Geometria przestrzenna

Wstęp: Wchodzimy w trzeci wymiar (3D)

Geometria przestrzenna, potocznie nazywana stereometrią, bada figury, które mają objętość – potrafisz nalać do nich wody, zbudować z nich wieżę lub zapakować w nie prezent. Na Egzaminie Ósmoklasisty skupiamy się obliczeniowo wyłącznie na bryłach "kanciastych" (graniastosłupach i ostrosłupach). Pamiętaj: każda, nawet najbardziej skomplikowana bryła, składa się ze znanych Ci już figur płaskich. Jeśli umiesz policzyć pole trójkąta i prostokąta, poradzisz sobie ze wszystkim!

📋 Spis treści

Poznajemy Bryły

1 Graniastosłupy, Ostrosłupy i Bryły Obrotowe
2 Krawędzie, wierzchołki i ściany (Wzory)
3 Siatki brył (Od kartonu do 3D)

Obliczenia i Wzory

4 Objętość i Pole Całkowite (V i Pc)
5 Twierdzenie Pitagorasa w 3D (Zadania otwarte)

Kto jest kim? (Graniastosłupy, Ostrosłupy i walce)

Zgodnie z wymaganiami egzaminacyjnymi, musisz umieć rozpoznawać wszystkie kształty w sytuacjach z życia codziennego. Jednak do skomplikowanych obliczeń CKE używa tylko dwóch głównych rodzin.

Graniastosłupy (Pudełka)

Posiadają zawsze dwie podstawy (równoległe do siebie – dolną i górną).
Ściany boczne (te pionowe) są prostokątami. Zwykły prostopadłościan i sześcian to też graniastosłupy!
Przykłady z życia: blok mieszkalny, pudełko na buty, namiot harcerski typu "domek", kostka do gry.

Ostrosłupy (Piramidy)

Posiadają tylko jedną podstawę na samym dole.
Ściany boczne to trójkąty, które pochylają się i spotykają w jednym, wspólnym czubku (wierzchołku) na górze.
Przykłady z życia: piramidy w Gizie, wieża kościoła, namiot typu "tipi".

Co z bryłami obrotowymi?

CKE wymaga, byś potrafił rozpoznać walec (np. puszka coli), stożek (np. rożek na lody) oraz kulę (np. piłka) na rysunkach. Nie musisz jednak znać wzorów na ich objętość czy pole! Ta wiedza wraca dopiero w szkole średniej.

Magiczne słowo: "Prawidłowy"

Kiedy w zadaniu pojawia się np. "Graniastosłup PRAWIDŁOWY Czworokątny", co to oznacza?

Słowo to oznacza, że w podstawie tej bryły znajduje się wielokąt foremny.

Prawidłowy trójkątny $\implies$ w podstawie leży trójkąt równoboczny.
Prawidłowy czworokątny $\implies$ w podstawie leży kwadrat (nie prostokąt, nie romb!).
Prawidłowy sześciokątny $\implies$ sześciokąt foremny.

Zliczanie krawędzi, wierzchołków i ścian

Częste zadanie z pierwszej strony arkusza E8: "Ile krawędzi ma ostrosłup dziewięciokątny?". Próba narysowania go w brudnopisie zajmie za dużo czasu. Zamiast tego skorzystaj z prostej matematyki. Wystarczy wiedzieć, że $n$ to liczba kątów/boków w podstawie.

Dla Graniastosłupa

Liczba krawędzi (pręcików):

3 \cdot n

Liczba wierzchołków (kropek):

2 \cdot n

Liczba ścian (łącznie z podstawami):

n + 2

Dlaczego krawędzi jest

3n

? Bo masz krawędzie na dole, takie same na górze, i tyle samo pionowych!

Dla Ostrosłupa

Liczba krawędzi (pręcików):

2 \cdot n

Liczba wierzchołków (kropek):

n + 1

Liczba ścian (łącznie z podstawą):

n + 1

Tutaj wierzchołek jest tylko

n

na dole i jeden, samotny na samej górze.

