Matura Podstawowa Maj 2026
Rozwiązania i Odpowiedzi

Korzystamy z własności pierwiastków: iloczyn pierwiastków tego samego stopnia jest równy pierwiastkowi z iloczynu. Zapiszmy mnożenie pod jednym pierwiastkiem:

Otrzymany ułamek $\frac{50}{8}$ skracamy przez 2:

Teraz wyciągamy pierwiastek oddzielnie z licznika i z mianownika:

Druga część wyrażenia to potęga z minusem. Zgodnie ze wzorem $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, odwracamy podstawę potęgi:

Na koniec dodajemy do siebie wartości wyliczone w obu poprzednich krokach:

Prawidłowa odpowiedź to: C. 3.

Aby obliczyć kapitał końcowy, korzystamy ze wzoru na procent składany:

gdzie:

• $K$ – kapitał początkowy (10 000 zł)
• $p$ – oprocentowanie roczne (6%)
• $n$ – liczba lat (2 lata)

Podstawiamy dane do wzoru:

Po dwóch latach na koncie będzie 11 236 zł.

Zwróć uwagę, że pytanie w zadaniu dotyczy wyłącznie wartości doliczonych odsetek, a nie całego kapitału. Musimy zatem od kapitału końcowego odjąć to, co wpłaciliśmy na początku:

Prawidłowa odpowiedź to: B.

Zamieniamy pierwiastki na potęgi o wykładniku ułamkowym. Pamiętamy z własności potęg, że $\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$. Zacznijmy od wewnętrznego pierwiastka:

Wewnątrz dużego pierwiastka mamy mnożenie $5 \cdot \sqrt{5}$, co możemy zapisać jako:

Przy mnożeniu potęg o tej samej podstawie, wystarczy dodać ich wykładniki:

Całe nasze początkowe wyrażenie to pierwiastek z wartości, którą przed chwilą policzyliśmy. Zapisujemy główny pierwiastek również jako potęgę $\frac{1}{2}$:

Gdy potęgujemy potęgę, wykładniki musimy przez siebie pomnożyć:

Prawidłowa odpowiedź to: C.

Mamy do czynienia z odejmowaniem logarytmów o tej samej podstawie (podstawa 8). Możemy skorzystać ze wzoru:

Podstawiamy nasze liczby:

Skracamy ułamek $\frac{4}{32}$ przez 4:

Zastanawiamy się, do jakiej potęgi należy podnieść liczbę 8, aby otrzymać $\frac{1}{8}$. Wiemy, że odwrotność liczby to potęga z ujemnym wykładnikiem:

Zatem:

Prawidłowa odpowiedź to: B.

Aby cokolwiek powiedzieć o liczbie $4^{12} \cdot 5^{24}$, zapiszmy ją w prostszej postaci. Zamieńmy podstawę 4 na potęgę liczby 2:

Podstawmy to do naszego głównego równania:

Mamy teraz takie same wykładniki. Możemy wrzucić podstawy do jednego nawiasu i wymnożyć:

Czy liczba $10^{24}$ dzieli się przez 20? Zapiszmy ją jako iloczyn tak, by „wyciągnąć” liczbę 20 (lub 100):

Liczba 100 jest podzielna przez 20 ($100 : 20 = 5$). Ponieważ jeden z czynników jest podzielny przez 20, cała liczba również.

Pierwsze stwierdzenie jest prawdziwe (P).

Zastanówmy się, ile cyfr w zapisie dziesiętnym mają potęgi liczby 10:

• $10^1 = 10$ (1 zero, czyli łącznie 2 cyfry)
• $10^2 = 100$ (2 zera, czyli łącznie 3 cyfry)
• $10^3 = 1000$ (3 zera, czyli łącznie 4 cyfry)

Widzimy regułę: liczba $10^n$ ma dokładnie $n + 1$ cyfr (jedna cyfra "1" i $n$ zer). Zatem liczba $10^{24}$ będzie miała jedną cyfrę "1" i aż 24 zera, co daje nam łącznie:

Drugie stwierdzenie również jest prawdziwe (P).

Poprawne odpowiedzi to: P, P.

Zamiast od razu podstawiać skomplikowaną liczbę pod $x$ i podnosić ją do kwadratu, sprawdźmy, czy możemy uprościć nasze wyrażenie. Trójmian $x^2 + 10x + 25$ możemy zwinąć korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Teraz podstawiamy naszą wartość $x = \sqrt{2} - 5$ do uproszczonego wzoru:

Liczby $-5$ i $5$ całkowicie się redukują, pozostawiając tylko:

Podniesienie pierwiastka kwadratowego do kwadratu daje po prostu liczbę podpierwiastkową:

Prawidłowa odpowiedź to: A.

Dowód rozpoczynamy od zapisania naszego wyrażenia w postaci iloczynowej, co ułatwi nam analizę podzielności. Z obu wyrazów (7 i 21) możemy wyłączyć przed nawias wspólną liczbę 7, a także zmienną $n$:

Aby liczba była podzielna przez 14, musi dzielić się jednocześnie przez 7 oraz przez 2 (ponieważ $14 = 7 \cdot 2$).

Z zapisu $7 \cdot n(n + 3)$ wprost wynika, że całe wyrażenie jest wielokrotnością liczby 7. Aby udowodnić podzielność przez 14, musimy jedynie wykazać, że pozostała część, czyli iloczyn $n(n + 3)$, jest liczbą parzystą (podzielną przez 2).

Rozpatrzmy dwa możliwe przypadki dla dowolnej liczby całkowitej $n$:

• Przypadek 1: Gdy $n$ jest liczbą parzystą.
  Wtedy w mnożeniu $n(n+3)$ pierwszy czynnik jest parzysty. Iloczyn dowolnej liczby całkowitej i liczby parzystej zawsze daje wynik parzysty. Zatem w tym przypadku całe wyrażenie jest parzyste.

• Przypadek 2: Gdy $n$ jest liczbą nieparzystą.
  Wtedy wyrażenie w nawiasie $(n+3)$ jest sumą dwóch liczb nieparzystych (nieparzysta + nieparzysta = parzysta), więc to ono przyjmuje wartość parzystą. Mnożymy liczbę nieparzystą przez parzystą, co znowu daje wynik parzysty.

Z powyższej analizy wynika, że jeden z czynników w iloczynie $n(n+3)$ jest zawsze parzysty. Oznacza to, że dla każdego $n \in \mathbb{Z}$ wartość ta dzieli się przez 2. Możemy to zapisać matematycznie jako $2k$ (gdzie $k$ to dowolna liczba całkowita).

Skoro udowodniliśmy, że $n(n+3) = 2k$, możemy podstawić to do naszego wyjściowego wyrażenia:

Zapisaliśmy początkowe wyrażenie jako iloczyn liczby 14 i pewnej liczby całkowitej $k$. Jest to dowód na to, że niezależnie od wybranego $n$, liczba ta zawsze będzie podzielna przez 14.

Równanie jest podane w postaci iloczynowej. Iloczyn kilku czynników wynosi 0 wtedy i tylko wtedy, gdy co najmniej jeden z tych czynników jest równy 0. Przyrównujemy każdy nawias do zera:

Nasze równanie ma trzy rozwiązania: $-3$, $m$ oraz $-2$.

Z treści zadania dowiadujemy się, że suma wszystkich rozwiązań tego równania wynosi 0. Zapiszmy to za pomocą matematycznego równania, dodając do siebie otrzymane przed chwilą pierwiastki:

Rozwiązujemy ułożone równanie z jedną niewiadomą:

Prawidłowa odpowiedź to: C.

Zanim zaczniemy rozwiązywać równanie wymierne, musimy upewnić się, że mianownik nie jest równy zero (pamiętamy, że nie wolno dzielić przez zero):

Zatem $x \in \mathbb{R} \setminus \{\frac{1}{3}\}$. (Z tego powodu odpowiedź A odpada już na samym początku).

Mamy dwa ułamki, które są sobie równe. Możemy rozwiązać to równanie mnożąc "na krzyż":

Wymnażamy liczby przez nawiasy:

Przenosimy niewiadome na prawą stronę, a liczby całkowite na lewą:

Wynik $x = 12$ należy do dziedziny równania.

Prawidłowa odpowiedź to: D.

Aby rozwiązać nierówność kwadratową, przenosimy wszystkie wyrazy na lewą stronę tak, aby po prawej stronie zostało tylko 0:

Redukujemy wyrazy podobne:

Traktujemy nierówność jak równanie kwadratowe i obliczamy wyróżnik (deltę). Wypiszmy współczynniki: $a = 3$, $b = -2$, $c = -8$.

Ponieważ $\Delta > 0$, funkcja ma dwa miejsca zerowe. Pierwiastek z delty to $\sqrt{\Delta} = 10$.

Współczynnik kierunkowy $a = 3 > 0$, więc ramiona paraboli są skierowane w górę. Znak nierówności to $\ge$ (większe lub równe), co oznacza, że szukamy przedziałów, w których wykres znajduje się nad osią X lub jej dotyka (wartości nieujemne).

Odczytujemy z wykresu ramiona skierowane w górę na zewnątrz od miejsc zerowych (włącznie z nimi):

Z zadania wiemy, że koszty wyniosły 25% wpływów. Oznacza to, że kwota, która organizatorom pozostała na czysto, stanowi 75% wszystkich wpływów ze sprzedaży (ponieważ $100\% - 25\% = 75\%$).

Wiemy, że ta pozostała kwota to 4665 zł. Ułóżmy równanie, w którym $W$ to całkowite wpływy:

Dzieląc obie strony przez 0,75 (lub zamieniając to na ułamek zwykły $\frac{3}{4}$ i mnożąc przez jego odwrotność), otrzymujemy:

Całkowite wpływy ze sprzedaży biletów wyniosły 6220 zł.

Wprowadźmy do zadania niewiadomą. Ponieważ pytanie dotyczy biletów ulgowych, najwygodniej będzie oznaczyć je jako $x$:

• Liczba biletów ulgowych: $x$
• Liczba biletów normalnych: $200 - x$ (skoro łącznie sprzedano 200 biletów)

Zapiszmy równanie określające sumę wpływów, mnożąc liczbę biletów przez ich ceny z cennika:

Rozwiązujemy ułożone równanie. Na początek wymnażamy nawias:

Redukujemy $x$ i przenosimy wolne liczby na prawą stronę równania:

Odpowiedź: Na to przedstawienie sprzedano 78 biletów ulgowych.

Rozwiązanie równania polega na znalezieniu takiego argumentu na osi $X$, dla którego wartość funkcji (wysokość na osi $Y$) wynosi dokładnie 3.

Spoglądamy na wysokość $y = 3$ i wyobrażamy sobie poziomą linię. Zauważamy, że na tej wysokości znajduje się punkt $(1, 3)$ na lewym fragmencie wykresu. Po prawej stronie w punkcie $(2, 3)$ kółko jest otwarte, co oznacza, że funkcja tam tej wartości nie przyjmuje.

Zatem jedynym rozwiązaniem jest $x = 1$.

Teraz ograniczamy nasz wzrok tylko do wąskiego paska na osi X, od $x = 2$ do $x = 3$.

• Dla $x = 2$ mamy zamalowaną kropkę na wysokości $y = 4$.
• Dla argumentów nieco większych od 2 (na prawym ramieniu wykresu), funkcja zjeżdża w dół zaczynając tuż pod poziomem $y = 3$ do wartości $y = 2$ dla $x = 3$.

W całym tym przedziale wykres nie wznosi się nigdzie wyżej niż w punkcie startowym $x = 2$.

Zatem największa wartość wynosi 4.

Zbiór wartości (często oznaczany jako $ZW$) odczytujemy na pionowej osi $Y$. Sprawdzamy najniższy i najwyższy punkt naszego wykresu:

• Najniższy punkt znajduje się na wysokości $y = -2$ (kropka jest zamalowana, co oznacza nawias domknięty).
• Najwyższy punkt znajduje się na wysokości $y = 4$ (kropka również zamalowana, nawias domknięty).

Pomiędzy tymi dwoma skrajnymi wartościami wykres jest ciągły i przyjmuje każdą z wartości (nie ma przerw w rzutowaniu funkcji na oś Y).

Zbiorem wartości jest przedział $[-2, 4]$.

Tym razem szukamy argumentów (na osi $X$), dla których wykres funkcji znajduje się ściśle nad linią $y = 1$.

• Lewe ramię wykresu wznosi się i przecina poziom 1 dla $x = -1$. Ponieważ nierówność to $>$ (ostro większe), bierzemy to miejsce z nawiasem otwartym: od $(-1$.
• Wykres pozostaje wyżej wzdłuż całego wzniesienia, przechodzi przez szczelinę między kropkami (gdzie w punkcie $x=2$ wartość wynosi aż 4, więc nadal jest większa od 1) i zaczyna opadać.
• Prawe ramię przecina wysokość $y = 1$ opadając w dół dla $x = 4$. Tutaj kończymy nasz zbiór, zamykając go nawiasem otwartym: $4)$.

Zbiorem argumentów jest przedział $(-1, 4)$.

Współczynnik $a$ w funkcji liniowej odpowiada za jej kierunek. Jeśli funkcja jest rosnąca, to $a > 0$. Jeśli jest malejąca, to $a < 0$.

Patrząc na wykres od lewej do prawej strony, widzimy, że prosta "schodzi w dół" – funkcja jest malejąca. Wynika z tego bezpośrednio, że współczynnik $a$ musi być ujemny.

Pierwsze stwierdzenie jest zatem fałszywe (F).

Współczynnik $b$ w funkcji liniowej $y = ax + b$ określa dokładny punkt, w którym wykres przecina pionową oś $Y$ (współrzędne tego punktu to zawsze $(0, b)$).

Z wykresu odczytujemy, że prosta przecina oś $Y$ w punkcie $(0, -3)$. Oznacza to, że $b = -3$, a więc jest to liczba ujemna.

Drugie stwierdzenie również jest fałszywe (F).

Poprawne odpowiedzi to: F, F.

Jedną z najważniejszych własności funkcji liniowej jest to, że jej współczynnik kierunkowy $a$ jest równy tangensowi kąta nachylenia prostej do dodatniej półosi osi X:

Naszym zadaniem jest więc po prostu dokładne wyliczenie współczynnika $a$.

Aby obliczyć $a$, odczytajmy z wykresu dwa pewne punkty kratowe (zgodnie z poleceniem z poprzedniej części zadania mają one całkowite współrzędne):

• Punkt przecięcia z osią X: $A = (-2, 0)$
• Punkt przecięcia z osią Y: $B = (0, -3)$

Podstawiamy te współrzędne do wzoru na współczynnik kierunkowy $a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$:

Skoro $a = -\frac{3}{2}$, to z naszej własności wynika, że:

Prawidłowa odpowiedź to: A.

Znamy współrzędne wierzchołka paraboli $W = (p, q) = (3, -2)$. Możemy zatem zapisać wzór funkcji $f$ wykorzystując jej postać kanoniczną $f(x) = a(x - p)^2 + q$:

Wiemy, że $g(x) = f(x + 1)$. Oznacza to, że we wzorze funkcji $f$ w miejsce $x$ musimy wstawić wyrażenie $(x + 1)$:

Z treści zadania wynika, że jednym z miejsc zerowych funkcji $g$ jest liczba 0. Zatem zachodzi warunek $g(0) = 0$. Podstawiamy te dane do naszego wzoru:

Znamy już pełny wzór funkcji $f$ w postaci kanonicznej:

Aby otrzymać postać ogólną ($f(x) = ax^2 + bx + c$), musimy podnieść nawias do kwadratu (korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy) i wymnożyć wszystkie elementy:

Znamy wzór ogólny ciągu: $a_n = 3n + 5$. Aby dowiedzieć się, jakie wartości kryją się pod wyrazami $a_1$ i $a_9$, podstawiamy odpowiednio 1 oraz 9 w miejsce $n$:

Nasz ciąg geometryczny zaczyna się więc od liczb: $(8, 32, a_k)$.

W ciągu geometrycznym każdy kolejny wyraz powstaje poprzez pomnożenie poprzedniego przez stały iloraz $q$. Obliczmy ten iloraz, dzieląc drugi wyraz przez pierwszy:

Mając iloraz $q = 4$, możemy obliczyć wartość trzeciego wyrazu $a_k$. Wystarczy pomnożyć drugi wyraz ($a_9$) przez 4:

Wiemy już, że wyraz $a_k$ ma wartość 128. Z drugiej strony, z początkowego wzoru wiemy, że $a_k = 3k + 5$. Przyrównajmy do siebie te dwa zapisy, aby obliczyć $k$:

Przenosimy 5 na prawą stronę:

Odpowiedź: Szukana wartość to $k = 41$.

Korzystamy ze wzoru na $n$-ty wyraz ciągu arytmetycznego: $a_n = a_1 + (n - 1)r$. Dla piątego wyrazu wygląda on następująco:

Podstawiamy dane z zadania ($a_1 = 1$ oraz $a_5 = 17$):

Teraz, znając pierwszy wyraz ($a_1 = 1$) oraz różnicę ($r = 4$), możemy obliczyć wyraz dziewiąty ($a_9$):

Prawidłowa odpowiedź to: B.

Skorzystajmy ze wzoru na $n$-ty wyraz ciągu geometrycznego: $a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$. Zapiszmy za jego pomocą trzeci i szósty wyraz:

• $a_3 = a_1 \cdot q^2$
• $a_6 = a_1 \cdot q^5$

Wstawmy je do równania z treści zadania:

Upraszczając (mnożymy współczynniki i dodajemy wykładniki potęg):

Teraz rozpiszmy w ten sam sposób iloczyn, którego wartości szukamy, czyli $a_2 \cdot a_7$:

• $a_2 = a_1 \cdot q^1$
• $a_7 = a_1 \cdot q^6$

Mnożymy je przez siebie:

Ponownie upraszczamy wyrażenie:

Zauważmy, że oba iloczyny ($a_3 \cdot a_6$ oraz $a_2 \cdot a_7$) po uproszczeniu dają dokładnie to samo wyrażenie: $a_1^2 \cdot q^7$.

