Ile trwa Egzamin Ósmoklasisty?

Egzamin ósmoklasisty z matematyki trwa 125 minut.

Gdzie znaleźć rozwiązania do arkusza Egzamin Ósmoklasisty Maj 2026?

Pełne rozwiązania krok po kroku znajdują się na tej stronie powyżej. Każde zadanie jest szczegółowo omówione.

Czy mogę pobrać ten arkusz w PDF?

Tak, link do oficjalnego arkusza CKE w formacie PDF znajduje się na górze tej strony.

Egzamin Ósmoklasisty Maj 2026 - Odpowiedzi i Rozwiązania (PDF)

Egzamin Ósmoklasisty Maj 2026

1 pkt

Zadanie 1.

Test z matematyki składa się z 40 zadań. Na diagramie przedstawiono procentowy podział liczby zadań w teście na zadania z pięciu działów: algebry, planimetrii, stereometrii, arytmetyki, statystyki.

Diagram kołowy do tego zadania znajduje się w oficjalnym arkuszu CKE. Kliknij przycisk poniżej, aby go otworzyć i odczytać dane.

Otwórz oficjalny arkusz CKE (PDF)

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba zadań z arytmetyki w tym teście jest równa:

A. 14

B. 18

C. 26

D. 35

💡 Pokaż rozwiązanie krok po kroku▼

1
Krok 1: Obliczenie procentowego udziału zadań z arytmetyki
Cały test to 100%. Aby obliczyć, jaki procent stanowią zadania z arytmetyki, odczytujemy z diagramu w arkuszu CKE wartości dla pozostałych działów i odejmujemy je od całości:
- Algebra: 25%
- Statystyka: 20%
- Planimetria: 15%
- Stereometria: 5%
$100\% - (25\% + 20\% + 15\% + 5\%) = 100\% - 65\% = 35\%$
Zadania z arytmetyki stanowią 35% wszystkich zadań w teście.
2
Krok 2: Obliczenie liczby zadań z arytmetyki
Wiemy już, że test składa się łącznie z 40 zadań. Obliczamy 35% z 40:
$0,35 \cdot 40 = 14$
W teście znajduje się 14 zadań z arytmetyki.

Prawidłowa odpowiedź to: A. 14.

Egzamin Ósmoklasisty Maj 2026

1 pkt

Zadanie 2.

Ola otwiera swoją szafkę za pomocą czterocyfrowego kodu $YXXY$ , gdzie $X$ jest największym wspólnym dzielnikiem liczb 18 i 27, a $Y$ jest najmniejszą wspólną wielokrotnością liczb 2 i 4.

Jaki jest kod do otwarcia szafki Oli? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

A. 4334

B. 4994

C. 8338

D. 8998

💡 Pokaż rozwiązanie krok po kroku▼

1
Krok 1: Wyznaczenie wartości X (NWD)
Zadanie informuje nas, że $X$ to największy wspólny dzielnik liczb 18 i 27. Wypiszmy dzielniki obu tych liczb:
- Dzielniki liczby 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18
- Dzielniki liczby 27: 1, 3, 9, 27
Największą liczbą, przez którą dzielą się bez reszty zarówno 18, jak i 27, jest 9. Zatem $X = 9$ .
2
Krok 2: Wyznaczenie wartości Y (NWW)
$Y$ to najmniejsza wspólna wielokrotność liczb 2 i 4. Spójrzmy na wielokrotności obu liczb:
- Wielokrotności liczby 2: 2, 4, 6, 8, 10...
- Wielokrotności liczby 4: 4, 8, 12, 16...
Najmniejszą liczbą, która pojawia się w obu zbiorach (poza zerem), jest 4. Ponieważ liczba 4 dzieli się również na 2 bez reszty, to ona jest poszukiwaną wielokrotnością. Zatem $Y = 4$ .
3
Krok 3: Ułożenie kodu do szafki
Kod szafki Oli ma postać $YXXY$ . Podstawiamy obliczone wcześniej cyfry:
4994
Prawidłowa odpowiedź to: B. 4994.

Egzamin Ósmoklasisty Maj 2026

1 pkt

Zadanie 3.

