Liczby i działania

Wstęp: Fundament całej matematyki

Egzamin Ósmoklasisty zawsze zaczyna się od sprawdzenia Twoich fundamentów. Pomyłki w ułamkach, zgubiony minus czy złe zastosowanie kolejności wykonywania działań to najczęstsze powody utraty darmowych punktów. W tym potężnym dziale rozłożymy na czynniki pierwsze wszystko, co musisz wiedzieć o liczbach – od starożytnego Rzymu, przez "długi" ujemne, po ułamki i dzielenie z resztą.

📋 Spis treści

Zapis i własności liczb

1 System Rzymski (do 3000)
2 Porównywanie i Dzielenie z resztą
3 Cechy podzielności, NWD i NWW

Działania na liczbach

4 Kolejność i prawa działań
5 Liczby ujemne i szacowanie
6 Ułamki zwykłe i dziesiętne

System Rzymski (do 3000)

Starożytni Rzymianie nie znali zera. Ich system zapisu liczb opiera się na literach, które po prostu do siebie dodajemy (lub odejmujemy). Na egzaminie musisz płynnie tłumaczyć takie napisy na nasz system arabski i odwrotnie.

I	V	X	L	C	D	M
1	5	10	50	100	500	1000

Żelazne zasady konstruowania liczb rzymskich

Zasada dodawania:
Jeśli mniejsza litera stoi po prawej stronie większej, dodajemy je.
VII = 5 + 1 + 1 = 7 LX = 50 + 10 = 60
Zasada odejmowania:
Jeśli mniejsza litera stoi po lewej stronie większej, odejmujemy ją od większej.
IV = 5 - 1 = 4 XC = 100 - 10 = 90 CM = 1000 - 100 = 900
Limit powtórzeń:
Litery I, X, C, M mogą stać obok siebie maksymalnie 3 razy (np. XXX = 30). Liter V, L, D nie wolno w ogóle powtarzać!

Porównywanie i Dzielenie z resztą

Zadania tekstowe bardzo często próbują złapać Cię na niuansach słownych. Musisz błyskawicznie odróżniać porównywanie różnicowe od ilorazowego. Ponadto musisz perfekcyjnie znać mechanikę reszty z dzielenia.

Pułapki słowne (O ile vs Ile razy)

"O ile więcej / o ile mniej?"
To porównywanie różnicowe. Zawsze używasz odejmowania.
Przykład: O ile liczba 20 jest większa od 5? $20 - 5 = 15$ .

"Ile razy więcej / ile razy mniej?"
To porównywanie ilorazowe. Zawsze używasz dzielenia.
Przykład: Ile razy liczba 20 jest większa od 5? $20 : 5 = 4$ .

Dzielenie z resztą

Kiedy liczby nie dzielą się idealnie, zostaje "reszta" (oznaczana literką r). Reszta musi być zawsze mniejsza od dzielnika!

a = b \cdot q + r

Przykład: $23 : 5 = 4$ (reszta 3).
Sprawdzenie: $5 \cdot 4 + 3 = 23$ .
Taka matematyka jest kluczowa w zadaniach typu "jaki dzień tygodnia będzie za 100 dni".

Cechy podzielności, NWD i NWW

Na egzaminie nie masz kalkulatora. Cechy podzielności są Twoim jedynym ratunkiem, aby sprawdzić, czy duże liczby dzielą się "bez reszty". Wykorzystujemy to również do rozkładu liczby na czynniki pierwsze.

Podzielność przez	Żelazna Zasada
2	Ostatnia cyfra to: 0, 2, 4, 6 lub 8 (liczba parzysta).
3	Suma wszystkich cyfr musi dzielić się przez 3. Np. $126 \implies 1+2+6 = 9$ . Dziewięć dzieli się na 3, więc 126 też!
4	Sprawdzasz tylko dwie ostatnie cyfry. Np. 574224 dzieli się przez 4, bo 24 dzieli się na 4.
5	Ostatnia cyfra to: 0 albo 5.
9	Jak dla trójki: Suma cyfr musi dzielić się przez 9.
25	Dwie ostatnie cyfry to: 00, 25, 50 lub 75.

Fundament: Co to jest Liczba Pierwsza?

