Matura Rozszerzona Maj 2023
Rozwiązania i Odpowiedzi

Masa początkowa wynosi $m_0 = 4$. Skoro co dobę ubywa $19\%$ substancji, to pozostaje $100\% - 19\% = 81\%$ masy z dnia poprzedniego. Współczynnik zmiany (iloraz ciągu geometrycznego) wynosi zatem:

Wzór funkcji opisującej masę po $t$ dobach to wzór na wyraz ciągu geometrycznego:

Szukamy najmniejszej liczby całkowitej $t$, dla której masa spadnie poniżej 1,5 grama:

Dzielimy obustronnie przez 4:

Ponieważ $t$ jest liczbą całkowitą, możemy obliczać kolejne potęgi liczby $0{,}81$ (używając kalkulatora prostego):

• Dla $t = 1$: $0{,}81 > 0{,}375$
• Dla $t = 2$: $(0{,}81)^2 \approx 0{,}656 > 0{,}375$
• Dla $t = 3$: $(0{,}81)^3 \approx 0{,}531 > 0{,}375$
• Dla $t = 4$: $(0{,}81)^4 \approx 0{,}430 > 0{,}375$
• Dla $t = 5$: $(0{,}81)^5 \approx 0{,}349 < 0{,}375$

Warunek jest spełniony po raz pierwszy dla $t = 5$.

Mamy do czynienia ze schematem Bernoulliego, ponieważ:

• Rozgrywamy $n = 5$ niezależnych partii.

• Interesuje nas sukces (wygrana Tomka) lub porażka.

• Prawdopodobieństwo sukcesu w pojedynczej próbie jest stałe i wynosi $p = \frac{1}{4}$.

Prawdopodobieństwo porażki (Tomek nie wygrywa) wynosi:

Niech $k$ oznacza liczbę wygranych partii przez Tomka. Zdarzenie "Tomek wygra co najmniej cztery partie" oznacza, że $k \ge 4$. W naszym przypadku (gdzie $n=5$) możliwe są dwa przypadki:

• $k = 4$ (wygra dokładnie 4 partie)

• $k = 5$ (wygra wszystkie 5 partii)

Wzór na prawdopodobieństwo w schemacie Bernoulliego:

Obliczamy prawdopodobieństwo dla $k = 4$:

Obliczamy prawdopodobieństwo dla $k = 5$:

Szukane prawdopodobieństwo to suma obu przypadków:

Skracamy ułamek (dzieląc licznik i mianownik przez 16, wiedząc, że $1024 = 16 \cdot 64$):

Skoro punkt $P(x_0, 3)$ należy do wykresu funkcji, to wartość funkcji dla argumentu $x_0$ musi wynosić 3. Rozwiązujemy równanie:

Mianownik $x^2 + 2x + 8$ jest zawsze dodatni (delta ujemna), więc możemy pomnożyć obustronnie:

Redukujemy $3x_0^2$ i porządkujemy:

Zatem punkt styczności to $P = (-3, 3)$.

Współczynnik kierunkowy stycznej a jest równy wartości pochodnej w punkcie styczności. Korzystamy ze wzoru na pochodną ilorazu:

.

Obliczamy wartość pochodnej dla $x_0 = -3$. Najpierw obliczmy wartości pomocnicze dla $x = -3$:

• Mianownik: $(-3)^2 + 2(-3) + 8 = 9 - 6 + 8 = 11$.

• $u'(-3) = 6(-3) - 2 = -20$
• $v'(-3) = 2(-3) + 2 = -4$
• $u(-3) = 3(-3)^2 - 2(-3) = 27 + 6 = 33$

Podstawiamy do wzoru na pochodną:

Skracamy ułamek przez 11:

Równanie stycznej ma postać $y = ax + b$. Mamy $a = -\frac{8}{11}$ oraz punkt $P(-3, 3)$.

Zacznijmy od przeniesienia wszystkich wyrazów nierówności na lewą stronę, aby uzyskać zero po prawej:

Pogrupujmy wyrazy parami (pierwszy z drugim oraz trzeci z czwartym):

Teraz wyłączamy wspólny nawias $(x - y)$ przed wyrażenie:

Korzystamy ze wzoru na różnicę kwadratów $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ dla drugiego nawiasu:

Zwijamy powtarzające się nawiasy do kwadratu:

Z treści zadania wiemy, że $x + y = 4$. Podstawiamy tę wartość do naszej nierówności:

Kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest zawsze nieujemny ($\ge 0$). Jedyną możliwością, aby wyrażenie $(x - y)^2$ było mniejsze lub równe zero, jest sytuacja, w której jest ono równe dokładnie 0.