Dane są cztery liczby:

w = \sqrt{100 - 64} - 2

x = 12 - \sqrt{64 + 36}

y = \sqrt{25 - 16} - 3

z = 7 - \sqrt{9 + 16}

Która z tych liczb jest równa 0? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

w

x

y

z

💡 Pokaż rozwiązanie krok po kroku▼

1
Krok 1: Obliczenie wartości liczby w
Pamiętamy o kolejności wykonywania działań – najpierw wykonujemy działania pod pierwiastkiem:
$w = \sqrt{100 - 64} - 2 = \sqrt{36} - 2 = 6 - 2 = 4$
Liczba $w$ nie jest równa 0.
2
Krok 2: Obliczenie wartości liczby x
Podobnie jak wyżej, najpierw wykonujemy dodawanie pod pierwiastkiem:
$x = 12 - \sqrt{64 + 36} = 12 - \sqrt{100} = 12 - 10 = 2$
Liczba $x$ nie jest równa 0.
3
Krok 3: Obliczenie wartości liczby y
Obliczamy wyrażenie dla liczby $y$ :
$y = \sqrt{25 - 16} - 3 = \sqrt{9} - 3 = 3 - 3 = 0$
Liczba $y$ jest równa 0!
4
Krok 4: Obliczenie wartości liczby z (dla pewności)
Wykonujemy obliczenia dla ostatniej liczby:
$z = 7 - \sqrt{9 + 16} = 7 - \sqrt{25} = 7 - 5 = 2$

Widzimy, że tylko liczba $y$ przyjmuje wartość 0.

Prawidłowa odpowiedź to: C. y.

Egzamin Ósmoklasisty Maj 2026

1 pkt

Zadanie 4.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Wartość wyrażenia $2^5 \cdot 3 \cdot 3^4 \cdot 2^3$ jest równa wartości wyrażenia:

2^8 \cdot 3^5

4^8 \cdot 9^5

2^{15} \cdot 3^4

4^{15} \cdot 9^4

💡 Pokaż rozwiązanie krok po kroku▼

1
Krok 1: Własności potęgowania
Aby uprościć to wyrażenie, korzystamy z własności potęg. Jeśli mnożymy potęgi o tych samych podstawach, po prostu dodajemy ich wykładniki:
$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$
2
Krok 2: Grupowanie i obliczenia
Grupujemy ze sobą potęgi o podstawie 2 oraz potęgi o podstawie 3 (pamiętając, że samo $3$ to inaczej $3^1$ ):
$2^5 \cdot 2^3 = 2^{5+3} = 2^8$
$3^1 \cdot 3^4 = 3^{1+4} = 3^5$
Łącząc otrzymane wyniki z powrotem w jedno mnożenie, dostajemy ostateczne wyrażenie:
$2^8 \cdot 3^5$
Prawidłowa odpowiedź to: A.

Egzamin Ósmoklasisty Maj 2026

1 pkt

Zadanie 5.

W pewnej hodowli rasowy kocur kosztuje $x$ złotych, a rasowa kotka kosztuje $y$ złotych. Janek kupił z tej hodowli rasowego kocura ze zniżką 40% oraz rasową kotkę ze zniżką 20%.

Które wyrażenie poprawnie opisuje, ile złotych zapłacił Janek za te koty? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

0,4x + 0,2y

0,2x + 0,4y

0,8x + 0,6y

0,6x + 0,8y

💡 Pokaż rozwiązanie krok po kroku▼

1
Krok 1: Obliczenie ceny kocura po zniżce
Cena początkowa kocura to 100% ceny, czyli $x$ . Janek otrzymał na niego 40% zniżki, więc w rzeczywistości zapłacił:
$100\% - 40\% = 60\%$
60% początkowej ceny $x$ zapisujemy w postaci ułamka dziesiętnego jako $0,6x$ .
2
Krok 2: Obliczenie ceny kotki po zniżce
Cena początkowa kotki to 100%, czyli $y$ . Zniżka wyniosła 20%, co oznacza, że Janek musiał pokryć:
$100\% - 20\% = 80\%$
80% początkowej ceny $y$ to ułamkowo $0,8y$ .
3
Krok 3: Zapisanie sumy
Aby dowiedzieć się, ile łącznie zapłacił Janek, musimy po prostu dodać do siebie obie wyliczone kwoty po obniżkach. Otrzymujemy wyrażenie:
$0,6x + 0,8y$
Prawidłowa odpowiedź to: D.

Egzamin Ósmoklasisty Maj 2026

1 pkt

Zadanie 6.

W pudełku było jedenaście kul ponumerowanych kolejnymi liczbami naturalnymi od 1 do 11. Z tego pudełka wylosowano pięć kul. Suma liczb na dowolnych dwóch kulach, które pozostały w pudełku, jest parzysta.