Siatki brył (Sztuka rozkładania pudełek)

Wyobraź sobie, że rozcinasz kartonowe pudełko wzdłuż krawędzi i rozkładasz na płasko na podłodze. To właśnie jest siatka bryły. CKE bada, czy potrafisz w wyobraźni "złożyć" taką siatkę z powrotem, aby ocenić, która ściana jest naprzeciwko której. Poniżej klasyczna wizualizacja sześcianu.

Od bryły 3D do płaskiej siatki 2D

Bryła 3D (Sześcian)

→

Siatka 2D (Kształt "krzyża")

Przerywane linie na siatce po prawej to miejsca zgięcia papieru. Zauważ, że z 6 kwadratów na siatce, 4 tworzą "obręcz" wokół bryły (ściany boczne), jeden to dno, a drugi to pokrywka.

Objętość i Pole Całkowite (Główne wzory)

Obliczanie parametrów bryły to z reguły schematyczny proces: osobno liczysz Pole podstawy (Pp) (np. pole trójkąta leżącego na dnie), wyznaczasz Wysokość całej bryły (H), a następnie wstawiasz do ostatecznego wzoru. Najważniejsza różnica między graniastosłupem a ostrosłupem pojawia się w objętości!

Graniastosłupy (Z dwiema podstawami)

Objętość (V)

V = P_p \cdot H

Mnożysz pole dna przez wysokość wieżowca.

Pole Całkowite (Pc)

P_c = 2 \cdot P_p + P_b

Dwa razy pole dna (bo jest dół i góra) + pole wszystkich ścian bocznych.

Ostrosłupy (W szpic)

Objętość (V)

V = \frac{1}{3} \cdot P_p \cdot H

Ponieważ zwęża się ku górze, jego objętość to zawsze DOKŁADNIE 1/3 zwykłego pudełka! Nigdy o tym ułamku nie zapominaj.

Pole Całkowite (Pc)

P_c = P_p + P_b

Tutaj jest tylko jedno dno (jedna podstawa), stąd brak dwójki.

Gotowce na E8

Prostopadłościan i Sześcian mają tak proste wzory, że możemy pominąć szukanie $P_p$ . Podstawiamy prosto długości krawędzi z rysunku.

Sześcian (bok "a"):

V = a^3

P_c = 6 \cdot a^2

(6 takich samych kwadratów)

Prostopadłościan (boki "a", "b", "c"):

V = a \cdot b \cdot c

P_c = 2ab + 2ac + 2bc

Pitagoras w 3D (Brakujące krawędzie)

To podstawa w zadaniach otwartych. CKE prawie nigdy nie poda Ci na tacy wysokości bryły ( $H$ ). Zamiast tego dają np. krawędź boczną, a Twoim zadaniem jest odnaleźć w wyobraźni (lub narysować) ukryty wewnątrz bryły trójkąt prostokątny, z którego policzysz brakujący element za pomocą Pitagorasa. Zobaczmy to na przykładzie ostrosłupa prawidłowego czworokątnego.

Wizualizacja: Gdzie chowa się kąt prosty w ostrosłupie?

W każdym ostrosłupie prawidłowym istnieje tzw. "święta trójca" tworząca trójkąt prostokątny:

Czerwona linia ( $H$ ): Wysokość głównej bryły (spada od czubka S na sam środek podstawy O). O to zazwyczaj pyta egzaminator.
Zielona linia (przerywana): Połowa długości boku podstawy. (W podstawie kwadratowej idzie od środka do krawędzi bocznej).
Niebieska pochyła linia ( $h$ ): To tzw. wysokość ściany bocznej. To ten odcinek, po którym wspinałbyś się na piramidę. Stanowi naszą przeciwprostokątną!

H^2 + (\text{zielona})^2 = h^2

Widzisz to w pełnym 3D?

Dobra orientacja przestrzenna pozwala szybciej znajdować potrzebne odcinki. Najważniejsze to zawsze domalowywać ukryty trójkąt na arkuszu egzaminacyjnym. Czas przenieść teorię w praktykę!

Rozwiąż Quiz ze Stereometrii (E8) 🚀

Teoria opanowana? Czas na praktykę!

Baza Quizów Ósmoklasisty

Pewniaki Ósmoklasisty