Podstawiamy $x = y$ do równania sumy:

Skoro $x = y$, to również $y = 2$.

W trójkącie prostokątnym $ABC$ odcinek $BD$ jest wysokością opuszczoną na przeciwprostokątną. Rozważmy trójkąt $ABD$:

• $|\angle ADB| = 90^{\circ}$.

• $|\angle DAB| = 60^{\circ}$.

• Zatem

  $|\angle ABD| = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$

  .

Korzystając z funkcji trygonometrycznych w trójkącie $ABD$, gdzie $|AD| = 2$:

Dodatkowo obliczamy długość boku $AB$:

Rozważmy trójkąt $KBN$, gdzie $N$ jest punktem przecięcia $KL$ i $BD$:

• $|BK| = 1$.

• Kąt $|\angle KBN| = 30^{\circ}$ (wyznaczony w Kroku 1).

• Trójkąt $KBL$ jest prostokątny równoramienny, ponieważ $|BK| = |BL| = 1$ oraz kąt przy $B$ jest prosty. Zatem kąt $|\angle BKN| = 45^{\circ}$.

• Trzeci kąt w trójkącie $KBN$ to

  $|\angle KNB| = 180^{\circ} - 30^{\circ} - 45^{\circ} = 105^{\circ}$

  .

Korzystamy z twierdzenia sinusów w $\triangle KBN$:

Obliczamy

.

Odcinek $BD$ jest sumą odcinków $BN$ i $ND$:

Podstawiamy wyznaczone wcześniej wartości:

Korzystamy ze wzoru na iloczyn funkcji trygonometrycznych:

.

Dla lewej strony równania, gdzie

oraz $\beta = 6x$, otrzymujemy:

Wykorzystujemy nieparzystość funkcji sinus $\sin(-2x) = -\sin(2x)$ i wymnażamy nawias:

Redukujemy wyrazy $2\sin(10x)$ po obu stronach:

Szukamy argumentów $2x$, dla których sinus wynosi $-\frac{1}{2}$:

gdzie $k \in \mathbb{Z}$.

Dzielimy obie serie rozwiązań przez 2, aby wyznaczyć $x$:

Dla ułatwienia obliczeń umieśćmy sześcian w trójwymiarowym układzie współrzędnych tak, aby punkt a był początkiem układu. Przyjmijmy współrzędne wierzchołków sześcianu o krawędzi 6:

• $A = (0, 0, 0)$
• $B = (6, 0, 0)$
• $D = (0, 6, 0)$
• $H = (0, 6, 6)$

Punkt $S$ jest środkiem przekątnej $AH$ ściany bocznej. Obliczamy jego współrzędne:

Wykorzystujemy wzór na odległość punktów w przestrzeni:

• Bok $BH$ (przekątna sześcianu):

  $$|BH| = \sqrt{(0-6)^2 + (6-0)^2 + (6-0)^2} = \sqrt{36+36+36} = \sqrt{108} = 6\sqrt{3}$$

• Bok $SH$:

  $$|SH| = \sqrt{(0-0)^2 + (6-3)^2 + (6-3)^2} = \sqrt{0+9+9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$$

• Bok $SB$:

  $$|SB| = \sqrt{(6-0)^2 + (0-3)^2 + (0-3)^2} = \sqrt{36+9+9} = \sqrt{54} = 3\sqrt{6}$$

Zauważmy, że kwadraty długości boków to: $|BH|^2 = 108$, $|SH|^2 = 18$ oraz $|SB|^2 = 54$. Trójkąt nie jest prostokątny. Skorzystamy z iloczynu wektorowego, aby obliczyć pole trójkąta. Wyznaczamy wektory:

Iloczyn wektorowy $\vec{BS} \times \vec{BH}$:

Pole trójkąta wynosi:

Pole trójkąta można również zapisać przy użyciu wysokości $h$ opuszczonej na bok $BH$:

Podstawiamy dane:

Dzielimy przez $3\sqrt{3}$:

Zgodnie z twierdzeniem o czworokącie opisanym na okręgu, sumy długości przeciwległych boków takiego czworokąta są równe:

Podstawiamy dane z treści zadania ($|BC| = 4$ oraz $|CD| = 5$):

Rozważmy trójkąt $ABC$. Z treści zadania wynikają następujące dane:

• Kąt $\angle ACB = 60^{\circ}$ (kąt między przekątną $AC$ a bokiem $BC$).

