Potęgi i pierwiastki

Wstęp: Sztuka oswajania wielkich i małych liczb

W matematyce, fizyce i chemii często spotykamy się z liczbami, które są albo niewyobrażalnie wielkie (jak masa planet), albo mikroskopijnie małe (jak rozmiar bakterii). Zamiast zapisywać kartki pełne zer, matematycy wymyślili potęgowanie. Z kolei pierwiastkowanie to proces odwrotny – pozwala nam "cofnąć się w czasie" i dowiedzieć się, co zostało pomnożone przez samo siebie, aby dać dany wynik. Na Egzaminie Ósmoklasisty ten dział to prawdziwa kopalnia punktów w zadaniach zamkniętych (Prawda/Fałsz) i tzw. zadaniach na dobieranie.

📋 Spis treści

Świat Potęg

1 Anatomia potęgi i pułapki znaków
2 Działania na potęgach (Wzory CKE)
3 Notacja wykładnicza (Pewniak E8)

Świat Pierwiastków

4 Pierwiastki 2-go i 3-go stopnia
5 Działania pod wspólnym dachem
6 Wyłączanie i włączanie czynnika
7 Szacowanie niewymiernych pierwiastków

Anatomia potęgi i pułapki znaków

Potęgowanie to po prostu skrócony zapis wielokrotnego mnożenia. Zamiast pisać mozolnie $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$ , zapisujemy to jako $2^4$ . Liczba na dole (w naszym przykładzie 2) to podstawa potęgi – mówi nam, CO będziemy mnożyć. Mała liczba na górze (4) to wykładnik – mówi nam, ILE RAZY ta podstawa wystąpi w mnożeniu.

Trzy złote zasady początkowe

Potęga zerowa:
Każda liczba (różna od zera) podniesiona do potęgi zerowej daje zawsze 1. Zawsze! Nawet jeśli podstawa jest wielka lub ujemna.
$5^0 = 1$ oraz $1000^0 = 1$
Potęga pierwsza:
Podniesienie do potęgi pierwszej nic nie zmienia. Liczba pozostaje sobą.

$7^1 = 7$
Jedynka do potęgi:
Jedynka podniesiona do jakiejkolwiek potęgi to nadal jedynka. Możesz ją mnożyć przez siebie w nieskończoność.

$1^{50} = 1$

🚨

Zagrożenie: Kiedy minus znika, a kiedy zostaje?

Na egzaminach CKE nagminnie sprawdza się różnicę między zapisem w nawiasie i bez nawiasu. Jeśli popełnisz tu błąd, cały wynik zadania zmieni znak i stanie się błędny. CKE układa odpowiedzi A, B, C, D tak, aby złapać Cię właśnie na tym!

Z nawiasem:

(-3)^2

Wykładnik (potęga) dotyczy WSZYSTKIEGO w nawiasie, łącznie ze znakiem minus.

(-3) \cdot (-3) = 9

Dwa minusy dają plus! Jeśli potęga jest parzysta (2, 4, 6), minus całkowicie wyparowuje. (Gdyby potęga była nieparzysta, np. 3, minus by przetrwał).

Bez nawiasu:

-3^2

Wykładnik dotyczy TYLKO samej liczby, do której "przylega". Minus musi poczekać z boku.

-(3 \cdot 3) = -9

Minus czeka cierpliwie na wynik mnożenia trójek i bezczelnie dokleja się na samym końcu. Zawsze wyjdzie liczba ujemna!

Działania na potęgach (Wzory, które musisz znać)

Najważniejsza zasada całego działu: Wzory na potęgi działają TYLKO przy mnożeniu i dzieleniu! Nie istnieje żaden magiczny wzór na dodawanie czy odejmowanie potęg. Gdy spotkasz w zadaniu $2^3 + 2^4$ , musisz po prostu wyliczyć każdą z nich z osobna ( $8 + 16 = 24$ ). Wzory egzaminacyjne dzielimy na dwie konkretne sytuacje.

Sytuacja 1: Taka sama podstawa (ta sama liczba na dole)

Mnożenie

Gdy mnożymy, wykładniki u góry dodajemy. Podstawa na dole się nie zmienia.

a^x \cdot a^y = a^{x+y}

2^3 \cdot 2^4 = 2^7

Dzielenie

Gdy dzielimy, wykładniki u góry odejmujemy. Pamiętaj, że ułamek to też dzielenie!

\frac{a^x}{a^y} = a^{x-y}

\frac{5^7}{5^2} = 5^5

Potęga potęgi

Gdy potęga znajduje się w nawiasie podniesionym do kolejnej potęgi, wykładniki mnożymy.

(a^x)^y = a^{x \cdot y}

(3^2)^4 = 3^8

Sytuacja 2: Taki sam wykładnik (ta sama liczba na górze)

Co zrobić, gdy podstawy są zupełnie inne, ale wykładnik na górze jest ten sam? To częsty trik CKE, z którym wielu uczniów sobie nie radzi.

