Koła, okręgi i symetrie

Wstęp: Idealne proporcje i lustrzane odbicia

Ten dział sprawdza Twoją precyzję i wyobraźnię. Czym różni się koło od okręgu? Dlaczego w wynikach pojawia się dziwny znaczek $\pi$ i czy trzeba go zamieniać na ułamek? Ile razy można złożyć kwadrat na pół, żeby rogi idealnie się pokryły? Zadania z kół i symetrii to najczęściej krótkie formy sprawdzające definicje, ale pojawiają się tu też sprytne zagadki z tzw. "symetralną". W tym dziale rozwiejemy wszelkie wątpliwości.

📋 Spis treści

Magia Okręgów

1 Koło a okrąg (Anatomia i Cięciwy)
2 Długość okręgu, Pole koła i Liczba $\pi$
3 Szukanie promienia z podanego pola

Lustra i Podziały

4 Oś symetrii i Środek symetrii
5 Symetralna odcinka i Dwusieczna kąta

Koło a okrąg (Anatomia figury)

Najprostsze porównanie, które musisz zapamiętać: Okrąg to pusta w środku obręcz (jak hula-hop). Ma tylko długość (swój obwód). Z kolei Koło to pełna, wypieczona pizza. Ma swój obwód na zewnątrz (brzegi), ale ma też pole powierzchni w środku! Zobaczmy z jakich elementów zbudowane są te figury.

Promień (r) – linia niebieska Odcinek łączący środek okręgu (S) z dowolnym punktem na jego brzegu. Jest to podstawa wszystkich wzorów.

Cięciwa – linia zielona Odcinek łączący dwa dowolne punkty leżące na brzegu okręgu. Może leżeć blisko krawędzi (wtedy jest krótka) lub bliżej środka.

Średnica (d) – linia czerwona To taka bardzo specjalna cięciwa, która przechodzi idealnie przez środek okręgu. Jest to absolutnie najdłuższa możliwa cięciwa. Składa się zawsze z dwóch promieni ( $d = 2r$ ).

Wzory: Pole koła i długość okręgu

Oba najważniejsze wzory korzystają ze stałej $\pi$ (około $3{,}14$ ). Pamiętaj o złotej zasadzie E8: Nigdy nie zamieniaj symbolu $\pi$ na liczbę 3,14, chyba że treść zadania wyraźnie i bezpośrednio Cię o to poprosi! Zazwyczaj zostawiamy ten znaczek w wyniku do samego końca jak zwykłą literkę (np. $16\pi$ ).

Długość okręgu (Obwód)

L = 2 \cdot \pi \cdot r

Wzór ten mówi, że aby obejść okrąg dookoła, potrzebujesz odległości równej dwóm promieniom pomnożonym przez "pi".

Można to też zapisać jako $L = \pi \cdot d$ (gdzie $d$ to cała średnica).

Pole koła (Powierzchnia)

P = \pi \cdot r^2

W tym wzorze dwójka uciekła do góry! Tutaj nie mnożymy promienia przez 2, lecz podnosimy promień do kwadratu.

To logiczne: pola wyrażamy w jednostkach kwadratowych (np. $\text{cm}^2$ ), więc i sam promień musiał zostać "skwadratowany".

Odwracanie wzorów (Oblicz promień z pola)

Często zamiast liczyć pole, CKE poda Ci już gotowy wynik pola i poprosi o wyznaczenie średnicy lub promienia. Tutaj kłania się umiejętność rozwiązywania prostych równań z poprzednich działów. Literka $\pi$ jest Twoim sprzymierzeńcem, bo zazwyczaj ulega skróceniu!

Przykład: Jak odzyskać promień?

"Pole pewnego koła wynosi $36\pi$ . Jaką długość ma średnica tego koła?"