• Kąt $\alpha = \angle BAC$ (kąt między przekątną $AC$ a bokiem $AB$), dla którego $\sin\alpha = \frac{1}{4}$.

• Bok $|BC| = 4$.

Stosujemy twierdzenie sinusów w trójkącie $ABC$:

Podstawiamy wartości i wyznaczamy $|AB|$:

Korzystając z zależności wyprowadzonej w Kroku 1, obliczamy długość boku $AD$:

Obliczamy obwód ($Obw$) czworokąta $ABCD$:

Zauważamy, że wyrażenia pod pierwiastkami to wzory skróconego mnożenia (kwadraty sumy i różnicy):

• $x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2$
• $x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2$

Korzystając ze wskazówki $\sqrt{a^2} = |a|$, zapisujemy nierówność w postaci:

Przekształcamy ją do wygodniejszej formy, przenosząc wartości bezwzględne na jedną stronę:

Wyznaczamy punkty krytyczne: $x = -2$ oraz $x = 3$. Dzielą one oś liczbową na trzy przedziały.

Sumujemy rozwiązania ze wszystkich przedziałów:

Po połączeniu przedziałów otrzymujemy ostateczny wynik:

Bok kwadratu $K_1$ ma długość $a$. Pierwszy wyraz ciągu geometrycznego ( $L_1$), będący obwodem tego kwadratu, wynosi:

Wierzchołki kwadratu $K_2$ dzielą boki kwadratu $K_1$ o długości $a$ w stosunku $1:3$. Oznacza to, że bok $a$ zostaje podzielony na dwa odcinki o długościach:

Bok kwadratu $K_2$ (oznaczmy go jako $a_2$) jest przeciwprostokątną w trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych $x$ i $y$. Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa:

Obwód kwadratu $K_2$ (drugi wyraz ciągu) wynosi zatem:

Ponieważ każdy kolejny kwadrat jest wpisywany w poprzedni według tej samej zasady, stosunek obwodów sąsiednich kwadratów jest stały. Iloraz $q$ wynosi:

Szereg geometryczny jest zbieżny, ponieważ

.

Korzystamy ze wzoru na sumę szeregu geometrycznego $S = \frac{L_1}{1 - q}$:

Usuwamy niewymierność z mianownika:

Po uproszczeniu otrzymujemy ostateczny wynik:

Równanie kwadratowe ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste, gdy wyróżnik $\Delta$ jest dodatni:

Podstawiamy współczynniki równania $a = 1, b = 4, c = -\frac{m-3}{m-2}$:

Rozwiązujemy nierówność $\Delta > 0$:

Miejsca zerowe to $m = 2$ oraz $m = 2{,}2$. Z wykresu znaku otrzymujemy:

Wykorzystujemy wzory Viète'a: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -4$ oraz $x_1x_2 = \frac{c}{a} = -\frac{m-3}{m-2}$. Przekształcamy wyrażenie $x_1^3 + x_2^3$:

Podstawiamy wartości:

Rozwiązujemy nierówność $x_1^3 + x_2^3 > -28$:

Przenosimy na jedną stronę i sprowadzamy do wspólnego mianownika:

Miejsca zerowe to $m = 2$ oraz $m = 2{,}25$. Z wykresu znaku otrzymujemy:

Musimy wyznaczyć iloczyn zbiorów rozwiązań obu warunków:

• Warunek 1: $m \in (-\infty, 2) \cup (2{,}2, +\infty)$
• Warunek 2: $m \in (2, 2{,}25)$

Część wspólna tych przedziałów to:

co można zapisać również w postaci ułamków zwykłych: $m \in (\frac{11}{5}, \frac{9}{4})$.

Korzystamy z definicji potęgi i własności logarytmów:

Stosujemy wzór $k \log_a b = \log_a b^k$:

Uprośćmy licznik ułamka:

• $\log_2 \sqrt{27} = \log_2 (3^3)^{1/2} = \log_2 3^{3/2} = \frac{3}{2}\log_2 3$

• Zatem licznik:

  $2 \cdot \frac{3}{2}\log_2 3 \cdot \log_3 2 = 3 \cdot \log_2 3 \cdot \log_3 2$

Korzystamy ze wzoru na zamianę podstawy logarytmu ( $\log_a b \cdot \log_b a = 1$):

Podstawiamy do całego współczynnika:

Składając wszystkie części, otrzymujemy:

Badamy funkcję $f(x) = x^4 + x^2 - 6x$ w dziedzinie $x \in (0, +\infty)$. Obliczamy pochodną: