Matura Podstawowa Maj 2023
Rozwiązania i Odpowiedzi

Widzimy dwa przedziały rozchodzące się na zewnątrz. To zawsze oznacza nierówność typu "większe lub równe" ($\ge$). Gdyby przedział był "w środku" (pomiędzy liczbami), byłoby to "mniejsze lub równe" ( $\le$). Odrzucamy więc odpowiedzi C i D.

Szukamy liczby, która leży dokładnie pośrodku między $-2$ a $5$. Liczymy średnią arytmetyczną:

Krok 3: Wyznaczamy odległość (b) Jak daleko jest od środka ($1,5$) do brzegu ($5$)?

Wstawiamy do wzoru $|x - \text{środek}| \ge \text{odległość}$:

To jest odpowiedź B.

Ponieważ mamy mnożenie pierwiastków tego samego stopnia (trzeciego), możemy skorzystać ze wzoru:

Zapisujemy nasze liczby pod jednym daszkiem:

Teraz skracamy ułamek (skracamy 16 i 2 przez 2):

Krok 3: Obliczamy wynik Wyciągamy pierwiastek sześcienny osobno z licznika i mianownika:

• Licznik: $\sqrt[3]{-27} = -3$ (ponieważ $(-3)^3 = -27$)
• Mianownik: $\sqrt[3]{8} = 2$ (ponieważ $2^3 = 8$)

Otrzymujemy wynik:

Pasuje to do odpowiedzi A.

Zaczynamy od uproszczenia podanego wyrażenia. Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ . Rozpisujemy nawias:

Redukujemy jedynki ($1 - 1 = 0$):

Z otrzymanego wyrażenia $4n^2 + 4n$ wyciągamy wspólny czynnik $4n$ przed nawias:

Krok 3: Analiza logiczna (Kluczowy moment) Musimy pokazać, że liczba $4n(n + 1)$ dzieli się przez 8.

Spójrzmy na fragment $n(n + 1)$. Jest to iloczyn dwóch kolejnych liczb naturalnych (np. 3 i 4, albo 10 i 11).

Wśród dwóch kolejnych liczb naturalnych zawsze jedna jest parzysta (podzielna przez 2). Zatem iloczyn $n(n + 1)$ jest liczbą parzystą. Możemy zapisać to jako:

Krok 4: Wniosek końcowy Wstawiamy nasze spostrzeżenie do wzoru z Kroku 2:

Skoro wynik udało się przedstawić w postaci $8k$, oznacza to, że liczba jest wielokrotnością ósemki, czyli jest podzielna przez 8.

Korzystamy z własności logarytmu o tych samych podstawach: suma logarytmów to logarytm iloczynu.

W naszym przypadku:

Wykonujemy mnożenie w argumencie logarytmu:

Otrzymujemy zatem:

Krok 3: Wyznaczenie wartości logarytmu Musimy odpowiedzieć na pytanie: do jakiej potęgi należy podnieść liczbę $9$, aby otrzymać $81$?

Zatem:

Właściwa odpowiedź to D.

Korzystamy ze wzoru na kwadrat różnicy: $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$. Dla wyrażenia $(2a - 3)^2$:

Korzystamy ze wzoru na kwadrat sumy: $(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$. Dla wyrażenia $(2a + 3)^2$:

Krok 3: Odjęcie wyrażeń (Redukcja wyrazów podobnych) Zapisujemy całe działanie, pamiętając, że minus przed nawiasem zmienia znaki wszystkich wyrazów wewnątrz:

Redukujemy:

• $4a^2 - 4a^2 = 0$
• $9 - 9 = 0$
• $-12a - 12a = -24a$

Ostateczny wynik:

Właściwa odpowiedź to A.

Mnożymy obie strony nierówności przez 3, aby uprościć zapis:

Wymnażamy lewą stronę:

Przenosimy niewiadome na lewą stronę, a liczby na prawą:

Krok 3: Wyznaczamy x i określamy przedział Dzielimy obie strony przez $-5$. Pamiętamy o zmianie zwrotu nierówności przy dzieleniu przez liczbę ujemną:

Rozwiązaniem jest zbiór liczb większych lub równych -4, co zapisujemy jako przedział:

Właściwa odpowiedź to C.

