Kto nie rozpisze sobie z boku "kto jest kim", ten zazwyczaj przegrywa. Zawsze oznaczaj literką $x$ tę wielkość, o której wiesz w zadaniu najmniej!

Modelowe Zadanie Egzaminacyjne CKE

"W klasie VIII uczy się 28 uczniów. Dziewcząt jest o 4 więcej niż chłopców. Ilu chłopców jest w tej klasie?"

Krok 1

Ustalenie niewiadomej: O chłopcach nie wiemy absolutnie nic, więc niech chłopcy będą naszymik iksem.
Liczba chłopców = $x$
Dziewcząt jest o 4 więcej. Słowo "o więcej" to dodawanie.
Liczba dziewcząt = $x + 4$

Krok 2

Ułożenie wagi (równania): Treść zadania mówi, że w sumie wszystkich jest 28. Oznacza to, że chłopcy + dziewczęta = 28.

x + (x + 4) = 28

Krok 3

Rozwiązanie techniczne:

Opuszczamy nawias (plus nic nie zmienia): $x + x + 4 = 28$
Redukujemy iksy: $2x + 4 = 28$
Przenosimy liczbę (zmiana znaku!): $2x = 28 - 4$
$2x = 24$
Dzielimy przez 2: $x = 12$

Krok 4

Powrót do oznaczeń i odpowiedź: Nasz $x$ to liczba chłopców. Wyszło nam 12. Dziewcząt jest $x+4$ , czyli 16. Sprawdzamy: $12 + 16 = 28$ . Zgadza się idealnie z treścią zadania! Odpowiedź na pytanie: "W klasie jest 12 chłopców".

Waga szalkowa w równowadze?

Ten dział to kwintesencja "myślenia matematycznego" na egzaminie. Od układania równań nie uciekniesz – pojawią się w procentach, geometrii i fizyce. Przetestuj swoją odporność na zmianę znaków w naszym symulatorze zadań!

Rozwiąż Quiz z Równań (E8) 🚀

Teoria opanowana? Czas na praktykę!

Baza Quizów Ósmoklasisty

Pewniaki Ósmoklasisty