Krok 1: Zapisujemy wzór na pole i przyrównujemy go do liczby z zadania.
$\pi \cdot r^2 = 36\pi$
Krok 2: Dzielimy obie strony równania przez $\pi$ . Ten symbol po prostu nam znika z obu stron!
$r^2 = 36$
Krok 3: Pierwiastkujemy. Jaka liczba podniesiona do kwadratu daje 36? Oczywiście 6.
$r = 6$
Krok 4 (Uwaga na pułapkę): Zadanie pytało o średnicę, a nie o promień! Średnica to dwa promienie.
$d = 2 \cdot 6 = 12$

Oś symetrii a Środek symetrii

W geometrii mamy dwa różne rodzaje "lustrzanych" właściwości figur. Wielu uczniów wrzuca je do jednego worka, a to wielki błąd. Oś to "zginanie kartki", a Środek to "obracanie do góry nogami".

Oś Symetrii (Lustro)

Oś symetrii to prosta (linia). Jeśli wzdłuż tej linii wyobrazisz sobie zgięcie kartki papieru na pół, to lewa strona idealnie i równo pokryje się z prawą stroną.

Kwadrat ma 4 osie symetrii (pion, poziom i dwie przekątne).
Prostokąt ma tylko 2 osie (pion i poziom). Jego przekątne NIE SĄ osiami!
Równoległobok ma 0 osi (nie da się go tak złożyć).
Koło ma nieskończenie wiele osi.

Środek Symetrii (Obrót)

Środek symetrii to punkt. Aby sprawdzić, czy figura go posiada, wyobraź sobie, że wbijasz w jej środek pinezkę i obracasz ją dokładnie o 180° (do góry nogami). Jeśli po obrocie figura wygląda w 100% tak samo – ma środek symetrii.

Kwadrat, prostokąt, romb i koło – mają środek symetrii.
Równoległobok MA środek symetrii (mimo że nie miał osi!).
Każdy Trójkąt – NIE MA (trójkąt odwrócony czubkiem w dół wygląda inaczej).

Symetralna odcinka i Dwusieczna kąta

To dwa kluczowe pojęcia, z których układane są trudniejsze zadania dowodowe lub obliczeniowe. Obie te nazwy opisują specyficzne proste linie, które przecinają nasze figury "sprawiedliwie na pół".

Dwusieczna kąta

To półprosta, która tnie dany kąt idealnie na dwie równe połowy.

Jeśli masz kąt

60^\circ

i poprowadzisz jego dwusieczną, otrzymasz dwa mniejsze kąty po

30^\circ

Ciekawostka: W rombie każda przekątna jest automatycznie dwusieczną jego kątów!

Symetralna odcinka

To prosta, która przecina odcinek idealnie w połowie oraz robi to pod kątem prostym (90°).

Super własność E8:

Każdy punkt, który leży na symetralnej odcinka, jest równo oddalony od obu jego końców.

Analiza najtrudniejszego zadania CKE

"Wierzchołek C rombu ABCD leży na symetralnych boków AB i AD. Oblicz miary kątów tego rombu."

Brzmi jak koszmar? Zobaczmy to krok po kroku:

Romb z definicji ma wszystkie boki równe. Czyli bok $AB = BC = CD = DA$ .
W zadaniu napisano, że punkt $C$ leży na symetralnej odcinka AB. Co to znaczy z naszej "Super Własności"? Że punkt C musi być tak samo odległy od punktu A, jak od punktu B!
Skoro odległość C do B to po prostu bok rombu, to odległość C do A (czyli przekątna CA) musi być taka sama jak bok rombu!
Wniosek uderza jak grom z jasnego nieba: Nasz romb to tak naprawdę dwa złączone ze sobą trójkąty równoboczne (ich boki i łącząca je przekątna są identyczne).
Trójkąt równoboczny ma wszystkie kąty równe 60°.
Odpowiedź: Kąty tego rombu to 60° (ostre) oraz 120° (rozwarte: bo 60+60). Bez ani jednego równania!

Widzisz odbicia lustrzane?

Koła i okręgi kryją w sobie matematyczne piękno. Zapamiętaj, że z symetrią wiąże się wiele darmowych punktów w pierwszej części arkusza. Czy odróżnisz już środek od osi? Sprawdź to!

Uruchom Quiz: Koła i Symetrie (E8) 🚀

Teoria opanowana? Czas na praktykę!

Baza Quizów Ósmoklasisty

Pewniaki Ósmoklasisty