Równanie jest w postaci iloczynowej. Iloczyn jest równy zero, gdy co najmniej jeden z jego czynników jest równy zero. Ignorujemy stałą $\sqrt{3}$, bo jest różna od zera. Pozostają dwa przypadki:

Z pierwszego nawiasu:

Z drugiego nawiasu:

Krok 3: Wybór odpowiedzi Zbiór rozwiązań równania to $\{-3, -\sqrt{2}, \sqrt{2}\}$. Sprawdzamy, która z tych liczb znajduje się w odpowiedziach:

• A. 3 (nie)
• B. 2 (nie)
• C. $\sqrt{3}$ (nie)
• D. $\sqrt{2}$ (TAK)

Właściwa odpowiedź to D.

Mianownik ułamka musi być różny od zera. Sprawdzamy, dla jakich $x$ mianownik się zeruje:

Zatem dziedzina to $D = \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\}$. Liczby $-1$ i $1$ nie mogą być rozwiązaniami.

Ułamek jest równy zero, gdy jego licznik jest równy zero (przy zachowaniu dziedziny):

Potencjalne rozwiązania to:

Krok 3: Konfrontacja z dziedziną Obie liczby wyznaczone w Kroku 2 ($-1$ oraz $1$) są wykluczone z dziedziny równania. Oznacza to, że żadna z nich nie jest poprawnym rozwiązaniem.

Właściwa odpowiedź to A.

Grupujemy wyrazy parami: pierwsze dwa oraz dwa ostatnie.

Wyciągamy wspólne czynniki przed nawiasy:

Teraz wspólnym czynnikiem jest cały nawias $(3x - 2)$ :

Możemy jeszcze rozbić drugi nawias korzystając ze wzoru $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

Krok 3: Wyznaczenie pierwiastków Przyrównujemy każdy czynnik do zera:

• 1.$3x - 2 = 0 \implies 3x = 2 \implies x = \frac{2}{3}$
• 2.$x - 2 = 0 \implies x = 2$
• 3.$x + 2 = 0 \implies x = -2$

Spójrzmy najpierw tylko na jedną prostą – tę, która "leci w dół". Przecina ona oś Y w punkcie $(0, 2)$, co oznacza, że wyraz wolny $b = 2$. Wzór funkcji liniowej to $y = ax + b$. Skoro $b=2$, to szukamy równania z końcówką $+2$. Pasują odpowiedzi A i D. Zobaczmy tę prostą oddzielnie:

Teraz spójrzmy na drugą prostą – tę, która "leci w górę". Przecina ona oś Y w punkcie $(0, -1)$, więc wyraz wolny $b = -1$. Szukamy równania z końcówką $-1$. Wzór tej funkcji to $y = 2x - 1$ (współczynnik kierunkowy jest dodatni).

Mamy dwa równania:

• Pierwsze: $y = -x + 2$
• Drugie: $y = 2x - 1$

Sprawdzamy opcje. Taki zestaw znajduje się w odpowiedzi D.

Wzór na obwód prostokąta o bokach $a$ i $b$ to $2a + 2b$ lub $2(a + b)$. W treści zadania podano, że obwód wynosi 30. Zapiszmy to równanie:

Przeanalizujmy odpowiedzi pod kątem pierwszego równania:

• A: $2ab = 30$ (To wzór na pole, nie obwód. Odpada)

• B: $2a + b = 30$ (Brakuje dwójki przy b. Odpada)

• F: $a + b = 30$ (To połowa obwodu. Odpada)

• C, D, E mają poprawne równania obwodu.

Treść mówi: "Jeden z boków jest o 5 krótszy od drugiego". Wiemy, że $a > b$, więc to bok $b$ jest krótszy. Możemy to zapisać na kilka sposobów: 1. $b = a - 5$ (bok b to bok a pomniejszony o 5) 2. $a - b = 5$ (różnica boków wynosi 5) 3. $a = b + 5$ (bok a jest o 5 dłuższy od b) Teraz sprawdźmy te warunki w pozostałych opcjach (C, D, E):

• Opcja C: Drugie równanie to $b = a - 5$. To jest poprawne.

• Opcja D: Drugie równanie to $b = 5a$. To oznacza "5 razy mniejszy/większy", a nie "o 5 krótszy". Odpada.

• Opcja E: Drugie równanie to $a - b = 5$. To jest poprawne.

Poprawne układy równań znajdują się w punktach C oraz E.

Rozwiązanie: Dziedzinę odczytujemy z osi X (od lewej do prawej).

1. Wykres zaczyna się od $x = -6$ (kropka zamalowana, więc przedział domknięty).
2. Kończy się na $x = 5$ (kropka zamalowana, więc domknięty).
3. Sprawdzamy ciągłość: Mimo że wykres ma "schody", to dla każdego $x$ pomiędzy -6 a 5 istnieje jakaś wartość funkcji (nie ma dziur w osi X).