Uzupełnij zdania. Wybierz odpowiedź spośród oznaczonych literami A i B oraz odpowiedź spośród oznaczonych literami C i D.

Po losowaniu w pudełku zostały wyłącznie kule ponumerowane liczbami A / B.

A. nieparzystymi

B. parzystymi

Suma liczb na pięciu wylosowanych kulach jest równa C / D.

C. 30

D. 36

💡 Pokaż rozwiązanie krok po kroku▼

1
Krok 1: Analiza warunku parzystości sumy
Z treści zadania wiemy, że suma dowolnych dwóch kul pozostałych w pudełku jest parzysta. Zastanówmy się, kiedy suma dwóch liczb naturalnych daje wynik parzysty:
- liczba parzysta + liczba parzysta = liczba parzysta
- liczba nieparzysta + liczba nieparzysta = liczba parzysta
- liczba parzysta + liczba nieparzysta = liczba nieparzysta
Aby dowolne dwie kule dawały parzystą sumę, wszystkie pozostałe w pudełku kule muszą być tej samej parzystości (czyli wszystkie parzyste albo wszystkie nieparzyste).
2
Krok 2: Ustalenie, jakie kule zostały w pudełku
W pudełku początkowo było 11 kul (od 1 do 11). Wśród nich mamy:
- 5 liczb parzystych: 2, 4, 6, 8, 10
- 6 liczb nieparzystych: 1, 3, 5, 7, 9, 11
Wylosowano 5 kul, więc w pudełku zostało ich dokładnie 6 ( $11 - 5 = 6$ ). Ponieważ w całym zbiorze jest tylko 5 liczb parzystych, niemożliwe jest, aby w pudełku zostało 6 kul parzystych. Wobec tego wszystkie pozostałe kule muszą być nieparzyste.

Pierwsza prawidłowa odpowiedź to: A (nieparzystymi).
3
Krok 3: Obliczenie sumy wylosowanych kul
Skoro w pudełku zostało wszystkich 6 kul nieparzystych, oznacza to, że wylosowano dokładnie wszystkie kule z liczbami parzystymi: 2, 4, 6, 8, 10.

Obliczamy ich sumę:
$2 + 4 + 6 + 8 + 10 = 30$
Druga prawidłowa odpowiedź to: C (30).

Egzamin Ósmoklasisty Maj 2026

1 pkt

Zadanie 7.

Do 10 pustych koszy włożono jabłka i pomarańcze, łącznie 400 sztuk tych owoców. W każdym koszu łączna liczba owoców jest taka sama oraz w każdym koszu liczba jabłek jest o 6 większa od liczby pomarańczy.

Ile sztuk jabłek jest łącznie w tych 10 koszach? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

A. 210

B. 230

C. 240

D. 260

💡 Pokaż rozwiązanie krok po kroku▼

1
Krok 1: Obliczenie liczby owoców w jednym koszu
Łącznie mamy 400 owoców rozłożonych równo do 10 koszy. Dzielimy liczbę owoców przez liczbę koszy:
$400 : 10 = 40$
W każdym koszu znajduje się dokładnie 40 owoców.
2
Krok 2: Ułożenie równania dla pojedynczego kosza
Oznaczmy liczbę pomarańczy w jednym koszu jako $x$ . Wiemy, że jabłek jest o 6 więcej, więc możemy je zapisać jako $x + 6$ .

Suma jabłek i pomarańczy w jednym koszu wynosi 40:
$x + (x + 6) = 40$
$2x + 6 = 40$
Odejmujemy 6 stronami:
$2x = 34$
Dzielimy przez 2:
$x = 17$
W jednym koszu jest 17 pomarańczy. Liczba jabłek w jednym koszu to $17 + 6 = 23$ .
3
Krok 3: Obliczenie całkowitej liczby jabłek
Skoro w każdym koszu są 23 jabłka, a wszystkich koszy mamy 10, to całkowita liczba jabłek wynosi:
$23 \cdot 10 = 230$
Prawidłowa odpowiedź to: B.

Egzamin Ósmoklasisty Maj 2026

1 pkt

Zadanie 8.

Sumę $S = 1 + 2 + 3 + ... + n$ kolejnych liczb naturalnych od 1 do $n$ można obliczyć ze wzoru:

S = \frac{1}{2}n(n + 1)

Uzupełnij zdania. Wybierz odpowiedź spośród oznaczonych literami A i B oraz odpowiedź spośród oznaczonych literami C i D.

Suma stu kolejnych liczb naturalnych od 1 do 100 jest równa A / B.

A. 5001

B. 5050

Wzór na sumę $S$ po poprawnym przekształceniu ma postać C / D.

S = \frac{1}{2}n^2 + 1

S = \frac{1}{2}n^2 + \frac{1}{2}n

💡 Pokaż rozwiązanie krok po kroku▼

1
Krok 1: Obliczenie sumy stu kolejnych liczb
Aby obliczyć sumę liczb od 1 do 100, podstawiamy $n = 100$ do podanego wzoru:
$S = \frac{1}{2} \cdot 100 \cdot (100 + 1)$
$S = 50 \cdot 101$
$S = 5050$
Pierwsza prawidłowa odpowiedź to: B.
2
Krok 2: Przekształcenie wzoru
Aby otrzymać wzór po przekształceniu, musimy wymnożyć czynnik $\frac{1}{2}n$ przez każdy element w nawiasie:
$S = \frac{1}{2}n \cdot n + \frac{1}{2}n \cdot 1$
$S = \frac{1}{2}n^2 + \frac{1}{2}n$
Druga prawidłowa odpowiedź to: D.

Egzamin Ósmoklasisty Maj 2026

1 pkt

Zadanie 9.

Średnia arytmetyczna dwóch liczb $x$ i $y$ jest równa 4, a średnia arytmetyczna trzech liczb $x$ , $y$ , $z$ jest równa 5.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Liczba $z$ jest równa:

A. 4

B. 5

C. 6

D. 7

💡 Pokaż rozwiązanie krok po kroku▼

1
Krok 1: Analiza pierwszej średniej
Wiemy, że średnia arytmetyczna liczb $x$ i $y$ wynosi 4. Zapiszmy to za pomocą równania i wyznaczmy z niego sumę $x + y$ :
$\frac{x + y}{2} = 4 \quad / \cdot 2$
$x + y = 8$
Suma tych dwóch liczb wynosi 8.
2
Krok 2: Analiza drugiej średniej i wyznaczenie z
Średnia arytmetyczna trzech liczb wynosi 5. Zapisujemy równanie:
$\frac{x + y + z}{3} = 5 \quad / \cdot 3$
$x + y + z = 15$
Teraz w miejsce $x + y$ możemy podstawić obliczoną wcześniej sumę równą 8:
$8 + z = 15$
$z = 15 - 8$
$z = 7$
Prawidłowa odpowiedź to: D.

Egzamin Ósmoklasisty Maj 2026

1 pkt

Zadanie 10.

Dany jest trójkąt równoboczny o boku długości 2 cm.

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Wysokość tego trójkąta jest równa

\sqrt{3}\text{ cm}

Pole tego trójkąta jest równe

\sqrt{3}\text{ cm}^2

💡 Pokaż rozwiązanie krok po kroku▼

1
Krok 1: Obliczenie wysokości trójkąta równobocznego
Wzór na wysokość trójkąta równobocznego to $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$ , gdzie $a$ jest długością boku. W naszym przypadku $a = 2$ :
$h = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}\text{ [cm]}$
Wysokość wynosi $\sqrt{3}\text{ cm}$ .

Pierwsze zdanie jest prawdziwe (P).
2
Krok 2: Obliczenie pola trójkąta równobocznego
Wzór na pole trójkąta równobocznego to $P = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$ . Podstawiamy długość boku $a = 2$ :
$P = \frac{2^2\sqrt{3}}{4} = \frac{4\sqrt{3}}{4} = \sqrt{3}\text{ [cm}^2\text{]}$
Pole wynosi $\sqrt{3}\text{ cm}^2$ .

Drugie zdanie również jest prawdziwe (P).

Poprawne odpowiedzi to: P, P.

Egzamin Ósmoklasisty Maj 2026

1 pkt

Zadanie 11.