Skoro wiemy z pierwszego kroku, że wartość tego wyrażenia to 18, oznacza to, że szukany iloczyn również wynosi 18.

Odpowiedź: Iloczyn $a_2 \cdot a_7$ jest równy 18.

Sinus kąta ostrego w trójkącie prostokątnym to stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciwko tego kąta do długości przeciwprostokątnej.

Dla naszego kąta $\gamma$ (przy wierzchołku $C$):

Znamy długość przeciwprostokątnej $|AC| = 2\sqrt{10}$, ale brakuje nam długości przyprostokątnej $|AB|$.

Korzystamy z Twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta $ABC$:

Podstawiamy znane wartości:

Podnosimy do kwadratu (pamiętając, że $(2\sqrt{10})^2 = 4 \cdot 10 = 40$):

Mając wszystkie potrzebne długości boków, wracamy do wzoru na sinus z pierwszego kroku:

Skracamy ułamek przez 2:

Prawidłowa odpowiedź to: C.

Kąt $CDA$ (o mierze 50°) to kąt wpisany oparty na krótszym łuku $AC$.

Kąt $COA$ to kąt środkowy oparty na dokładnie tym samym łuku. Zgodnie z twierdzeniem o kątach w okręgu, miara kąta środkowego jest zawsze dwa razy większa od miary kąta wpisanego opartego na tym samym łuku.

Z treści zadania wiemy, że punkt $B$ leży na tym samym łuku $AC$. Oznacza to, że odcinek $OB$ dzieli nasz duży kąt środkowy $COA$ na dwa mniejsze kąty, które leżą obok siebie:

Znamy już miarę całego kąta ($100^\circ$) oraz miarę jednej z jego części, podaną na rysunku ($|\angle COB| = 30^\circ$).

Aby obliczyć miarę kąta $BOA$ (zaznaczonego na fioletowo), wystarczy od miary całego kąta $COA$ odjąć miarę znanego kąta $COB$:

Prawidłowa odpowiedź to: C.

Z treści zadania wiemy, że proste $k$ i $l$ są do siebie równoległe, a przecinają je dwie proste $m$ i $n$, zbiegające się w punkcie $O$.

Taka konstrukcja to klasyczny przykład zastosowania Twierdzenia Talesa (lub podobieństwa trójkątów $\Delta AOD$ i $\Delta COB$ na mocy cechy Kąt-Kąt-Kąt). Wynika z nich bezpośrednio, że stosunek długości odpowiednich odcinków na jednej prostej jest równy stosunkowi długości odpowiednich odcinków na drugiej prostej.

Zapisujemy proporcję zestawiając ze sobą odpowiednie odcinki z obu stron punktu przecięcia $O$:

Podstawiamy wartości liczbowe podane w zadaniu:

Możemy najpierw skrócić ułamek po lewej stronie przez 4:

Mnożymy równanie obustronnie przez 6, aby wyznaczyć szukaną długość:

Prawidłowa odpowiedź to: B.

Odcinek $MN$ jest dwusieczną kąta $LMK$. Oznacza to, że dzieli on ten kąt na dwie równe części. Wprowadźmy oznaczenie:

Najprostszym sposobem na powiązanie boków i kątów z polem jest wzór: $P = \frac{1}{2}xy \sin \gamma$ (połowa iloczynu długości dwóch boków i sinusa kąta między nimi).

Zapiszmy ten wzór dla obu małych trójkątów, na które został podzielony nasz główny trójkąt, traktując odcinek $MN$ jako wspólny bok:

Mamy wykazać, że stosunek tych pól wynosi $\frac{a}{b}$. Podzielmy zatem zapisane przed chwilą równania przez siebie:

Zauważamy, że w liczniku i mianowniku znajduje się wiele tych samych elementów: ułamek $\frac{1}{2}$, długość wspólnego boku $|MN|$ oraz wartość $\sin \alpha$. Wszystkie te elementy skracają się ze sobą:

Otrzymaliśmy wymaganą równość, co kończy nasz dowód.

Promień $R$ okręgu opisanego na trójkącie równobocznym o boku $a$ stanowi dokładnie $\frac{2}{3}$ jego wysokości. Korzystając z gotowego wzoru z karty wzorów, możemy to zapisać jako:

Z treści zadania wiemy, że promień $R = 9\sqrt{3}$. Podstawiamy tę wartość do naszego wzoru:

Mnożymy obie strony równania przez 3, aby pozbyć się mianownika:

Dzielimy obustronnie przez $\sqrt{3}$, by wyznaczyć $a$: