Układ współrzędnych

Wstęp: Matematyczna mapa skarbów

Układ współrzędnych to po prostu dwie skrzyżowane pod kątem prostym osie liczbowe, które tworzą siatkę. Dzięki nim możemy precyzyjnie określić położenie każdego punktu na płaszczyźnie, podobnie jak w grze w statki. Zadania z tego działu na Egzaminie Ósmoklasisty są bardzo powtarzalne. Zamiast uczyć się na pamięć skomplikowanych licealnych wzorów z pierwiastkami, nauczymy Cię sprytnych metod rysunkowych (np. Pitagorasa na kratkach i metody skoków), które gwarantują 100% punktów.

📋 Spis treści

Orientacja w terenie

1 Osie X i Y, ćwiartki i punkty
2 Nierówności na prostej osi liczbowej

Obliczenia na odcinkach

3 Środek odcinka i szukanie końca (Metoda skoków)
4 Długość odcinka (Pitagoras na kratkach)
5 Kolejne punkty na prostej (Metoda schodków)

Osie i punkty (Kto jest kim?)

Każdy punkt zapisujemy w nawiasie za pomocą dwóch liczb: $P = (x, y)$ . Kolejność jest absolutnie kluczowa! Najpierw podajemy pozycję na osi poziomej, a dopiero potem na pionowej. Jak to zapamiętać? Zobacz poniżej.

Oś X (Pozioma)

Nazywana oficjalnie osią odciętych. Określa ruch w prawo (liczby dodatnie) lub w lewo (liczby ujemne). Jest to ZAWSZE pierwsza liczba w nawiasie.

Oś Y (Pionowa)

Nazywana oficjalnie osią rzędnych. Określa ruch w górę (liczby dodatnie) lub w dół (liczby ujemne). Jest to ZAWSZE druga liczba w nawiasie.

Trik pamięciowy

Nigdy więcej nie pomylisz kolejności, jeśli użyjesz jednej z tych dwóch sprawdzonych metod wizualizacji.

Metoda 1 (Alfabet): Litera "X" występuje w alfabecie PRZED literą "Y". Dlatego w nawiasie $(x, y)$ pierwsza liczba to zawsze X.
Metoda 2 (Drabina): Zanim wejdziesz po drabinie w górę (czyli po osi Y), musisz najpierw do niej dojść po płaskiej ziemi (czyli po osi X). Zawsze najpierw idziemy po ziemi!

Nierówności na prostej osi liczbowej (1D)

Zanim przejdziemy do pełnej, dwuwymiarowej siatki, CKE wymaga umiejętności zaznaczania prostych nierówności na zwykłej osi liczbowej (np. $x \ge 1{,}5$ ). Kluczem są tutaj "kółka".

Rodzaje kółek na osi

Kółko otwarte (Puste w środku)

Używane dla znaków ostrych: < (mniejsze) oraz > (większe).

Oznacza to, że sama liczba brzegowa nie należy do rozwiązania.
Jeśli na obozie mogą być dzieci "starsze niż 10 lat" ( $x > 10$ ), to dziesięciolatek nie pojedzie.

Kółko zamalowane (Zapełnione)

Używane dla znaków: ≤ (mniejsze równe) oraz ≥ (większe równe).

Oznacza to, że liczba brzegowa należy do rozwiązania.
Jeśli na obozie mogą być dzieci "od 10 lat" ( $x \ge 10$ ), to dziesięciolatek jedzie z Wami.

Środek odcinka i metoda szukania końca

Środek odcinka to punkt, który leży dokładnie w połowie drogi między punktem A i B. Aby go znaleźć, nie musisz niczego rysować. Środek to po prostu średnia arytmetyczna współrzędnych x, a potem współrzędnych y.

Wzór na środek (Punkt S)

S = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right)

Przykład: Gdzie jest środek?

Dane są punkty:

A = (-2, 4)

oraz

B = (6, -2)

Liczymy średnią z "iksów": $\frac{-2 + 6}{2} = \frac{4}{2} = 2$
Liczymy średnią z "igreków": $\frac{4 + (-2)}{2} = \frac{2}{2} = 1$

Odpowiedź: Środek leży w punkcie

S = (2, 1)

Trik E8: Szukanie brakującego końca (Metoda Skoków)

Bardzo często CKE podaje początek (np. $A$ ) oraz środek ( $S$ ), i każe znaleźć drugi koniec ( $B$ ). Nie używaj do tego przekształcania wzorów (szybko pomylisz znaki!). Użyj logicznej metody skoków: To co zrobiłeś idąc od A do S, musisz zrobić jeszcze raz, idąc od S do B.

Zadanie: Masz początek

A = (1, 5)

oraz środek

S = (4, 9)

. Gdzie jest

B

Patrzymy na X: Z punktu A(1) doszliśmy do S(4). Zrobiliśmy skok o +3 w prawo.
Robimy to samo z punktu S(4): dodajemy 3 i lądujemy w X = 7.
Patrzymy na Y: Z punktu A(5) doszliśmy do S(9). Zrobiliśmy skok o +4 w górę.
Robimy to samo z punktu S(9): dodajemy 4 i lądujemy w Y = 13.

Koniec odcinka to

B = (7, 13)

. Proste, szybkie i bezbłędne!

Długość odcinka (Pitagoras na kratkach)

Na Egzaminie Ósmoklasisty rzadko używa się długiego, skomplikowanego wzoru na odległość między punktami z pierwiastkiem z liceum. CKE sprawdza, czy potrafisz narysować odcinek w układzie, domalować pod nim trójkąt prostokątny i policzyć długość przeciwprostokątnej z najzwyklejszego Twierdzenia Pitagorasa!

Metoda trójkąta (Krok po kroku)

Krok 1. Rysujemy kratki: Spod wyższego punktu B schodzimy w dół po pionowej linii siatki, a z punktu A rysujemy poziomą kreskę w prawo. Tworzy się nowy punkt C i kąt prosty. Zrobiliśmy z naszego odcinka pochylnię (przeciwprostokątną).

Krok 2. Liczymy odległości (kratki): Długość pozioma (od x=1 do x=5) to dokładnie 4 kratki (lub $5 - 1 = 4$ ).
Długość pionowa (od y=1 do y=4) to dokładnie 3 kratki (lub $4 - 1 = 3$ ).

Krok 3. Twierdzenie Pitagorasa: Szukany niebieski odcinek to nasze "c".

3^2 + 4^2 = c^2

9 + 16 = c^2

c^2 = 25 \implies c = 5

Kolejne punkty na prostej (Metoda schodków)

To podpunkt, który często zaskakuje uczniów. Mając dane dwa punkty kratowe (np. A i B), jak znaleźć punkt C, który leży idealnie na przedłużeniu tej samej prostej? Wystarczy odkryć rytm, z jakim ta prosta rośnie – to tak zwana metoda "schodków".

Logika rysowania schodów

Załóżmy, że masz punkt

A = (1, 2)

i punkt

B = (3, 5)

Jak dotarliśmy z A do B? Poszliśmy o 2 kratki w prawo (z x=1 na x=3) oraz o 3 kratki w górę (z y=2 na y=5).

Ta prosta zbudowała sobie "schodek" o wymiarach 2 w prawo i 3 w górę. Ponieważ prosta linia nigdy nie zmienia swojego nachylenia, wystarczy że zbudujesz identyczny schodek od punktu B, aby znaleźć punkt C!

Szukamy punktu C: Startujemy z $B = (3, 5)$ .
Przesuwamy X o 2 w prawo: $3 + 2 = 5$ .
Przesuwamy Y o 3 w górę: $5 + 3 = 8$ .
Kolejnym punktem na tej prostej jest $C = (5, 8)$ . A kolejnym byłoby $D = (7, 11)$ .

Odnalazłeś się na planszy?

Pamiętaj: pierwsza współrzędna to lewo/prawo (X), druga to dół/góra (Y). Zamiast wkuwać zawiłe wzory na pamięć, rysuj kratki i wyobrażaj sobie skoki i trójkąty. Nic prostszego! Zobacz, jak CKE formułuje to w zadaniach testowych.

Rozwiąż Quiz: Układ Współrzędnych (E8) 🚀

Teoria opanowana? Czas na praktykę!

Baza Quizów Ósmoklasisty

Pewniaki Ósmoklasisty