Matura Podstawowa Maj 2024
Rozwiązania i Odpowiedzi

Rozpisujemy nierówność z wartością bezwzględną na dwa przypadki.

Nierówność $|x - a| \ge b$ oznacza, że odległość od $a$ jest większa lub równa $b$.

Rozwiązujemy obie nierówności:

Otrzymujemy sumę przedziałów:

Szukamy rysunku, który spełnia dwa warunki:

1. Przedziały muszą być skierowane "na zewnątrz" (od liczb w lewo i w prawo), ponieważ znak nierówności to $\ge$.
2. Kropki muszą być zamalowane (przedziały domknięte), ponieważ nierówność jest nieostra ($\ge$).

Warunki te spełnia jedynie rysunek w odpowiedzi B.

Prawidłowa odpowiedź to B.

Zauważamy, że $16 = 2^4$ oraz $8 = 2^3$. Zatem:

Podstawiamy te wartości do wyjściowego wyrażenia:

Korzystamy ze wzoru na potęgowanie potęgi $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

Korzystamy ze wzoru na mnożenie potęg o tej samej podstawie $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

Prawidłowa odpowiedź to B.

Korzystamy ze wzorów skróconego mnożenia na kwadrat sumy $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

• $(n+1)^2 = n^2 + 2n + 1$
• $(n+2)^2 = n^2 + 4n + 4$

Zapisujemy całe wyrażenie:

Sumujemy poszczególne potęgi:

Aby pokazać resztę z dzielenia przez 3, rozbijamy wyraz wolny $5$ na sumę $3 + 2$:

Teraz wyciągamy czynnik 3 przed nawias z trzech pierwszych składników:

Liczba $3(n^2 + 2n + 1)$ jest całkowitą wielokrotnością liczby 3, więc jest podzielna przez 3 bez reszty.

Dodatkowy składnik $+2$ oznacza, że cała liczba przy dzieleniu przez 3 daje resztę 2.

Chcemy obliczyć wartość wyrażenia $x = \log_{\sqrt{3}} 9$. Z definicji logarytmu oznacza to, że $(\sqrt{3})^x = 9$.

Zapiszmy podstawę i liczbę logarytmowaną jako potęgi liczby 3:

• $\sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}}$
• $9 = 3^2$

Podstawiamy potęgi do równania:

Porównujemy wykładniki:

Mnożymy obustronnie przez 2:

Prawidłowa odpowiedź to C.

Rozwijamy oba nawiasy, korzystając ze wzorów na kwadrat sumy $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$ oraz kwadrat różnicy $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:

• $(2a + b)^2 = 4a^2 + 4ab + b^2$
• $(2a - b)^2 = 4a^2 - 4ab + b^2$

Pamiętamy o zmianie znaków w drugim nawiasie (przez minus stojący przed nim):

Skracamy wyrazy przeciwne ($4a^2$ i $-4a^2$ oraz $b^2$ i $-b^2$):

Prawidłowa odpowiedź to B.

Aby uprościć obliczenia, mnożymy obie strony nierówności przez najmniejszą wspólną wielokrotność mianowników (2 i 3), czyli przez 6:

Przenosimy niewiadome na lewą stronę, a liczby na prawą (pamiętając o zmianie znaków):

Dzielimy obie strony przez $-3$. Pamiętamy, że dzieląc nierówność przez liczbę ujemną, zmieniamy zwrot nierówności na przeciwny:

Zapisujemy rozwiązanie w postaci przedziału:

Prawidłowa odpowiedź to D.

Mianownik ułamka nie może być zerem. Sprawdzamy, dla jakich $x$ mianownik się zeruje:

Stąd wykluczamy liczby:

Dziedzina: $D = \mathbb{R} \setminus \{-2, 3\}$.

Ułamek jest równy zero tylko wtedy, gdy jego licznik jest równy zero:

Sprawdzamy, czy otrzymane rozwiązanie należy do dziedziny. Liczba $-1$ nie jest ani $-2$, ani $3$, więc jest poprawnym rozwiązaniem.

Równanie ma zatem dokładnie jedno rozwiązanie.

Prawidłowa odpowiedź to B.

Sprawdzamy, czy iloczyn $F(x) \cdot G(x)$ jest równy $W(x)$.

Otrzymany wynik jest identyczny z wielomianem $W(x)$.

Stwierdzenie jest prawdziwe (P).

Sprawdzamy, czy $W(-1) = 0$. Podstawiamy $x = -1$ do wzoru:

Wynik jest różny od zera ($-6 \neq 0$).

Stwierdzenie jest fałszywe (F).

Grupujemy wyrazy po dwa (pierwszy z drugim, trzeci z czwartym), aby wyłączyć wspólny czynnik przed nawias.

Z pierwszego nawiasu wyłączamy $x^2$, a z drugiego $3$:

Teraz wspólnym czynnikiem jest nawias $(x - 2)$. Wyłączamy go przed całość:

Iloczyn jest równy zero, gdy co najmniej jeden z czynników jest zerem:

Rozwiązujemy pierwsze równanie:

Rozwiązujemy drugie równanie ($x^2 = 3$):

Równanie ma trzy rozwiązania:

Łącznie posadzono 1960 drzew. Suma drzew w pierwszym sadzie ( $x$) i w drugim sadzie ($y$) wynosi 1960.

To równanie występuje we wszystkich odpowiedziach.

Po roku liczba drzew zmieniła się:

• W pierwszym sadzie uschło 5%, więc zostało $100\% - 5\% = 95\%$. Liczba pozostałych drzew to $0{,}95x$.

• W drugim sadzie uschło 10%, więc zostało $100\% - 10\% = 90\%$. Liczba pozostałych drzew to $0{,}9y$.

Z treści zadania wiemy, że: "Liczba drzew, które pozostały w drugim sadzie ($0{,}9y$), stanowiła 60% ($0{,}6$) liczby drzew, które pozostały w pierwszym sadzie ($0{,}95x$)."

Zapisujemy to matematycznie:

Równanie to jest tożsame z równaniem w odpowiedzi A (strony są zamienione miejscami):

Prawidłowa odpowiedź to A.

Obie proste na wykresie są malejące (idą w dół od lewej do prawej). Oznacza to, że ich współczynnik kierunkowy $a$ musi być ujemny ($a < 0$ ).

Dodatkowo proste są równoległe, więc muszą mieć ten sam współczynnik kierunkowy ($a_1 = a_2$).

• Opcje B i C odpadają, ponieważ mają dodatnie współczynniki kierunkowe ( $\frac{3}{2}$).

• Opcja D odpada, ponieważ współczynniki są różne ( $-\frac{3}{2}$ i $\frac{3}{2}$).

• Tylko w opcji A oba współczynniki są ujemne i równe ( $-\frac{3}{2}$).

Sprawdźmy punkty przecięcia z osią OY (współczynnik $b$):

• Górna prosta przecina oś OY w punkcie dodatnim (na rysunku widać $y=3$). Równanie $y = -\frac{3}{2}x + 3$ pasuje.
• Dolna prosta przecina oś OY w punkcie ujemnym (na rysunku widać $y=-1$). Równanie $y = -\frac{3}{2}x - 1$ pasuje.

Prawidłowa odpowiedź to A.

Funkcja liniowa $y = ax + b$ jest malejąca, gdy jej współczynnik kierunkowy $a$ jest ujemny ( $a < 0$).
W naszej funkcji współczynnik kierunkowy to wyrażenie stojące przy $x$:

Rozwiązujemy nierówność $-2k + 3 < 0$:

Dzielimy obie strony przez $-2$. Pamiętamy o zmianie zwrotu nierówności:

Zapisujemy rozwiązanie w postaci przedziału: $(\frac{3}{2}, +\infty)$.

Prawidłowa odpowiedź to D.

Obliczamy miejsce zerowe funkcji $f(x) = 3x + 6$, przyrównując ją do zera:

Skoro funkcje mają to samo miejsce zerowe, to dla $x = -2$ funkcja $g(x)$ również musi przyjmować wartość 0.

Podstawiamy $x = -2$ do wzoru $g(x) = ax + 7$:

Dzielimy przez -2:

Prawidłowa odpowiedź to D.

Szukamy argumentów $x$, dla których wykres funkcji znajduje się nad osią OX lub ją przecina ($\ge 0$).
Z wykresu odczytujemy miejsca zerowe (punkty, w których parabola przecina oś X):

• $x_1 = -2$
• $x_2 = 4$

Parabola ma ramiona skierowane w dół. Wartości nieujemne (dodatnie i zero) znajdują się "pomiędzy" miejscami zerowymi.

Rozwiązaniem jest przedział domknięty:

Z wykresu odczytujemy współrzędne wierzchołka $W = (p, q)$.

Wzór funkcji w postaci kanonicznej to $f(x) = a(x-p)^2 + q$. Podstawiamy $p=1$ i $q=9$:

Parabola ma ramiona skierowane w dół, więc $a < 0$ (w odpowiedziach wszędzie jest minus, czyli $a=-1$).

Ostateczny wzór to $f(x) = -(x-1)^2 + 9$.

Prawidłowa odpowiedź to B.

Oś symetrii paraboli przechodzi przez wierzchołek, czyli jest to prosta $x = p = 1$. Funkcja kwadratowa przyjmuje te same wartości dla argumentów oddalonych o tę samą odległość od osi symetrii.

Sprawdzamy odległość punktu $x = -4$ od osi $x = 1$:

Szukamy drugiego argumentu oddalonego o 5 jednostek od jedynki (w prawą stronę):

Zatem $f(-4) = f(6)$.

Prawidłowa odpowiedź to A.

Wzór $f(x+3)$ oznacza przesunięcie wykresu funkcji $f$ o wektor $[-3, 0]$ (czyli o 3 jednostki w lewo).

Stary wierzchołek: $(1, 9)$.

Nowy wierzchołek: $(1 - 3, 9) = (-2, 9)$.

Na rysunkach w arkuszu (obrazek A-F) szukamy paraboli z wierzchołkiem w $(-2, 9)$. Pasuje wykres A.

Wzór $f(-x)$ oznacza symetrię względem osi OY.

Stary wierzchołek: $(1, 9)$.

Nowy wierzchołek (po odbiciu względem OY): $(-1, 9)$.

Na rysunkach w arkuszu szukamy paraboli z wierzchołkiem w $(-1, 9)$. Pasuje wykres E.

Obliczamy pierwszy wyraz ($n=1$):

Obliczamy trzeci wyraz ($n=3$):

Sprawdzamy zależność:

Pierwszy wyraz jest faktycznie dwa razy większy od trzeciego.

Stwierdzenie jest prawdziwe (P).

Sprawdźmy drugi wyraz ciągu ($n=2$):

Wyraz $a_2$ jest ujemny, więc nie wszystkie wyrazy są dodatnie.

Stwierdzenie jest fałszywe (F).

Pierwszy wyraz $a_1 = 12$, drugi wyraz $a_2 = 6$.

Obliczamy iloraz ciągu ($q$):

Ponieważ pierwszy wyraz jest dodatni, a iloraz $q \in (0, 1)$, każdy kolejny wyraz jest mniejszy od poprzedniego (jest połową poprzedniego).

Ciąg jest malejący. (Odpowiedź B)

W ciągu geometrycznym kwadrat wyrazu środkowego jest równy iloczynowi wyrazów sąsiednich ($a_2^2 = a_1 \cdot a_3$):

Dzielimy obie strony przez 12:

Dodajemy 1 do obu stron:

Poprawna wartość to 2.

Prawidłowa kombinacja to B oraz 2.