Liczba pierwsza to taki matematyczny "atom" – nie da się jej już na nic podzielić. Dzieli się tylko przez 1 i przez samą siebie. Każda inna liczba (np. 12) jest "liczbą złożoną", ponieważ można ją ulepić z liczb pierwszych ( $12 = 2 \cdot 2 \cdot 3$ ).

Krótka lista pierwszych liczb pierwszych:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23...

Uwaga Pułapka!

0 i 1 NIE są liczbami pierwszymi. A dwójka jest JEDYNĄ na świecie parzystą liczbą pierwszą.

Rozkład na czynniki pierwsze

Dzielimy liczbę przez najmniejsze możliwe liczby pierwsze. Zawsze zaczynaj od 2 (jeśli się da). Schodzimy w dół aż do uzyskania 1 na końcu.

24	2
12	2
6	2
3	3
1

Więc $24 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3$

NWD (Największy Wspólny Dzielnik)

Rozkładasz dwie liczby na czynniki na dwóch kreskach i zakreślasz tylko te liczby po prawej stronie, które powtarzają się w obu kolumnach. Następnie mnożysz te powtarzające się cyfry. Używamy tego do wielkiego skracania ułamków.

NWW (Najmniejsza Wspólna Wielokrotność)

Piekielnie przydatne do szukania wspólnego mianownika. Wypisujesz wszystkie czynniki z prawej strony pierwszej liczby i "dopisujesz" za pomocą mnożenia te czynniki z drugiej liczby, których Ci jeszcze brakuje.

Kolejność i Prawa Działań

Wyobraź sobie, że wchodzisz na skrzyżowanie i nie ma znaków drogowych. Co się dzieje? Wypadek. Matematyka ma swoje "znaki drogowe" – to hierarchia działań. Dodatkowo istnieją prawa, które pozwalają Ci liczyć szybciej w pamięci.

Działania w nawiasach

Mają absolutny priorytet. W pierwszej kolejności wykonujesz wszystko, co jest schowane w "()" lub "[]".

Potęgowanie i pierwiastkowanie

Zanim przejdziesz do klasycznych rachunków, musisz wyliczyć potęgi (np.

2^3 = 8

Mnożenie i dzielenie

To działania równorzędne! Wykonujemy je zawsze od lewej do prawej, kiedy stoją obok siebie.

Dodawanie i odejmowanie

Najsłabsze operacje. Wykonujemy je na samym końcu, również od lewej do prawej.

🚨

Najczęstszy Błąd Kardynalny CKE

Przyjrzyj się działaniu: $20 : 2 \cdot 5$ . Wielu uczniów automatycznie najpierw mnoży "ładną" końcówkę $2 \cdot 5 = 10$ . Następnie dzielą $20 : 10$ i zapisują wynik: $2$ . To ogromny błąd!

Mnożenie i dzielenie są równorzędne. Zgodnie z zasadą numer 3, musisz policzyć je od lewej strony:

Krok 1: $20 : 2 = 10$
Krok 2: Mnożysz wynik przez 5: $10 \cdot 5 = 50$ .
Prawidłowy wynik to 50, a nie 2!

Prawa Przemienności i Łączności

W dodawaniu i mnożeniu kolejność nie ma znaczenia! Możesz przestawiać liczby jak klocki, żeby było Ci łatwiej policzyć w pamięci.

a + b = b + a

a \cdot b = b \cdot a

Uwaga: Odejmowanie i dzielenie NIE SĄ przemienne!

5-3 \neq 3-5

Prawo rozdzielności

Pozwala rozbić trudne mnożenie na dwa łatwiejsze (to tzw. "mnożenie nawiasu").

a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c

Przykład w pamięci:

7 \cdot 12 = 7 \cdot (10 + 2) = 70 + 14 = 84

Liczby ujemne, Oś i Szacowanie

W matematyce liczby poniżej zera (ujemne) to symulacja życia: temperatury w zimie albo stanu konta na minusie (długu). Na egzaminie najwięcej błędów popełnia się w momentach, gdy obok siebie stają dwa minusy, lub gdy musimy oszacować i zaokrąglić zawiły ułamek.

Dodawanie długu i zysku

Kiedy dodajesz do siebie dwie liczby o różnych znakach (np.

-15 + 8

), użyj wyobraźni: masz na koncie -15 zł długu. Wpłacasz 8 zł. Czy wystarczy Ci, żeby wyjść na plus?

Nie! Zmniejszysz tylko swój dług, a na koncie zostanie

-7

zł.