Kąty wewnętrzne czworokąta oznaczono: $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ oraz $\delta$ . Miara kąta $\beta$ jest o 70° większa od miary kąta $\alpha$ , miara kąta $\gamma$ jest dwukrotnie większa od miary kąta $\alpha$ . Kąt $\delta$ jest kątem prostym.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Miara kąta $\beta$ jest równa:

A. 50°

B. 85°

C. 120°

D. 155°

💡 Pokaż rozwiązanie krok po kroku▼

1
Krok 1: Zapisanie miar kątów za pomocą jednej niewiadomej
Opiszmy wszystkie kąty czworokąta przy użyciu kąta $\alpha$ :
- Pierwszy kąt to: $\alpha$
- Kąt $\beta$ jest o 70° większy, więc: $\beta = \alpha + 70^\circ$
- Kąt $\gamma$ jest dwukrotnie większy, więc: $\gamma = 2\alpha$
- Kąt $\delta$ to kąt prosty, a zatem: $\delta = 90^\circ$
2
Krok 2: Ułożenie równania z sumą kątów w czworokącie
Suma wszystkich kątów wewnętrznych w dowolnym czworokącie zawsze wynosi 360°. Dodajemy do siebie wypisane kąty:
$\alpha + (\alpha + 70^\circ) + 2\alpha + 90^\circ = 360^\circ$
Redukujemy wyrazy podobne (sumujemy $\alpha$ i sumujemy liczby):
$4\alpha + 160^\circ = 360^\circ$
Odejmujemy 160° obustronnie:
$4\alpha = 200^\circ$
Dzielimy przez 4, aby otrzymać wartość kąta $\alpha$ :
$\alpha = 50^\circ$
3
Krok 3: Obliczenie miary kąta beta
Znamy już wartość $\alpha$ , a pytają nas o miarę kąta $\beta$ . Podstawiamy do zapisanego wcześniej wzoru:
$\beta = 50^\circ + 70^\circ = 120^\circ$
Prawidłowa odpowiedź to: C.

Egzamin Ósmoklasisty Maj 2026

1 pkt

Zadanie 12.

Na kartce w kratkę Jurek wykonał rysunek. Na tym rysunku punkty $M$ , $W$ , $S$ oznaczają położenia odpowiednio: muzeum, wieży widokowej oraz schroniska. Wieża widokowa znajduje się 3 km na północ i 4 km na zachód od schroniska. Muzeum znajduje się 5 km na wschód od schroniska.

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.

Odległość w linii prostej schroniska od muzeum jest równa odległości w linii prostej schroniska od wieży widokowej.

Odległość w linii prostej muzeum od wieży widokowej jest mniejsza niż 10 km.

💡 Pokaż rozwiązanie krok po kroku▼

1
Krok 1: Analiza odległości SM oraz SW (zdanie pierwsze)
Rozpatrujemy odległości od schroniska ( $S$ ):
- Muzeum (M): Znajduje się dokładnie 5 km na wschód od schroniska. Zatem odległość $|SM| = 5\text{ km}$ .
- Wieża (W): Tworzy ze schroniskiem trójkąt prostokątny o przyprostokątnych 3 km (na północ) i 4 km (na zachód). Obliczamy odległość z twierdzenia Pitagorasa:
$|SW|^2 = 3^2 + 4^2$
$|SW|^2 = 9 + 16 = 25$
$|SW| = \sqrt{25} = 5\text{ km}$
Odległości są równe ( $5\text{ km} = 5\text{ km}$ ). Pierwsze zdanie jest zatem prawdziwe (P).
2
Krok 2: Analiza odległości MW (zdanie drugie)
Teraz obliczamy odległość z muzeum ( $M$ ) do wieży ( $W$ ). Obydwa punkty tworzą duży trójkąt prostokątny, gdzie przeciwprostokątną jest szukana odległość $|MW|$ .

Podstawą trójkąta (poziomo) jest dystans od muzeum (5 km na wschód) do pionowej linii wieży (4 km na zachód). Razem daje to $5 + 4 = 9\text{ km}$ .

Wysokością trójkąta (pionowo) jest dystans wieży na północ od poziomu muzeum, czyli $3\text{ km}$ .

Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa:
$|MW|^2 = 9^2 + 3^2$
$|MW|^2 = 81 + 9 = 90$
$|MW| = \sqrt{90}$
Zastanówmy się, czy $\sqrt{90}$ to mniej, czy więcej niż 10. Wiemy, że $10 = \sqrt{100}$ . Skoro $90 < 100$ , to $\sqrt{90} < 10$ . Odległość faktycznie jest mniejsza niż 10 km.

Drugie zdanie również jest prawdziwe (P).

Poprawne odpowiedzi to: P, P.

Egzamin Ósmoklasisty Maj 2026

1 pkt

Zadanie 13.

