Matura Rozszerzona Maj 2025
Rozwiązania i Odpowiedzi

Z treści zadania wiemy, że w chwili $t=0$ liczebność populacji wynosiła $10\ 000$. Podstawiając te dane do wzoru funkcji wykładniczej:

Zatem:

Wiemy, że po dwóch godzinach ($t=2$) liczebność wynosiła $15\ 625$. Podstawiamy znane wartości do wzoru:

Dzielimy obie strony równania przez $10\ 000$:

Wyciągamy pierwiastek kwadratowy:

Współczynnik $k = 1,25$ oznacza, że co godzinę populacja jest mnożona przez $1,25$. Zamieniamy ten współczynnik na procenty:

Przyrost procentowy to różnica między nowym stanem a stanem bazowym ( $100\%$):

Zauważmy, że w wyrażeniu po prawej stronie możemy wyłączyć przed nawias wspólny czynnik $8ab$:

Nierówność przyjmuje teraz postać:

Z treści zadania wiemy, że $a$ i $b$ są dodatnie, zatem suma $a + 2b$ jest na pewno większa od zera. Możemy obustronnie podzielić nierówność przez ten czynnik bez zmiany znaku:

Korzystamy ze wzoru na kwadrat sumy $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$ dla lewej strony:

Przenosimy wyraz $8ab$ na lewą stronę i wykonujemy odejmowanie:

Otrzymane wyrażenie zwijamy do postaci kwadratu różnicy:

Krok 6: Wnioskowanie i konkluzja Kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest zawsze nieujemny. Z założenia wiemy, że $b \neq \frac{1}{2}a$, co oznacza, że $a - 2b \neq 0$.

Skoro różnica ta nie jest zerem, jej kwadrat musi być liczbą dodatnią. To dowodzi, że wyjściowa nierówność jest prawdziwa dla podanych założeń.

Trójkąty $ABD$ i $ADC$ mają wspólną wysokość opuszczoną z wierzchołka $A$ na prostą $BC$. W takim przypadku stosunek ich pól jest równy stosunkowi długości ich podstaw:

Oznaczmy długość boku trójkąta równobocznego jako $a$ . Wtedy $|BC| = |BD| + |CD| = a$. Wykorzystując wyznaczoną proporcję $|BD| = \frac{\sqrt{3}-1}{2}|CD|$, podstawiamy ją do sumy odcinków:

Wyłączamy $|CD|$ przed nawias:

Wyznaczamy $|CD|$:

Usuwamy niewymierność z mianownika:

W trójkącie $ADC$ mamy następujące dane:

• Bok $|AC| = a$ (bok trójkąta równobocznego).

• Bok $|CD| = a(\sqrt{3}-1)$.

• Kąt $\angle ACD = 60^\circ$ (kąt trójkąta równobocznego).

• Szukany kąt $\angle DAC = \alpha$.

Z twierdzenia sinusów:

Kąt $\angle ADC = 180^\circ - (60^\circ + \alpha)$. Korzystając ze wzoru redukcyjnego $\sin(180^\circ - x) = \sin x$, otrzymujemy $\sin \angle ADC = \sin(60^\circ + \alpha)$. Równanie przyjmuje postać:

Dzielimy obie strony przez $a$ i mnożymy na krzyż:

Rozpisujemy $\sin(60^\circ + \alpha)$ ze wzoru na sinus sumy kątów:

Podstawiamy wartości funkcji trygonometrycznych dla $60^\circ$:

Mnożymy obustronnie przez 2, aby pozbyć się ułamków:

Wymnażamy nawiasy:

Grupujemy wyrazy z $\sin \alpha$ i $\cos \alpha$:

Przenosimy sinusy na prawą stronę:

Dzielimy przez wyrażenie $(3 - \sqrt{3})$ (które jest różne od zera):

Dzielimy przez $\cos \alpha$ (zakładając $\alpha < 90^\circ$):

Krok 5: Odpowiedź Kąt ostry, którego tangens wynosi 1, to:

Wprowadźmy oznaczenia dla zdarzeń:

• $B$ – otrzymano dokładnie dwa razy pięć oczek.

• $A$ – otrzymano co najmniej jeden raz sześć oczek.

Szukamy prawdopodobieństwa warunkowego $P(A|B)$, które zgodnie z definicją wyraża się wzorem:

Zdarzenie $B$ polega na tym, że w 4 rzutach dokładnie dwa razy wypadnie piątka.

• Wybieramy 2 miejsca z 4 dla piątek: $\binom{4}{2} = 6$ sposobów.

• Na pozostałych 2 miejscach musi wypaść dowolna liczba oczek różna od 5 (czyli jedna z pięciu pozostałych wartości): $5^2 = 25$ sposobów.

