Matura Podstawowa Maj 2025
Rozwiązania i Odpowiedzi

Zamiast od razu podnosić do kwadratu, warto uprościć liczbę $\sqrt{32}$. Zauważmy, że $32 = 16 \cdot 2$.

Podstawiamy uproszczoną wartość do oryginalnego nawiasu:

Odejmujemy pierwiastki:

Podnosimy otrzymany wynik do kwadratu. Pamiętaj, aby podnieść do potęgi zarówno liczbę stojącą przed pierwiastkiem, jak i sam pierwiastek.

Prawidłowa odpowiedź to B.

W liczniku mamy sumę potęg o tej samej podstawie. Aby skrócić ułamek, musimy wyłączyć przed nawias potęgę o najmniejszym wykładniku, czyli $5^{12}$.

Zapisujemy przekształcony licznik w ułamku i skracamy $5^{12}$ z mianownikiem.

Po skróceniu zostaje nam tylko zawartość nawiasu.

Dodajemy liczby w nawiasie:

Prawidłowa odpowiedź to B.

Korzystamy ze wzoru $k \cdot \log_a x = \log_a (x^k)$, aby "schować" dwójkę stojącą przed drugim logarytmem.

Nasze wyrażenie wygląda teraz tak: $\log_{3}108 - \log_{3}4$.

Korzystamy ze wzoru na różnicę logarytmów o tej samej podstawie: $\log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c}$.

Wykonujemy dzielenie i obliczamy wartość logarytmu.

Ponieważ $3^3 = 27$. Prawidłowa odpowiedź to A.

Musimy rozwinąć oba nawiasy, korzystając ze wzorów:

• $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
• $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

Rozpiszmy pierwszy nawias:

Rozpiszmy drugi nawias:

Teraz odejmujemy wyniki. Uwaga na minus przed drugim nawiasem! Zmienia on znaki w środku drugiego wyrażenia.

Opuszczamy nawiasy (zmieniając znaki w drugim):

Sumujemy wyrazy podobne:

• $9x^2 - 4x^2 = 5x^2$
• $12x + 12x = 24x$
• $4 - 9 = -5$

Ostateczny wynik:

Prawidłowa odpowiedź to C.

Skoro $n$ jest liczbą nieparzystą, możemy ją zapisać w postaci:

gdzie $k$ jest liczbą naturalną (lub całkowitą nieujemną). To kluczowy krok w zadaniach na dowodzenie podzielności.

Podstawiamy $2k+1$ w miejsce $n$ w podanym wyrażeniu $3n^2 + 2n + 7$:

Rozpisujemy wyrażenie, pamiętając o kolejności działań (najpierw potęgowanie, potem mnożenie):

Mnożymy nawias przez 3:

Porządkujemy wyrażenie:

• Wyrazy z $k$: $12k + 4k = 16k$
• Wyrazy wolne: $3 + 2 + 7 = 12$

Otrzymujemy:

Aby wykazać, że liczba jest podzielna przez 4, musimy zapisać ją w postaci $4 \cdot (\text{liczba całkowita})$.

Wyłączamy 4 przed nawias:

Ponieważ $k$ jest liczbą całkowitą, to wartość w nawiasie $(3k^2 + 4k + 3)$ również jest liczbą całkowitą. Zatem całe wyrażenie jest iloczynem liczby 4 i liczby całkowitej, co oznacza, że jest podzielne przez 4.

Rozpoczynamy od wymnożenia wyrażenia w nawiasie przez $-2$. Pamiętaj o zmianie znaków!

Upraszczamy lewą stronę ($3-2=1$):

Przenosimy niewiadome ($x$) na lewą stronę, a liczby na prawą, zmieniając znaki na przeciwne przy przenoszeniu.

Wykonujemy redukcję wyrazów podobnych:

Dzielimy obie strony nierówności przez 2 (liczba dodatnia, więc znak nierówności pozostaje bez zmian):

Oznacza to liczby większe lub równe $-9$. Na osi liczbowej szukamy przedziału prawostronnie nieograniczonego, zaczynającego się od $-9$ z zamalowaną kropką (przedział domknięty: $\langle -9, +\infty)$).

Taki zbiór przedstawiono na rysunku A.

Iloczyn jest równy zero wtedy i tylko wtedy, gdy przynajmniej jeden z jego czynników jest równy zero. Mamy tu trzy czynniki:

• $2x$
• $(x+3)$
• $(x^2+25)$

Musimy przyrównać każdy z nich do zera.

Rozpatrujemy pierwsze dwa czynniki:

Mamy już dwa rozwiązania: $0$ i $-3$.

Teraz sprawdzamy trzeci czynnik:

Kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest zawsze nieujemny ( $\ge 0$), więc równanie $x^2 = -25$ nie ma rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych.

Ostatecznie równanie ma tylko dwa rozwiązania: $0$ oraz $-3$.

Prawidłowa odpowiedź to A.

Aby uprościć wyrażenie wymierne, musimy zamienić sumy na iloczyny.

1. Licznik pierwszego ułamka $(x^2 + x)$: wyciągamy $x$ przed nawias.

2. Mianownik pierwszego ułamka $(x^2 + 4x + 4)$: korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Podstawiamy rozłożone formy do naszego wyrażenia:

Teraz możemy skrócić czynniki występujące jednocześnie w liczniku i mianowniku:

• Skracamy $x$ (z licznika pierwszego ułamka i mianownika drugiego).
• Skracamy jeden nawias $(x+2)$ (z mianownika pierwszego ułamka i licznika drugiego).

Prawidłowa odpowiedź to C.

Niech $x$ oznacza kwotę przyznaną zespołowi A.

Ponieważ łączna kwota to 1 200 000 zł, kwotę dla zespołu B możemy zapisać jako:

Wiemy, że zespół A wydał 13% swoich środków ($0,13x$ ), a zespół B wydał 11% swoich środków ( $0,11(1\ 200\ 000 - x)$). Łącznie wydali 146 700 zł. Zapisujemy równanie:

Wymnażamy nawias:

Redukujemy wyrazy z $x$ i przenosimy liczbę na prawą stronę:

Dzielimy obie strony przez 0,02 (czyli mnożymy przez 50):

Kwota przyznana zespołowi A wynosi 735 000 zł.

Najpierw wymnażamy nawias po lewej stronie:

Przenosimy wszystko na lewą stronę, aby po prawej zostało zero (pamiętając o zmianie znaku):

Wypisujemy współczynniki: $a=6, b=-11, c=3$. Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego ($\Delta$ ):

Obliczamy pierwiastek z delty:

Obliczamy $x_1$ oraz $x_2$:

Współczynnik $a=6$ jest dodatni, więc ramiona paraboli są skierowane w górę. Szukamy wartości mniejszych od zera ($< 0$), czyli tej części wykresu, która znajduje się pod osią OX.

Jest to przedział pomiędzy miejscami zerowymi:

Dziedzina to suma przedziałów określonych we wzorze funkcji:

• Pierwsza część: $[-4, -2]$

• Druga część: $(-2, 2]$

• Trzecia część: $(2, 4)$

Sumując te przedziały ("sklejając" je w punktach -2 i 2), otrzymujemy jeden ciągły przedział od -4 (domknięty) do 4 (otwarty).

Analizujemy wartości dla każdego fragmentu:

• Dla $x \in [-4, -2]$: funkcja rośnie od $f(-4)=1$ do $f(-2)=3$. Wartości: $[1, 3]$.

• Dla $x \in (-2, 2]$: funkcja jest stała. Wartość: $\{3\}$.

• Dla $x \in (2, 4)$: funkcja maleje. Granica przy $x=2$ to $3$, a przy $x=4$ to $-3(4)+9 = -3$. Wartości: $(-3, 3)$.

Suma tych zbiorów to przedział od -3 (otwarty, bo x=4 jest otwarty) do 3 (domknięty, bo osiągamy tę wartość wielokrotnie).

Szukamy fragmentów wykresu nad osią OX.

• Pierwszy fragment $[1, 3]$ jest w całości dodatni.

• Drugi fragment (stała 3) jest w całości dodatni.

• Trzeci fragment: rozwiążmy nierówność $-3x + 9 > 0$.

  $-3x > -9$
  $x < 3$

  Biorąc pod uwagę dziedzinę tego fragmentu $(2, 4)$, mamy przedział $(2, 3)$.

Sumując wszystko od początku dziedziny aż do miejsca zerowego (x=3), otrzymujemy:

Szukamy argumentów, dla których wartość funkcji wynosi dokładnie 3.

• Pierwszy fragment: $x+5=3 \implies x=-2$. (Należy do dziedziny).

• Drugi fragment: Funkcja jest stała i równa 3 dla całego przedziału $(-2, 2]$.

• Trzeci fragment: $-3x+9=3 \implies -3x=-6 \implies x=2$. (Ale przedział to $(2, 4)$, więc 2 tu nie należy - zostało uwzględnione w poprzednim punkcie).

Sumując punkt $-2$ i przedział $(-2, 2]$, otrzymujemy przedział domknięty.

Postać kanoniczna funkcji kwadratowej to:

Gdzie $(p, q)$ to współrzędne wierzchołka paraboli.

Z treści zadania wiemy, że wierzchołek ma współrzędne $(3, 6)$. Zatem $p=3$ oraz $q=6$. Podstawiamy te dane do wzoru:

Wiemy, że wykres przecina oś $Oy$ w punkcie $(0, 3)$. Oznacza to, że dla $x=0$ funkcja przyjmuje wartość $3$. Podstawiamy te liczby do naszego równania:

Rozwiązujemy równanie:

Podstawiamy wyliczone $a$ do postaci kanonicznej:

Oś symetrii paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej przechodzi zawsze przez jej wierzchołek i jest prostopadła do osi OX. Równanie osi symetrii to zawsze $x = p$, gdzie $p$ jest pierwszą współrzędną wierzchołka.

Skoro wierzchołek ma współrzędne $(3, 6)$, to $p = 3$.

Zatem osią symetrii jest prosta:

Prawidłowa odpowiedź to A.

Funkcja $g(x) = f(x) - 3$ powstaje przez przesunięcie wykresu funkcji $f$ o 3 jednostki w dół. Przesunięcie w pionie nie zmienia osi symetrii paraboli. Oś symetrii nadal wynosi $x = 3$.

Miejsca zerowe $x_1$ i $x_2$ są zawsze rozmieszczone symetrycznie względem osi symetrii $p$. Zachodzi związek:

Czyli:

Podstawiając $p=3$:

Mamy wzór $f(x) = -\frac{1}{3}(x-3)^2 + 6$. Wzór funkcji $g$ to:

Szukamy miejsc zerowych ($g(x)=0$):

Stąd:

Suma: $6 + 0 = 6$.

Funkcja liniowa $y = ax + b$ nie ma miejsc zerowych tylko w jednym przypadku: gdy jest funkcją stałą (czyli jej współczynnik kierunkowy $a = 0$) i jej wykres jest równoległy do osi OX, ale się z nią nie pokrywa (czyli wyraz wolny $b eq 0$).
W naszym wzorze:

• $a = 3 - m$

• $b = -4$ (warunek $b eq 0$ jest spełniony).

Przyrównujemy współczynnik kierunkowy do zera:

Dla $m=3$ funkcja ma wzór $f(x) = -4$, więc nigdy nie osiąga wartości 0.

Prawidłowa odpowiedź to C.

Korzystamy ze wzoru rekurencyjnego dla $n=1$:

Podstawiamy $a_1 = 2$:

Teraz korzystamy ze wzoru dla $n=2$:

Podstawiamy obliczone wcześniej $a_2 = 5$:

Prawidłowa odpowiedź to D.

Ciąg jest arytmetyczny, jeśli różnica między sąsiednimi wyrazami jest stała ( $a_{n+1} - a_n = r$).

• $a_2 - a_1 = 5 - 2 = 3$
• $a_3 - a_2 = 11 - 5 = 6$

Różnice nie są równe ($3 \neq 6$), więc ciąg nie jest arytmetyczny.

Pierwsze zdanie: Fałsz (F).

Ciąg jest geometryczny, jeśli iloraz sąsiednich wyrazów jest stały ($\frac{a_{n+1}}{a_n} = q$).

• $\frac{a_2}{a_1} = \frac{5}{2} = 2,5$
• $\frac{a_3}{a_2} = \frac{11}{5} = 2,2$

Ilorazy nie są równe ($2,5 \neq 2,2$), więc ciąg nie jest geometryczny.

Drugie zdanie: Fałsz (F).

Dla trzech kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego $(a, b, c)$ zachodzi równość: $2b = a + c$ (środkowy wyraz jest średnią arytmetyczną sąsiednich).

Podstawiamy nasze wyrażenia:

Porządkujemy równanie:

Obliczamy deltę:

Wyznaczamy możliwe wartości $m$:

Zadanie wymaga, aby ciąg był malejący (różnica $r < 0$). Sprawdzamy oba przypadki.

• Wyraz 1: $2(-2) + 11 = 7$
• Wyraz 2: $(-2)^2 + 3 = 7$
• Wyraz 3: $5 - (-2) = 7$

Ciąg to $(7, 7, 7)$. Jest to ciąg stały ($r=0$), więc nie spełnia warunku zadania.

• Wyraz 1: $2(2,5) + 11 = 5 + 11 = 16$
• Wyraz 2: $(2,5)^2 + 3 = 6,25 + 3 = 9,25$
• Wyraz 3: $5 - 2,5 = 2,5$

Ciąg to $(16; 9,25; 2,5)$. Każdy kolejny wyraz jest mniejszy, ciąg jest malejący.

Jedyną wartością spełniającą wszystkie warunki zadania jest:

W ciągu geometrycznym iloraz $q$ to stosunek drugiego wyrazu do pierwszego:

Możemy to zrobić na dwa sposoby: mnożąc kolejne wyrazy przez $q$ lub korzystając ze wzoru.

• $a_1 = 27$
• $a_2 = 9$
• $a_3 = 9 \cdot \frac{1}{3} = 3$
• $a_4 = 3 \cdot \frac{1}{3} = 1$

Prawidłowa odpowiedź to B.

Korzystamy ze wzoru:

.

Podstawiamy to do równania z zadania:

Ponieważ kąt $\alpha$ jest ostry, to $\sin\alpha \neq 0$. Możemy więc podzielić obie strony równania przez $\sin\alpha$:

Przekształcamy równanie, aby wyznaczyć $\cos\alpha$:

Prawidłowa odpowiedź to C.

Skoro $CD$ jest środkową poprowadzoną na bok $AB$, to punkt $D$ dzieli bok $AB$ na dwie równe części.

Długość boku $AB = 6$, więc:

Rozważamy mniejszy trójkąt prostokątny $ADC$. Znamy w nim:

• Przyprostokątną $|AD| = 3$

• Przeciwprostokątną $|CD| = 5$ (z treści zadania)

Z twierdzenia Pitagorasa ($3^2 + |AC|^2 = 5^2$) lub znając trójkąt pitagorejski (3, 4, 5), obliczamy:

W trójkącie prostokątnym $ADC$ tangens kąta $\alpha$ to stosunek przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta ($AC$) do przyprostokątnej przyległej ($AD$).

Prawidłowa odpowiedź to D.

Rozważamy teraz duży trójkąt prostokątny $ABC$. Znamy długości przyprostokątnych:

• $|AC| = 4$ (obliczone w poprzednim zadaniu)

• $|AB| = 6$ (z treści zadania)

Obliczamy przeciwprostokątną $BC$ z twierdzenia Pitagorasa:

Sinus kąta $\beta$ w trójkącie $ABC$ to stosunek przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta ($AC$) do przeciwprostokątnej ($BC$).

Skracamy ułamek przez 2:

Prawidłowa odpowiedź to A.

Kąt $BCA$ jest kątem wpisanym opartym na łuku $AB$. Kąt środkowy $AOB$ oparty na tym samym łuku ma miarę dwa razy większą.

Trójkąt $ABO$ jest zbudowany z dwóch promieni okręgu ($|OA| = |OB| = r$), co oznacza, że jest to trójkąt równoramienny.
W trójkącie równoramiennym kąty przy podstawie ( $AB$) są równe. Oznaczmy szukany kąt $|\angle ABO|$ jako $\alpha$.

Suma kątów w trójkącie wynosi $180^{\circ}$.

Prawidłowa odpowiedź to C.

Z treści zadania wiemy, że trójkąt $ABC$ jest podobny do trójkąta $BDA$. Oznacza to, że stosunki długości odpowiadających sobie boków są równe.

Zauważmy, że kąt przy wierzchołku $B$ jest wspólny dla obu trójkątów. Odpowiadające sobie boki leżące przy tym kącie to:

• W trójkącie dużym $ABC$: ramię $BC$ i podstawa $AB$.

• W trójkącie małym $BDA$: podstawa $AB$ i ramię $BD$.

Zapisujemy proporcję wynikającą z podobieństwa:

Podstawiamy dane z zadania ($|AB|=3, |BC|=4$):