Przekątna $AD$ dzieli pięciokąt $ABCDE$ na trójkąt $ADE$ i na kwadrat $ABCD$ (zobacz rysunek). Pole trójkąta $ADE$ jest równe 28, a wysokość poprowadzona z wierzchołka $E$ na bok $AD$ jest równa 7.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Pole kwadratu $ABCD$ jest równe:

A. 16

B. 32

C. 49

D. 64

💡 Pokaż rozwiązanie krok po kroku▼

1
Krok 1: Obliczenie długości boku AD
Znamy pole trójkąta $ADE$ (wynosi 28) oraz opuszczoną na podstawę $AD$ wysokość (wynosi 7). Możemy skorzystać ze wzoru na pole trójkąta, aby wyznaczyć długość podstawy:
$P = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$
Podstawiamy znane wartości:
$28 = \frac{1}{2} \cdot |AD| \cdot 7 \quad / \cdot 2$
$56 = |AD| \cdot 7 \quad / : 7$
$|AD| = 8$
Bok $AD$ ma długość 8.
2
Krok 2: Obliczenie pola kwadratu
Odcinek $AD$ jest jednocześnie bokiem kwadratu $ABCD$ . Wzór na pole kwadratu to długość boku podniesiona do kwadratu:
$P = |AD|^2 = 8^2 = 64$
Prawidłowa odpowiedź to: D.

Egzamin Ósmoklasisty Maj 2026

1 pkt

Zadanie 14.

Trzy jednakowe sześciany o krawędzi długości 5 ustawiono jeden na drugim i otrzymano prostopadłościan (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.

Pole powierzchni całkowitej otrzymanego prostopadłościanu jest równe:

A. 350

B. 375

C. 400

D. 450

💡 Pokaż rozwiązanie krok po kroku▼

1
Krok 1: Określenie wymiarów nowego prostopadłościanu
Każdy z pojedynczych sześcianów ma krawędź o długości 5. Gdy ułożymy trzy takie sześciany jeden na drugim, otrzymamy prostopadłościan o podstawie kwadratu i zwiększonej wysokości.
- Szerokość bazy: $a = 5$
- Głębokość bazy: $b = 5$
- Wysokość całkowita: $c = 3 \cdot 5 = 15$
2
Krok 2: Obliczenie pola powierzchni całkowitej
Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu składa się z dwóch podstaw oraz czterech ścian bocznych. Obliczmy je ze standardowego wzoru na pole prostopadłościanu:
$P_c = 2 \cdot a \cdot b + 2 \cdot a \cdot c + 2 \cdot b \cdot c$
Podstawiamy wymiary:
$P_c = 2 \cdot (5 \cdot 5) + 2 \cdot (5 \cdot 15) + 2 \cdot (5 \cdot 15)$
$P_c = 2 \cdot 25 + 2 \cdot 75 + 2 \cdot 75$
$P_c = 50 + 150 + 150$
$P_c = 350$

(Alternatywny, szybszy sposób to zliczenie wszystkich widocznych, kwadratowych ścianek: górny sześcian ma 5 widocznych ścianek, środkowy 4, dolny 5. Razem 14 ścianek, każda o polu 25. Zatem: $14 \cdot 25 = 350$ ).

Prawidłowa odpowiedź to: A.

Egzamin Ósmoklasisty Maj 2026

2 pkt

Zadanie 15.

Do wykonania origami Ela przygotowała łącznie 160 kartek. Każda z tych kartek była w jednym z czterech kolorów: białym, niebieskim, zielonym lub czerwonym. Kartek białych było 37. Kartek niebieskich było 1,5 raza więcej niż czerwonych, a kartek zielonych było o 10 mniej niż czerwonych.

Oblicz, ile kartek niebieskich przygotowała Ela. Zapisz obliczenia.

💡 Pokaż rozwiązanie krok po kroku▼

1
Krok 1: Wprowadzenie oznaczeń i ułożenie równania
Z treści zadania wiemy, że wszystkich kartek jest 160. Znamy dokładną liczbę kartek białych (37), a liczba pozostałych kolorów jest uzależniona od liczby kartek czerwonych. Wprowadźmy więc dla nich niewiadomą:
- Liczba kartek czerwonych: $x$
- Liczba kartek niebieskich (1,5 raza więcej): $1{,}5x$
- Liczba kartek zielonych (o 10 mniej): $x - 10$
- Liczba kartek białych: $37$
Suma wszystkich kartek daje nam równanie liniowe:
$x + 1{,}5x + (x - 10) + 37 = 160$
2
Krok 2: Rozwiązanie równania
Rozwiązujemy ułożone równanie. Najpierw redukujemy wyrazy podobne po lewej stronie (sumujemy $x$ oraz liczby):
$3{,}5x + 27 = 160$
Odejmujemy 27 obustronnie:
$3{,}5x = 160 - 27$
$3{,}5x = 133$
Dzielimy obie strony przez 3,5, aby obliczyć $x$ :
$x = 133 : 3{,}5$
$x = 38$
Liczba kartek czerwonych wynosi 38.
3
Krok 3: Obliczenie docelowej wartości
Pamiętajmy, aby zawsze na koniec sprawdzić, o co dokładnie pyta polecenie! Pytanie w zadaniu dotyczy liczby kartek niebieskich, a nie czerwonych.