Liczba elementów zbioru $B$ wynosi zatem:

Zdarzenie $A \cap B$ polega na tym, że mamy dokładnie dwie piątki i co najmniej jedną szóstkę. Skupiamy się na dwóch rzutach, w których nie wypadła piątka (łącznie $25$ możliwości). Obliczmy przypadek przeciwny – na tych dwóch miejscach nie wypadła szóstka (czyli wypadły tylko oczka 1, 2, 3 lub 4):

Zatem liczba wyników, w których na tych dwóch miejscach jest co najmniej jedna szóstka, to:

Całkowita liczba elementów $|A \cap B|$ wynosi:

Podstawiamy wyznaczone wartości do wzoru na prawdopodobieństwo warunkowe:

Skracamy ułamek przez 6:

Wyrażenia pod wartością bezwzględną zerują się dla:

Punkty te dzielą oś liczbową na trzy przedziały, w których będziemy rozpatrywać nierówność:

• Przedział I: $x \in (-\infty, -3)$

• Przedział II: $x \in [-3, 2)$

• Przedział III: $x \in [2, \infty)$

Krok 2: Rozwiązanie w przedziale I: $x < -3$ W tym przedziale oba wyrażenia pod wartością bezwzględną są ujemne, więc zmieniamy ich znaki:

Część wspólna rozwiązania z przedziałem to:

Krok 3: Rozwiązanie w przedziale II: $-3 \le x < 2$ W tym przedziale $(x - 2)$ jest ujemne, a $(x + 3)$ jest nieujemne:

Część wspólna rozwiązania z przedziałem to:

W tym przedziale oba wyrażenia pod wartością bezwzględną są nieujemne:

Ponieważ wszystkie liczby z przedziału $[2, \infty)$ są większe od $-6$, rozwiązaniem w tym przypadku jest cały przedział:

Sumujemy wyniki uzyskane we wszystkich trzech przedziałach:

Co po połączeniu dwóch ostatnich przedziałów daje ostateczny wynik:

Rozwiązujemy układ równań:

Z pierwszego równania wyznaczamy $a_3 = 20 - a_1$ i podstawiamy do drugiego:

Rozwiązując równanie kwadratowe, otrzymujemy:

Otrzymujemy dwa możliwe zestawy wartości:

• Zestaw I: $a_1 = 2, a_3 = 18$

• Zestaw II: $a_1 = 18, a_3 = 2$

W ciągu geometrycznym $a_3 = a_1 \cdot q^2$, czyli $q^2 = \frac{a_3}{a_1}$. Dla Zestawu I: $q^2 = \frac{18}{2} = 9 \implies |q| = 3$. Ponieważ ciąg ma być zbieżny, musi zachodzić warunek $|q| < 1$ . Zestaw I odrzucamy. Dla Zestawu II:

. W obu tych przypadkach $|q| < 1$, więc warunek zbieżności szeregu geometrycznego jest spełniony.

Korzystamy ze wzoru na sumę szeregu geometrycznego: $S = \frac{a_1}{1 - q}$. Przypadek 1: $a_1 = 18$ oraz

Przypadek 2: $a_1 = 18$ oraz

Przyjmijmy oznaczenia długości podstaw trapezu: $|AB| = a$ oraz $|CD| = b$. Odcinek $EF$ łączy środki ramion trapezu, jest więc równoległy do podstaw, a jego długość jest średnią arytmetyczną długości podstaw:

Ponieważ punkty $E$ i $F$ są środkami ramion, odcinek $EF$ dzieli wysokość $H$ całego trapezu $ABCD$ na dwie równe części. Zatem wysokość trapezu $EFCD$ oraz wysokość trapezu $ABFE$ są równe i wynoszą:

Zapisujemy wzory na pola obu mniejszych trapezów i przyrównujemy ich stosunek do wartości podanej w zadaniu:

Po skróceniu przez $h$ oraz $\frac{1}{2}$ otrzymujemy:

Upraszczamy licznik i mianownik ułamka, sprowadzając je do wspólnego mianownika wewnątrz głównego ułamka:

Mnożymy "na krzyż":

Przenosimy wyrazy z $a$ na jedną stronę, a z $b$ na drugą:

Dzieląc obie strony przez $5a$, otrzymujemy szukany stosunek:

Otrzymaliśmy $\frac{|CD|}{|AB|} = \frac{1}{5}$, co należało wykazać.

Rozpisujemy równania obu okręgów, aby wyeliminować kwadraty zmiennych:

Odejmujemy równania stronami, aby otrzymać równanie prostej (potęgi $x^2$ i $y^2$ się redukują):

Wyznaczamy $x = -7y - 15$.