Rozwiązanie: Musimy ograniczyć nasze spojrzenie tylko do fragmentu wykresu od $x = -4$ do $x = 1$.

• Dla $x$ od -4 do -3 funkcja jest stała na poziomie $y = 2$.
• Dla $x$ od -3 do 1 funkcja rośnie od -3 do 1.

Najwyższy punkt w tym wyciinku to poziom $y = 2$. (Uwaga: Wartość 5 jest osiągana dopiero dla $x > 1$, więc jest poza zadanym przedziałem).

Rozwiązanie: Szukamy fragmentu wykresu, który "leci w dół" (patrząc od lewej do prawej).

Analizujmy kawałkami:

• Od -6 do -3: Funkcja stała (pozioma).
• Od -3 do 1: Funkcja rosnąca (pod górę).
• Od 1 do 2: Funkcja stała (pozioma).
• Od 2 do 5: Funkcja malejąca (z górki).

Rozwiązanie: Musimy ustalić znaki współczynników $a$ (kierunkowego) oraz $b$ (wyrazu wolnego).

• Współczynnik $a$ (nachylenie):
  

  Patrzymy na wykres od lewej do prawej. Funkcja "leci w dół" (jest malejąca).

  
  

  Funkcja malejąca oznacza, że $a < 0$.

• Współczynnik $b$ (punkt przecięcia z osią Y):
  

  Patrzymy, gdzie prosta przecina pionową oś Y. Widzimy, że punkt przecięcia znajduje się powyżej zera (pomiędzy 0 a 1).

  
  

  To oznacza, że $b > 0$.

Szukamy odpowiedzi, która spełnia oba te warunki: $a < 0$ oraz $b > 0$.

Sposób 1: Korzystając z osi symetrii (Wizualizacja) Parabola jest figurą symetryczną. Oś symetrii przechodzi przez wierzchołek. Miejsca zerowe leżą w równej odległości od osi symetrii (od pierwszej współrzędnej wierzchołka).

Spójrz na wykres pomocniczy:

1. Pierwsze miejsce zerowe to $x_1 = -5$.
2. Wierzchołek jest przy $p = 3$.
3. Odległość od $-5$ do $3$ wynosi 8 jednostek (bo $3 - (-5) = 8$).
4. Drugie miejsce zerowe musi być o 8 jednostek w drugą stronę (w prawo) od wierzchołka.

$x_2 = 3 + 8 = 11$.

Sposób 2: Ze wzoru na średnią arytmetyczną Pierwsza współrzędna wierzchołka ($p$) jest średnią arytmetyczną miejsc zerowych:

Podstawiamy dane z zadania ($p=3, x_1=-5$):

Rozwiązanie: Mamy podany wzór ogólny ciągu: $a_n = 2^n \cdot (n + 1)$. Aby obliczyć czwarty wyraz ($a_4$), musimy po prostu podstawić liczbę 4 w miejsce każdej litery $n$ we wzorze.

Obliczamy po kolei:

1. Potęgowanie: $2^4 = 16$
2. Nawias: $(4 + 1) = 5$
3. Mnożenie:

Rozwiązanie: W ciągu geometrycznym każdy kolejny wyraz powstaje przez pomnożenie poprzedniego przez stałą liczbę $q$ (iloraz).

Obliczmy iloraz na podstawie dwóch pierwszych wyrazów ($27$ i $9$):

Teraz, aby otrzymać trzeci wyraz, musimy pomnożyć drugi wyraz przez ten iloraz:

Trzecim wyrazem w zadaniu jest wyrażenie $a - 1$. Przyrównujemy więc je do obliczonej wartości:

Rozwiązujemy proste równanie:

Sytuacja opisana w zadaniu to klasyczny ciąg arytmetyczny. Raty zmieniają się o stałą kwotę. Zidentyfikujmy zmienne:

• Całkowita kwota pożyczki (suma ciągu):

  $S_n = 8910$

• Liczba rat (liczba wyrazów): $n = 18$

• Różnica ciągu (o ile zmienia się rata): $r = -30$

  
  

  (Uwaga na minus! Rata jest mniejsza, więc ciąg jest malejący).

• Szukana: $a_1$ (pierwsza rata).

Krok 2: Wybór wzoru Skorzystamy ze wzoru na sumę początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego, który zawiera szukaną $a_1$:

Podstawiamy nasze dane do wzoru:

Upraszczamy (skracamy 18 z 2):

Obliczamy wnętrze nawiasu i dzielimy obie strony przez 9:

Przenosimy -510 na lewą stronę (zmieniając znak):

Punkt $P = (x, y)$ leży na końcowym ramieniu kąta. Z treści zadania i rysunku odczytujemy:

Wzór na tangens kąta w układzie współrzędnych to po prostu iloraz współrzędnej $y$ przez współrzędną $x$.