Korzystamy ze wzoru na $n$-ty wyraz ciągu arytmetycznego ($a_n = a_1 + (n-1)r$) oraz na sumę $n$ wyrazów ( $S_n = \frac{2a_1 + (n-1)r}{2} \cdot n$).

Mamy dane:

• $a_3 = -1 \implies a_1 + 2r = -1$
• $S_{15} = -165 \implies \frac{2a_1 + 14r}{2} \cdot 15 = -165$

Zajmijmy się drugim równaniem. Skracamy ułamek przez 2:

Dzielimy obie strony przez 15:

Mamy układ dwóch równań liniowych:

Odejmujemy pierwsze równanie od drugiego stronami (metoda przeciwnych współczynników):

Dzielimy przez 5:

Odpowiedź: Różnica tego ciągu wynosi $r = -2$.

Kąt $\alpha$ leży w drugiej ćwiartce ( $90^{\circ} < \alpha < 180^{\circ}$). W drugiej ćwiartce:

• Sinus jest dodatni ($\sin \alpha > 0$) – odp. A jest fałszywa.

• Cosinus jest ujemny ($\cos \alpha < 0$) – odp. D jest fałszywa.

Sprawdźmy iloczyn sinusa i cosinusa:

Zatem $\sin \alpha \cdot \cos \alpha < 0$.

Pierwsza poprawna zależność to B.

Korzystamy z definicji tangensa: $\operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$. Mamy dane $\operatorname{tg} \alpha = -3$, więc:

Mnożymy obie strony przez $\cos \alpha$:

Druga poprawna zależność to F.

Odpowiedź: B oraz F.

W obu składnikach sumy występuje $\sin 20^{\circ}$. Wyłączmy go przed nawias:

Wyrażenie w nawiasie to jedynka trygonometryczna ($\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$):

Zatem całe wyrażenie sprowadza się do:

Prawidłowa odpowiedź to B.

Twierdzenie o dwusiecznej kąta wewnętrznego w trójkącie mówi, że dwusieczna dzieli bok przeciwległy na dwa odcinki, których stosunek długości jest równy stosunkowi długości pozostałych boków trójkąta.

Zapisując to matematycznie dla naszego rysunku:

Podstawiając oznaczenia literowe z zadania:

Mnożymy proporcję "na krzyż":

Prawidłowa odpowiedź to B.

Pole równoległoboku o bokach $a, b$ i kącie $\alpha$ między nimi wyraża się wzorem:

Mamy dane: $a = 4$, $b = 3$, $\alpha = 120^{\circ}$.

Korzystamy ze wzoru redukcyjnego $\sin(180^{\circ} - \alpha) = \sin \alpha$:

Wartość $\sin(60^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$:

Prawidłowa odpowiedź to D.

Kąt wpisany $\sphericalangle ACB$ i kąt środkowy $\sphericalangle ASB$ są oparte na tym samym łuku $AB$. Zgodnie z twierdzeniem o kątach w okręgu, kąt środkowy jest dwa razy większy:

Odcinki $AS$ i $BS$ to promienie okręgu, więc $|AS| = |BS| = r$. Oznacza to, że trójkąt $ASB$ jest równoramienny, a kąty przy jego podstawie są równe:

Suma miar kątów w trójkącie wynosi $180^{\circ}$.

Prawidłowa odpowiedź to C.

Dwie proste o równaniach kierunkowych $y = a_1x + b_1$ oraz $y = a_2x + b_2$ są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych jest równy $(-1)$:

Z równań prostych odczytujemy:

• Dla prostej $k$:

  $a_1 = m + 1$

• Dla prostej $l$:

  $a_2 = -2$

Podstawiamy współczynniki do wzoru:

Dzielimy obie strony przez $-2$:

Przenosimy 1 na prawą stronę:

Prawidłowa odpowiedź to A.

W równoległoboku przekątne przecinają się w połowie swojej długości. Oznacza to, że punkt $P$ jest środkiem odcinka $AC$.