Podstawiamy wyznaczone $x$ do równania pierwszego okręgu:

Rozwiązujemy równanie kwadratowe:

Z treści zadania wiemy, że punkt $A$ ma pierwszą współrzędną dodatnią ($x_A > 0$). Zatem:

Korzystamy z warunku wektorowego $\vec{AM} = -2 \cdot \vec{BM}$. Niech $M = (x_M, y_M)$:

Rozwiązujemy dla każdej współrzędnej osobno:

Zatem punkt $M$ ma współrzędne:

Zauważmy, że wyrażenie można pogrupować, wyłączając trójkę przed nawias przy kwadratach funkcji:

Korzystamy ze wzoru na cosinus kąta podwojonego $\cos(2x) = \cos^2x - \sin^2x$:

Przenosimy cosinus na prawą stronę:

Dzielimy obustronnie przez $\sqrt{3}\cos(2x)$ (zakładając $\cos(2x) \neq 0$, co jest prawdą, bo gdyby był zerem, to sinus też musiałby być zerem, co jest niemożliwe dla tego samego kąta):

Tangens przyjmuje wartość $-\sqrt{3}$ dla kąta $-\frac{\pi}{3}$ (z dokładnością do okresu $\pi$). Zapisujemy rozwiązanie ogólne dla argumentu $2x$:

Dzielimy przez 2, aby wyznaczyć $x$:

Podstawiamy kolejne liczby całkowite za $k$ i sprawdzamy, czy wynik mieści się w zadanym przedziale:

• Dla $k = 0$: $x = -\frac{\pi}{6}$ (ok)

• Dla $k = 1$:

  $x = -\frac{\pi}{6} + \frac{3\pi}{6} = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$

  (ok)

• Dla $k = 2$:

  $x = -\frac{\pi}{6} + \frac{6\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$

  (ok)

• Dla $k = 3$:

  $x = \frac{8\pi}{6} = \frac{4\pi}{3} > \pi$

  (za dużo)

• Dla $k = -1$:

  $x = -\frac{\pi}{6} - \frac{3\pi}{6} = -\frac{4\pi}{6} = -\frac{2\pi}{3}$

  (ok)

• Dla $k = -2$: $x = -\frac{7\pi}{6} < -\pi$ (za mało)

Kąt $\beta$ zawarty jest między płaszczyznami ścian bocznych $CDS$ i $BCS$. Ściany te przecinają się wzdłuż krawędzi $SC$. Aby wyznaczyć ten kąt, prowadzimy płaszczyznę prostopadłą do krawędzi $SC$, która przecina ją w punkcie $E$, a pozostałe boki w punktach $B$ i $D$. Powstaje trójkąt równoramienny $BED$, w którym:

• $|BD|$ jest przekątną podstawy.

• $|BE| = |DE| = x$ są wysokościami ścian bocznych opuszczonymi na krawędź $SC$.

• Kąt $\angle BED = \beta$.

Obliczamy długość przekątnej podstawy $d$:

Stosujemy twierdzenie cosinusów w trójkącie $BED$:

Podstawiamy $|BD| = 6\sqrt{17}$, $|BE|=|DE|=x$ oraz $\cos\beta = -\frac{9}{25}$:

Wyznaczamy $x^2$:

Ściana boczna $SCD$ jest trójkątem prostokątnym (z twierdzenia o trzech prostych prostopadłych: rzutem $S$ jest $A$, $AD \perp CD$, więc $SD \perp CD$). Pole trójkąta $SCD$ możemy zapisać na dwa sposoby:

Niech $c = |SC|$. Z twierdzenia Pitagorasa w $\triangle SCD$: $|SD| = \sqrt{c^2 - a^2}$. Zapisujemy równość pól:

Podnosimy do kwadratu i podstawiamy $a^2 = (3\sqrt{34})^2 = 306$ oraz $x^2 = 225$:

Mając $|SC| = 34$, obliczamy $|SD|$:

Obliczamy wysokość ostrosłupa $H = |SA|$ z trójkąta prostokątnego $SAD$:

Pole boczne składa się z dwóch par przystających trójkątów prostokątnych: $\triangle SAB \cong \triangle SAD$ oraz $\triangle SBC \cong \triangle SCD$.

Całkowite pole boczne:

Krok 1: Warunek istnienia dwóch różnych miejsc zerowych ($\Delta > 0$) Funkcja jest kwadratowa (z założenia $m \neq 2$). Aby miała dwa różne miejsca zerowe, wyróżnik musi być dodatni:

Miejsca zerowe paraboli pomocniczej: $(m+3)(m-1)=0 \implies m_1=-3, m_2=1$. Przedział:

Dwa pierwiastki mają ten sam znak, gdy ich iloczyn jest dodatni (wzory Viète'a):

Równoważnie badamy znak iloczynu: $(m+8)(2-m) > 0$. Miejsca zerowe to $-8$ i $2$ , ramiona paraboli skierowane w dół (współczynnik przy $m^2$ ujemny). Przedział:

Przekształcamy wyrażenie, korzystając z faktu, że $(x_1 - x_2)^2 = \frac{\Delta}{a^2}$ (lub rozpisując jako $(x_1+x_2)^2 - 4x_1x_2$):

Podstawiamy obliczoną wcześniej deltę $\Delta = 20(m^2 + 2m - 3)$:

Mianownik $(2-m)^2$ jest zawsze dodatni, więc mnożymy bez zmiany znaku: