Matura Rozszerzona Maj 2024
Rozwiązania i Odpowiedzi

Z treści zadania mamy:

• $T_p = 80^{\circ}\text{C}$ (temperatura początkowa)

• $T_z = 20^{\circ}\text{C}$ (temperatura otoczenia)

Podstawiamy te wartości do wzoru ogólnego:

Wiemy, że po 10 minutach ($t=10$) temperatura wynosi $65^{\circ}\text{C}$.

Odejmujemy 20 od obu stron:

Dzielimy przez 60:

Nie musimy wyliczać samego $k$, wystarczy nam ta zależność.

Pytanie dotyczy temperatury "po następnych pięciu minutach", czyli łącznie po 15 minutach od chwili początkowej ($t = 10 + 5 = 15$ ). Szukamy $T(15)$:

Zauważmy, że $k^{-15} = k^{-10} \cdot k^{-5}$ lub

.

Podstawiamy wartość $k^{-10} = 0{,}75$:

Wstawiamy to do wzoru na temperaturę:

Przyjmując przybliżenie $\sqrt{3} \approx 1{,}732$:

Zaokrąglamy do jedności:

Zauważmy, że licznik zeruje się dla $x=2$. Możemy skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę sześcianów:

Dla $x^3 - 8$ mamy $a=x$, $b=2$:

Podstawiamy rozkład do granicy:

Skracamy ułamek przez czynnik $(x - 2)$:

Analizujemy zachowanie licznika i mianownika przy $x \to 2^-$:

• Licznik: $\lim_{x \to 2^-} (x^2 + 2x + 4) = 2^2 + 2\cdot 2 + 4 = 12$ (liczba dodatnia).
• Mianownik: Gdy $x \to 2^-$ (x dąży do 2 od strony lewej, czyli $x < 2$), wyrażenie $(x - 2)$ dąży do $0$ przyjmując wartości ujemne ($0^-$).

Zatem mamy symbol postaci $\left[ \frac{12}{0^-} \right]$.

Mamy do czynienia ze schematem Bernoulliego, ponieważ:

• Mamy serię $n = 10$ niezależnych prób (kontrola opakowań).

• W każdej próbie są tylko dwa możliwe wyniki: "sukces" (zawartość tłuszczu poniżej 36%) lub "porażka".

• Prawdopodobieństwo sukcesu jest stałe i wynosi $p = 0{,}01$.

Prawdopodobieństwo porażki wynosi:

Zdarzenie $A$ polega na tym, że liczba sukcesów $k$ jest mniejsza lub równa 1 ( $k \le 1$). Oznacza to, że interesują nas przypadki: $k = 0$ lub $k = 1$.

Korzystamy ze wzoru Bernoulliego: $P_n(k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$.

Dla $k = 0$ (zero wadliwych opakowań):

Dla $k = 1$ (dokładnie jedno wadliwe opakowanie):

Obliczamy wartość przybliżoną:

Prawdopodobieństwo zdarzenia $A$ to suma obu przypadków:

Zgodnie z poleceniem, zaokrąglamy wynik do części tysięcznych (trzy miejsca po przecinku):

Wiemy, że pierwsza współrzędna punktu $P$ wynosi $x_0 = 2$. Aby obliczyć drugą współrzędną, podstawiamy $x_0$ do wzoru funkcji:

Zatem punkt styczności ma współrzędne $P = (2, 2)$.

Współczynnik kierunkowy stycznej $a$ jest równy wartości pochodnej funkcji w punkcie styczności. Najpierw uprośćmy wzór funkcji, dzieląc licznik przez mianownik (możemy to zrobić, bo $x \neq 0$):

Teraz obliczamy pochodną:

Obliczamy wartość pochodnej dla $x_0 = 2$:

Równanie stycznej ma postać $y = 3{,}5x + b$. Ponieważ styczna przechodzi przez punkt $P(2, 2)$, podstawiamy jego współrzędne do równania prostej:

Aby udowodnić równość, przekształcimy lewą stronę równania ( $L = \log_{12} 80$). Najwygodniej będzie zamienić podstawę logarytmu na 4, ponieważ liczba 4 występuje w obu założeniach ($\log_5 4$ i $\log_4 3$).

Korzystamy ze wzoru na zmianę podstawy logarytmu: $\log_x y = \frac{\log_z y}{\log_z x}$.

Rozkładamy liczby logarytmowane na czynniki, wykorzystując liczbę 4:

• Licznik: $80 = 16 \cdot 5 = 4^2 \cdot 5$

• Mianownik: $12 = 4 \cdot 3$

Korzystamy z własności logarytmu iloczynu ( $\log_4 (x \cdot y) = \log_4 x + \log_4 y$):

Upraszczamy wyrażenie, wiedząc że $\log_4 (4^2) = 2$ oraz $\log_4 4 = 1$:

Z treści zadania mamy:

• $\log_4 3 = b$
• $\log_5 4 = a$

Aby uzyskać wartość $\log_4 5$, korzystamy ze wzoru na zamianę podstawy: $\log_x y = \frac{1}{\log_y x}$.

Wracamy do ułamka z Kroku 2 i podstawiamy $b$ oraz $\frac{1}{a}$:

Sprowadzamy licznik do wspólnego mianownika:

Zapisujemy w ostatecznej postaci:

Otrzymaliśmy prawą stronę tezy.

Liczba składa się z dokładnie trzech cyfr nieparzystych i dwóch cyfr parzystych. Oznacza to, że są to liczby pięciocyfrowe.

Dostępne cyfry:

• Nieparzyste ($N$): $\{1, 3, 5, 7, 9\}$ (5 cyfr).

• Parzyste ($P$): $\{0, 2, 4, 6, 8\}$ (5 cyfr, w tym zero).

Ponieważ cyfry nie mogą się powtarzać, musimy rozważyć dwa przypadki ze względu na obecność cyfry 0 (która nie może stać na pierwszym miejscu).

1. Wybieramy 3 cyfry nieparzyste z 5 dostępnych:

2. Wybieramy 2 cyfry parzyste ze zbioru $\{2, 4, 6, 8\}$ (bez zera):

3. Permutujemy wybrane 5 cyfr na 5 miejscach (zero nie występuje, więc każda kolejność jest dozwolona):

Liczba takich kombinacji w tym przypadku:

1. Wybieramy 3 cyfry nieparzyste z 5 dostępnych:

2. Wybieramy 1 cyfrę parzystą ze zbioru $\{2, 4, 6, 8\}$ (drugą cyfrą parzystą jest obowiązkowo 0):

3. Permutujemy wybrane 5 cyfr, ale zero nie może stać na pierwszym miejscu. Liczba permutacji 5-elementowych z zerem na początku wynosi $4!$. Odejmujemy je od wszystkich permutacji:

Liczba takich kombinacji w tym przypadku:

Całkowita liczba takich liczb to suma wyników z obu przypadków:

Odpowiedź: Istnieje 11 040 takich liczb.

Niech $r$ będzie różnicą ciągu arytmetycznego $(a_n)$. Z treści zadania wiemy, że:

• $x = a_1$
• $y = a_2 = a_1 + r = x + r$
• $z = a_6 = a_1 + 5r = x + 5r$

Ponadto ciąg $(x, y, z)$ jest geometryczny, co oznacza, że kwadrat środkowego wyrazu jest iloczynem wyrazów skrajnych:

Mamy też informację o sumie:

Podstawiamy wyrażenia z $r$ do warunku na ciąg geometryczny:

Rozwijamy wzory:

Redukujemy $x^2$ i porządkujemy:

Stąd mamy dwa przypadki: $r = 0$ lub $r = 3x$.

Gdyby $r = 0$, to ciąg byłby stały ( $x=y=z$), a w treści podano, że jest on rosnący. Zatem odrzucamy $r = 0$.

Przyjmujemy:

Korzystając z zależności $r = 3x$, obliczamy:

• $y = x + r = x + 3x = 4x$
• $z = x + 5r = x + 5(3x) = x + 15x = 16x$

Sprawdźmy, czy ciąg $(x, 4x, 16x)$ jest geometryczny: $(4x)^2 = 16x^2$ oraz $x \cdot 16x = 16x^2$. Zgadza się. Iloraz $q = 4$, więc dla $x > 0$ ciąg będzie rosnący.

Podstawiamy wyznaczone wartości do równania sumy:

Dzielimy przez 21:

Teraz obliczamy pozostałe liczby:

Niech $\alpha$ oznacza miarę kąta $BAC$. Z treści zadania wiemy, że $|\sphericalangle ABC| = 2\alpha$.

Poprowadźmy dwusieczną kąta $ABC$, która przecina bok $AC$ w punkcie $D$. Dwusieczna dzieli kąt $2\alpha$ na dwa kąty o mierze $\alpha$:

Zauważmy, że w trójkącie $ABD$ kąty przy podstawie $AB$ są równe (

). Oznacza to, że trójkąt $ABD$ jest równoramienny i:

Rozważmy trójkąty $ABC$ oraz $BDC$:

• Kąt przy wierzchołku $C$ jest wspólny dla obu trójkątów.

• $|\sphericalangle BAC| = \alpha$ oraz $|\sphericalangle DBC| = \alpha$.

Na mocy cechy kąt-kąt-kąt (KKK) trójkąty te są podobne:

Z podobieństwa wynika proporcja odpowiednich boków:

Z powyższych proporcji wyznaczamy długości odcinków $DC$ i $BD$:

Z własności trójkąta równoramiennego $ABD$ wiemy, że $|AD| = |BD|$. Zapisujemy długość boku $AC$ jako sumę odcinków:

Podstawiamy wyznaczone wyrażenia (pamiętając, że $|AD| = |BD|$):

Mnożymy obie strony równania przez $|AC|$:

Co kończy dowód.

Aby uprościć obliczenia, umieśćmy kwadrat w układzie współrzędnych kartezjańskich:

Punkt $E$ jest środkiem boku $CD$, więc jego współrzędne to:

Wyznaczmy równania prostych zawierających odcinki istotne dla zadania:

Zauważmy, że punkt $G$ leży na odcinku $FB$ (ponieważ $x_F = a/3 < x_G = a/2 < x_B = a$). Oznacza to, że trójkąt $ABF$ jest sumą trójkątów $ABG$ i $AGF$.

Możemy obliczyć pole $AGF$ jako różnicę pól:

Obliczamy pole $AGF$:

Figura $CEFG$ (czworokąt) wraz z trójkątem $AGF$ tworzy trójkąt $ACE$.

Obliczmy pole trójkąta $ACE$:

• Podstawa $CE$ ma długość $\frac{a}{2}$.
• Wysokość opuszczona z wierzchołka $A$ na prostą zawierającą podstawę $CE$ (czyli bok $CD$) jest równa bokowi kwadratu $a$.

Pole figury $CEFG$ to różnica pola trójkąta $ACE$ i trójkąta $AGF$:

Skorzystamy ze wzoru na sinus podwojonego kąta: $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$.

Dla $\sin(4x)$ mamy:

Zatem lewa strona przyjmuje postać:

Wyłączamy wspólny czynnik przed nawias:

Chcemy uzależnić prawą stronę od funkcji kąta $2x$. Skorzystamy ze wzoru na cosinus podwojonego kąta: $\cos(2x) = 2\cos^2 x - 1$.

Przekształcamy ten wzór, aby wyznaczyć $4\cos^2 x$:

Podstawiamy to do prawej strony równania:

Przyrównujemy przekształcone strony $L = P$:

Przenosimy wszystko na jedną stronę:

Zauważamy wspólny czynnik $(2\cos(2x) - 1)$ i wyłączamy go przed nawias:

Iloczyn jest równy zero, gdy jeden z czynników jest równy zero.

Rozważamy przedział dla zmiennej $2x$. Skoro $x \in [0, 2\pi]$, to $2x \in [0, 4\pi]$.

W przedziale $[0, 4\pi]$ cosinus przyjmuje wartość $\frac{1}{2}$ dla kątów postaci $\frac{\pi}{3} + 2k\pi$ oraz $\frac{5\pi}{3} + 2k\pi$.

• $2x = \frac{\pi}{3} \implies x = \frac{\pi}{6}$
• $2x = \frac{5\pi}{3} \implies x = \frac{5\pi}{6}$
• $2x = \frac{7\pi}{3} \implies x = \frac{7\pi}{6}$ (kolejny okres)
• $2x = \frac{11\pi}{3} \implies x = \frac{11\pi}{6}$ (kolejny okres)

W przedziale $[0, 4\pi]$ sinus przyjmuje wartość 1 dla:

• $2x = \frac{\pi}{2} \implies x = \frac{\pi}{4}$
• $2x = \frac{5\pi}{2} \implies x = \frac{5\pi}{4}$ (kolejny okres)

Zbieramy wszystkie rozwiązania należące do przedziału $[0, 2\pi]$ i porządkujemy je rosnąco:

Ponieważ punkt $S$ leży na prostej $y = x + 1$, jego współrzędne możemy zapisać przy użyciu jednej niewiadomej:

Mamy dane:

• Promień okręgu: $r = |SB| = |SC| = \sqrt{5}$.

• Punkt $A = (1, 2)$.

Proste $AB$ i $AC$ są styczne do okręgu, co oznacza, że promienie poprowadzone do punktów styczności są prostopadłe do stycznych:

Czworokąt $ABSC$ składa się z dwóch trójkątów prostokątnych: $\triangle ABS$ i $\triangle ACS$. Trójkąty te są przystające (mają wspólną przeciwprostokątną $AS$ i przyprostokątne długości $r$).

Zatem pole czworokąta to suma pól tych trójkątów:

Pole trójkąta prostokątnego $ABS$ wyraża się wzorem $\frac{1}{2} \cdot |SB| \cdot |AB|$. Stąd pole czworokąta:

Wiemy, że $P_{ABSC} = 15$ oraz $r = \sqrt{5}$. Podstawiamy dane:

Wyznaczamy długość odcinka stycznej $|AB|$:

W trójkącie prostokątnym $ABS$ korzystamy z twierdzenia Pitagorasa:

Podstawiamy obliczone długości:

(Zauważmy, że $|AS| = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$, co jest większe od $\sqrt{5}$, więc warunek zadania jest spełniony).

Korzystamy ze wzoru na kwadrat odległości dwóch punktów $A(1, 2)$ i $S(x_S, x_S+1)$:

Przyrównujemy do obliczonej wcześniej wartości 50:

Otrzymujemy dwa przypadki:

Obliczamy rzędne ($y$) dla obu przypadków, korzystając z zależności $y_S = x_S + 1$:

• Dla $x_S = 6$: $y_S = 6 + 1 = 7$. Punkt $S_1 = (6, 7)$.
• Dla $x_S = -4$: $y_S = -4 + 1 = -3$. Punkt $S_2 = (-4, -3)$.