Podstawiamy nasze liczby do wzoru:

Zauważ, że w obu składnikach sumy występuje $\sin^2 \alpha$.

Wyrażenie: $\sin^4 \alpha + \sin^2 \alpha \cdot \cos^2 \alpha$

Wyciągamy $\sin^2 \alpha$ przed nawias:

To, co zostało w nawiasie, to najsłynniejszy wzór w trygonometrii (jedynka trygonometryczna):

Zastępujemy nawias jedynką:

W tym zadaniu musimy połączyć dwa różne wzory na pole rombu. 1. Wzór z bokiem i kątem: $P = a^2 \cdot \sin \alpha$ 2. Wzór z przekątnymi:

Obliczymy pole pierwszym sposobem, a potem przyrównamy je do drugiego wzoru, aby znaleźć iloczyn przekątnych ($d_1 \cdot d_2$).

Dane: $a = 6\sqrt{2}$, kąt $\alpha = 150^\circ$.

Podstawiamy:

Obliczamy kwadrat boku:

Obliczamy pole:

Teraz korzystamy z drugiego wzoru. Wiemy już, że pole wynosi 36.

Aby obliczyć $d_1 \cdot d_2$, mnożymy obie strony przez 2:

Zauważ, że odcinki $OA$ i $OC$ są promieniami okręgu, więc mają tę samą długość. To oznacza, że trójkąt $AOC$ jest równoramienny.

W trójkącie równoramiennym kąty przy podstawie są równe. Skoro $\angle ACO = 70^\circ$, to:

Teraz obliczamy kąt środkowy $\angle AOC$ (suma kątów w trójkącie to 180):

Kąt $\angle AOC$ to kąt środkowy oparty na łuku $AC$. Kąt $\angle ABC$ to kąt wpisany oparty na tym samym łuku.

Z twierdzenia wiemy, że kąt wpisany jest dwa razy mniejszy od kąta środkowego.

W trójkącie $T_1$ mamy boki $a = 5$ i $b = 12$. Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy przeciwprostokątną $c$:

Wiemy, że przeciwprostokątna trójkąta $T_2$ ma długość 26, a trójkąta $T_1$ ma długość 13. Obliczamy skalę podobieństwa $k$:

Oznacza to, że każdy bok trójkąta $T_2$ jest 2 razy dłuższy niż w $T_1$.

Przyprostokątne $T_2$ to:

• $5 \cdot 2 = 10$
• $12 \cdot 2 = 24$

Pole trójkąta:

Pole $T_1 = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 12 = 30$. Stosunek pól figur podobnych jest równy kwadratowi skali podobieństwa ($k^2$).

Dwie proste $y = a_1x + b_1$ i $y = a_2x + b_2$ są prostopadłe, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych wynosi $-1$.

Wypiszmy nasze współczynniki $a$:

• Prosta $k$: $a_1 = \frac{2}{3}$
• Prosta $l$: $a_2 = -\frac{3}{2}$

Sprawdzamy warunek:

Warunek jest spełniony. Proste są prostopadłe. Zaznaczamy A.

Punkt przecięcia to miejsce, gdzie "igreki" obu prostych są takie same. Przyrównujemy prawe strony równań:

Aby łatwo rozwiązać to równanie, pomnóżmy wszystko przez 6 (wspólny mianownik 2 i 3):

Przenosimy niewiadome na lewą stronę:

Teraz liczymy $y$. Podstawiamy $x=6$ do prostszego równania (prostej $k$):

Punkt przecięcia to $P = (6, 4)$. Zaznaczamy 2.

Warunek równoległości mówi: dwie proste są równoległe, gdy mają ten sam współczynnik kierunkowy ( $a_1 = a_2$). Prosta $k$ ma równanie $y = -\frac{1}{3}x + 2$. Współczynnik przy $x$ wynosi $-\frac{1}{3}$. Zatem nasza szukana prosta również musi mieć $a = -\frac{1}{3}$.

Wiemy już, że nasza prosta ma postać:

Wiemy też, że przechodzi przez punkt $P = (3, 5)$. Oznacza to, że dla $x=3$, wartość $y$ musi wynosić $5$. Podstawiamy te liczby do równania:

Obliczamy:

Przenosimy $-1$ na drugą stronę:

Szukamy odpowiedzi, gdzie $a = -\frac{1}{3}$ i $b = 6$.