-15 + 8 = -7

Mnożenie: "Wróg mojego wroga to..."

Zasady mnożenia (i dzielenia) liczb ujemnych są sztywne jak skała. Zapamiętaj te kombinacje na pamięć:

$(+) \cdot (-) = (-)$ (Plus i minus daje zawsze minus)
$(-) \cdot (+) = (-)$
$(-) \cdot (-) = (+)$ (Dwa minusy dają plus!)

-4 \cdot (-3) = 12

Spotkanie dwóch znaków

Co zrobić, gdy w równaniu znaki stoją bezpośrednio obok siebie? Np. $5 - (-3)$ . Zawsze zastępuj dwa znaki jednym, zgodnie z zasadą mnożenia.

5 - (-3) = 5 + 3 = 8

10 + (-4) = 10 - 4 = 6

Zaokrąglanie i szacowanie

Jeśli cyfra po prawej stronie od tej, którą zaokrąglasz to 0, 1, 2, 3, 4 – zaokrąglasz w dół (nic nie zmieniasz, ucinasz koniec).

Jeśli cyfrą po prawej jest 5, 6, 7, 8, 9 – musisz zaokrąglić w górę (dodajesz 1).

3{,}141... \approx 3{,}14

(w dół)

5{,}678 \approx 5{,}68

(w górę)

Wartość bezwzględna (Odległość)

Zapisywana jako pionowe kreski:

|x|

. Jej zadaniem jest zrobienie ze wszystkiego liczby dodatniej. Dlaczego? Bo wartość bezwzględna to geometrycznie odległość na osi liczbowej od zera, a odległość nigdy nie jest ujemna!

|-5| = 5

|12| = 12

Ułamki: Zwykłe, Dziesiętne i Mieszane

Ułamki potrafią doprowadzić do szału. Najważniejsze jest to, żebyś na Egzaminie Ósmoklasisty, widząc miszmasz (np. $0{,}25 + \frac{1}{3}$ ), zdecydował się tylko na jeden format. Najbezpieczniej jest zawsze zamieniać przecinki (dziesiętne) na ułamki z kreską (zwykłe), bo unikniesz nieskończonych cyfr.

Wielka transformacja: Liczba mieszana na ułamek niewłaściwy

Aby pomnożyć lub podzielić liczbę z "całością" (np. $2\frac{1}{4}$ ), musisz wciągnąć całość do ułamka.

2\frac{1}{4}

→

\frac{2 \cdot 4 + 1}{4}

→

\frac{9}{4}

Zasada wiatraka: Mnożysz dużą liczbę z przodu przez mianownik (na dole), dodajesz licznik (na górze) i wynik wpisujesz na górę. Mianownik zostaje nienaruszony!

Dodawanie i odejmowanie

Zanim dodasz ułamki zwykłe, MUSISZ sprowadzić je do wspólnego mianownika. Rozszerzasz (mnożysz) górę i dół pierwszego ułamka przez dolną liczbę z drugiego ułamka (i na odwrót).

\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}

Mnożenie i dzielenie

Nie szukasz wspólnego mianownika! Mnożysz górę z górą i dół z dołem. Ale uwaga na dzielenie: dzielenie ułamków to po prostu mnożenie przez odwrotność drugiego ułamka!

\frac{2}{5} : \frac{3}{4} = \frac{2}{5} \cdot \frac{4}{3} = \frac{8}{15}

Ułamek pewnej liczby

Słowo "z" w matematyce oznacza mnożenie. Jeśli zadanie pyta: "Ile wynosi $\frac{2}{3}$ z liczby $60$ ?", to Twoim obowiązkiem jest po prostu je pomnożyć.

\frac{2}{3} \cdot 60 = \frac{2 \cdot 60}{3} = \frac{120}{3} = 40

Ogarniasz podstawy jak mistrz?

Ten dział to absolutny szkielet na Egzaminie Ósmoklasisty – jego opanowanie gwarantuje bezstresowe przejście przez pierwsze zadania arkusza. Jeśli czujesz się pewnie z minusami, kolejnością działań i ułamkami, czas to sprawdzić!

Uruchom Potężny Quiz z Podstaw (E8) 🚀

Teoria opanowana? Czas na praktykę!

Baza Quizów Ósmoklasisty

Pewniaki Ósmoklasisty