Możemy wtedy wciągnąć obie liczby z dołu do jednego, wspólnego nawiasu i wykonać działanie między nimi, a wspólną potęgę zostawić na zewnątrz.

Wspólne mnożenie

a^x \cdot b^x = (a \cdot b)^x

Przykład: $2^3 \cdot 5^3 = (2 \cdot 5)^3 = 10^3 = 1000$

Wspólne dzielenie

\frac{a^x}{b^x} = \left(\frac{a}{b}\right)^x

Przykład: $\frac{14^5}{7^5} = \left(\frac{14}{7}\right)^5 = 2^5 = 32$

Notacja wykładnicza (Pewniak na egzaminie)

Wyobraź sobie, że musisz zapisać masę Ziemi w kilogramach. Zapisanie 24 zer na końcu liczby jest nie tylko męczące, ale gwarantuje, że prędzej czy później zgubisz jedno z nich w obliczeniach. Do tego właśnie służy notacja wykładnicza – to oficjalny, naukowy system zapisywania ekstremalnie dużych lub ekstremalnie małych ułamków. Prawie na każdym egzaminie E8 pojawia się zadanie z tego tematu!

Jeden, żelazny warunek poprawności

Poprawna notacja wykładnicza musi wyglądać zawsze tak:

a \cdot 10^k

Liczba $a$ stojąca z przodu MUSI być większa lub równa 1, ale zawsze ostro mniejsza od 10.

Krótko mówiąc: przed przecinkiem może stać tylko jedna cyfra różna od zera! Zatem zapis $45 \cdot 10^3$ to zapis BŁĘDNY (bo 45 to więcej niż 10). Poprawnie przekształcona forma to $4{,}5 \cdot 10^4$ .

Wielkie liczby (Przecinek w lewo)

Mamy dużą liczbę, np. 45 000. Wyobraź sobie, że na samym końcu tej liczby stoi niewidzialny przecinek (45000,0).

Musimy przesunąć ten przecinek w lewo tak długo, aż przed nim zostanie tylko jedna cyfra. Zatrzymujemy się po 4 skokach, tworząc ułamek

4{,}5

Liczba skoków to nasz dodatni wykładnik dla dziesiątki.

45\,000 = 4{,}5 \cdot 10^4

Małe ułamki (Przecinek w prawo)

Mamy malutki ułamek dziesiętny, np. 0,0037. Tym razem przecinek jest widoczny.

Musimy przesunąć go w prawo, mijając wszystkie zera, aż ustawi się za pierwszą normalną cyfrą (za trójką). Zrobiliśmy dokładnie 3 skoki w prawo, by otrzymać

3{,}7

Ruch w prawo oznacza, że wykładnik będzie ujemny!

0{,}0037 = 3{,}7 \cdot 10^{-3}

Pierwiastki 2-go i 3-go stopnia

Pierwiastkowanie to nic innego jak matematyczne "śledztwo". Gdy widzimy znak pierwiastka kwadratowego $\sqrt{25}$ , zadajemy sobie pytanie: "Jaka liczba pomnożona przez samą siebie da mi wynik 25?". Odpowiedzią jest oczywiście 5, bo $5^2 = 25$ . Na Egzaminie Ósmoklasisty wymagane są od Ciebie pierwiastki 2-go i 3-go stopnia.

Kwadraty, które musisz znać na blachę

Znajomość tych pierwiastków kwadratowych (drugiego stopnia) gwarantuje Ci błyskawiczne rozwiązywanie zadań z Twierdzenia Pitagorasa bez utraty cennego czasu na egzaminie.

\sqrt{121} = 11

\sqrt{144} = 12

\sqrt{169} = 13

\sqrt{196} = 14

\sqrt{225} = 15

Sześciany (Pierwiastki 3 stopnia)

Zapisywane jako $\sqrt[3]{x}$ . Pytamy tu: "jaka liczba pomnożona przez siebie trzy razy da środek?". Np. $\sqrt[3]{8} = 2$ , bo $2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$ .

\sqrt[3]{27} = 3

\sqrt[3]{64} = 4

\sqrt[3]{125} = 5

Ważna cecha E8: Z liczb ujemnych MOŻNA wyciągnąć pierwiastek sześcienny! $\sqrt[3]{-8} = -2$ . (Z kwadratowego się nie da, w klasie 8 nie istnieje $\sqrt{-4}$ ).

Działania na pierwiastkach (Pod jednym dachem)

Najważniejsza rzecz do zapamiętania na egzaminie: zasady dla pierwiastków działają dokładnie tak samo jak zasady dla potęg. Możesz łączyć pierwiastki w jeden lub je rozdzielać TYLKO przy mnożeniu i dzieleniu! Próba dodania lub odjęcia od siebie dwóch osobnych pierwiastków to najszybsza droga do utraty punktów z całego zadania.

Poprawnie: Mnożenie i dzielenie

Jeśli masz dwa pierwiastki tego samego stopnia powiązane znakiem mnożenia lub dzielenia, możesz wrzucić ich wnętrza pod "jeden duży dach", wyliczyć środek i wyciągnąć wynik.

\sqrt{2} \cdot \sqrt{18} = \sqrt{2 \cdot 18} = \sqrt{36} = 6

Błąd krytyczny: Dodawanie i odejmowanie

Nie wolno Ci połączyć dodawania pod jeden pierwiastek! Zobacz, jak ten powszechny błąd prowadzi do matematycznego absurdu:

\sqrt{9} + \sqrt{16} \neq \sqrt{9 + 16}

Przecież $\sqrt{9} = 3$ , a $\sqrt{16} = 4$ . Ich suma wynosi 7. Gdybyśmy złączyli je pod dachem, otrzymalibyśmy $\sqrt{25}$ , co daje 5. Wyniki się nie zgadzają!

Wyłączanie przed znak i włączanie pod pierwiastek

Często zdarza się, że liczba pod pierwiastkiem "nie chce wyjść" w całości (np. z $\sqrt{50}$ nie otrzymamy równej liczby całkowitej). Odpowiedzi na arkuszach CKE (A/B/C/D) rzadko zawierają takie nieskrócone duże pierwiastki. Zamiast tego musisz uprościć taki zapis procesem zwanym wyłączaniem czynnika. Musisz też bezbłędnie opanować proces odwrotny.

Kierunek 1: Wyłączanie przed znak

Cel: Zmniejszyć liczbę pod dachem. Szukamy w głowie iloczynu dwóch liczb, z których jedna jest "ładnym" kwadratem z naszej tabelki (np. 4, 9, 16, 25). W przypadku 50 widzimy, że dzieli się ono idealnie przez 25.

\sqrt{50}

1. Zapisujemy jako mnożenie "ładnej" liczby przez resztę:

\sqrt{25 \cdot 2}

2. Wyciągamy pierwiastek TYLKO z tej ładnej liczby. 25 zamienia się w 5 i "wyskakuje" na zewnątrz. Dwójka utknęła w środku:

5\sqrt{2}

Kierunek 2: Włączanie pod znak

Cel: Ułatwić porównywanie. Aby ocenić na E8 co jest większe, np. $3\sqrt{5}$ czy $4\sqrt{3}$ , musisz wciągnąć obie liczby z zewnątrz z powrotem pod "dach", aby zobaczyć "czyste" wielkości.

3\sqrt{5}

1. Przekraczając barierę pierwiastka do środka, liczba z zewnątrz MUSI podnieść się do kwadratu:

\sqrt{3^2 \cdot 5}

2. Wyliczamy mnożenie w środku:

\sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{45}

Szacowanie niewymiernych pierwiastków (Nierówności)

Często Egzamin Ósmoklasisty rzuca wyzwanie wprost z podstawy programowej: "Pomiędzy jakimi dwiema kolejnymi liczbami całkowitymi leży np. $\sqrt{137}$ ?". Skoro nie mamy do dyspozycji kalkulatora, musimy użyć sprytu i tzw. "Metody Kanapki", posługując się osią liczbową i nierównościami w głowie.

Metoda Kanapki na przykładzie $\sqrt{137}$

Dolna kromka (Granica dolna): Przeszukujemy naszą pamięć szukając największego kwadratu, który mieści się pod liczbą 137. Wiemy, że $10^2 = 100$ . Wiemy, że $11^2 = 121$ . Ale $12^2 = 144$ to już za dużo. Zatem naszą najbliższą bezpieczną przystanią w dół jest $\sqrt{121}$ , czyli równe 11.

Górna kromka (Granica górna): Skoro dół to 11, bierzemy od razu kolejną liczbę całkowitą o jeden większą, czyli 12. Jej kwadrat to 144, co jest większe od naszego 137. Naszą górną granicą "kanapki" jest więc $\sqrt{144}$ , czyli równe 12.

Wynik ostateczny (Zapis Egzaminacyjny): Zapisujemy to używając znaków nierówności.

\sqrt{121} < \sqrt{137} < \sqrt{144}

Z tego wynika, że:

11 < \sqrt{137} < 12

Dzięki temu wiemy ze 100% pewnością, że $\sqrt{137}$ to w zaokrągleniu ułamek typu jedenaście przecinek coś (np. $11{,}7$ ). CKE bardzo często daje takie zadania jako test jednokrotnego wyboru!

Wiedza opanowana do perfekcji?

Ten dział bywa zdradliwy przez łatwość pomyłki o jeden minus w potędze, lub złe połączenie pierwiastków przy dodawaniu. Skoro przebrnęliśmy przez komplet reguł i notację wykładniczą z podstawy programowej, czas użyć tej wiedzy w walce z testami!

Sprawdź się w Quizie z Potęg i Pierwiastków (E8) 🚀

Teoria opanowana? Czas na praktykę!

Baza Quizów Ósmoklasisty

Pewniaki Ósmoklasisty