Zgodnie z naszymi początkowymi oznaczeniami, kartek niebieskich jest $1{,}5x$ . Podstawiamy obliczoną wartość:
$1{,}5 \cdot 38 = 57$

Odpowiedź: Ela przygotowała 57 kartek niebieskich.

Egzamin Ósmoklasisty Maj 2026

3 pkt

Zadanie 16.

Z Polanki do Dębiny prowadzi jedna droga przez Jodłowo i ma długość 123 km.

Droga z Polanki do Jodłowa ma długość 48 km i samochód przejechał ją w czasie 40 minut.

Drogę z Jodłowa do Dębiny ten samochód pokonał z taką samą prędkością, jak drogę z Polanki do Jodłowa.

Uzasadnij, że przejazd tego samochodu z Jodłowa do Dębiny trwał dłużej niż godzinę. Zapisz obliczenia.

💡 Pokaż rozwiązanie krok po kroku▼

1
Krok 1: Obliczenie długości drugiego odcinka trasy
Cała trasa (z Polanki do Dębiny) ma długość 123 km. Znamy długość pierwszego odcinka (do Jodłowa), która wynosi 48 km. Obliczmy długość drugiego odcinka (z Jodłowa do Dębiny):
$123\text{ km} - 48\text{ km} = 75\text{ km}$
Do przejechania pozostało 75 km.
2
Krok 2: Obliczenie prędkości samochodu
Samochód pokonał pierwsze 48 km w czasie 40 minut. Aby łatwiej operować na prędkości w standardowych jednostkach, zamieńmy 40 minut na godziny (wiedząc, że 1 h = 60 min):
$40\text{ min} = \frac{40}{60}\text{ h} = \frac{2}{3}\text{ h}$
Teraz obliczamy prędkość ( $v$ ) korzystając ze wzoru $v = \frac{s}{t}$ :
$v = 48 : \frac{2}{3} = 48 \cdot \frac{3}{2} = 24 \cdot 3 = 72\text{ [km/h]}$
Samochód na całej trasie jechał ze stałą prędkością 72 km/h.
3
Krok 3: Uzasadnienie czasu przejazdu
Znamy już prędkość samochodu (72 km/h). Oznacza to, że w ciągu dokładnie 1 godziny samochód pokonuje 72 km.

Jak obliczyliśmy w Kroku 1, drugi odcinek trasy (z Jodłowa do Dębiny) wynosi 75 km.
$75\text{ km} > 72\text{ km}$
Skoro do przejechania jest dystans większy niż ten, który samochód pokonuje w równą godzinę, to przejazd tego odcinka musiał trwać dłużej niż godzinę. To kończy uzasadnienie.

(Można również zapisać to udowadniając bezpośrednio ułamkiem: czas to droga przez prędkość, a więc $t = \frac{75}{72}\text{ h} = 1\frac{3}{72}\text{ h}$ . Wartość $1\frac{3}{72}$ jest oczywiście większa od 1).

Egzamin Ósmoklasisty Maj 2026

3 pkt

Zadanie 17.

Podczas Dnia Sportu w pewnej szkole rozegrano trzy turnieje sportowe. Każde dziecko, które było uczestnikiem tego Dnia Sportu, wzięło udział w dokładnie jednym turnieju sportowym. W tabeli podano informacje dotyczące liczby dzieci biorących udział w poszczególnych turniejach. Łączna liczba dziewcząt była o 8 większa od łącznej liczby chłopców uczestniczących w tym Dniu Sportu.

	Turniej piłki nożnej	Turniej tańca	Turniej tenisa stołowego
Liczba dziewcząt	15	65	?
Liczba chłopców	46	16	34

Oblicz, ile procent liczby wszystkich uczestników Dnia Sportu stanowi liczba dzieci, które brały udział w turnieju tenisa stołowego. Zapisz obliczenia.

💡 Pokaż rozwiązanie krok po kroku▼

1
Krok 1: Obliczenie łącznej liczby chłopców i dziewcząt
Z tabeli możemy bez problemu odczytać i zsumować liczbę wszystkich chłopców biorących udział w Dniu Sportu:
$46 + 16 + 34 = 96$
W zawodach wzięło udział 96 chłopców.

Z treści zadania wiemy, że łączna liczba dziewcząt była o 8 większa od łącznej liczby chłopców. Możemy więc łatwo obliczyć liczbę wszystkich dziewcząt:
$96 + 8 = 104$
W Dniu Sportu uczestniczyły 104 dziewczyny.
2
Krok 2: Obliczenie liczby uczestników turnieju tenisa stołowego
Aby dowiedzieć się, ile dzieci brało udział w turnieju tenisa stołowego, musimy najpierw obliczyć brakującą w tabeli liczbę dziewcząt grających w tenisa.

Wiemy, że wszystkich dziewcząt było 104. Znamy liczbę dziewcząt w dwóch pozostałych turniejach:
- Piłka nożna: 15
- Taniec: 65
Odejmujemy te wartości od całkowitej liczby dziewcząt:
$104 - (15 + 65) = 104 - 80 = 24$
W turnieju tenisa stołowego brały udział 24 dziewczyny.

Teraz możemy obliczyć łączną liczbę dzieci (dziewcząt i chłopców) w turnieju tenisa stołowego:
$24 \text{ (dziewczęta)} + 34 \text{ (chłopcy)} = 58$
3
Krok 3: Obliczenie procentu
Zadanie pyta o to, jaki procent wszystkich uczestników stanowią gracze w tenisa stołowego.

Najpierw obliczmy łączną liczbę wszystkich uczestników Dnia Sportu (sumując wszystkich chłopców i wszystkie dziewczęta):
$96 + 104 = 200$
Wszyscy uczestnicy to 200 osób. Gracze w tenisa stołowego to 58 osób. Aby obliczyć procent, tworzymy ułamek i mnożymy go przez 100%:
$\frac{58}{200} \cdot 100\% = \frac{58}{2}\% = 29\%$

Odpowiedź: Dzieci biorące udział w turnieju tenisa stołowego stanowiły 29% wszystkich uczestników Dnia Sportu.

Egzamin Ósmoklasisty Maj 2026

2 pkt

Zadanie 18.

Dany jest sześcian $ABCDEFGH$ o krawędzi długości $a$ . Punkt $S$ jest środkiem krawędzi $DH$ tego sześcianu. Punkty $A$ , $C$ , $D$ , $S$ są wierzchołkami ostrosłupa trójkątnego (zobacz rysunek).

Oblicz, ile razy objętość ostrosłupa $ACDS$ jest mniejsza od objętości sześcianu $ABCDEFGH$ . Zapisz obliczenia.

💡 Pokaż rozwiązanie krok po kroku▼

1
Krok 1: Wyznaczenie objętości sześcianu
Objętość sześcianu o krawędzi długości $a$ wyraża się standardowym wzorem:
$V_s = a^3$
2
Krok 2: Określenie wymiarów ostrosłupa
Aby obliczyć objętość ostrosłupa $ACDS$ , musimy znać pole jego podstawy i wysokość.

1. Pole podstawy:
Podstawą ostrosłupa jest trójkąt prostokątny $ACD$ . Jest to dokładnie połowa ściany sześcianu (kwadratu o boku $a$ ).
$P_p = \frac{1}{2} \cdot a \cdot a = \frac{1}{2}a^2$
2. Wysokość ostrosłupa:
Wysokością opuszczoną na tę podstawę jest odcinek $SD$ . Wiemy z treści zadania, że punkt $S$ jest środkiem krawędzi $DH$ , której cała długość to $a$ . Zatem:
$H = \frac{1}{2}a$
3
Krok 3: Wyznaczenie objętości ostrosłupa
Znając pole podstawy i wysokość, obliczamy objętość ostrosłupa ( $V_o$ ) ze wzoru $V = \frac{1}{3} P_p H$ :
$V_o = \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{1}{2}a^2\right) \cdot \left(\frac{1}{2}a\right)$
Mnożymy ułamki ( $3 \cdot 2 \cdot 2 = 12$ ) i potęgi ( $a^2 \cdot a = a^3$ ):
$V_o = \frac{1}{12}a^3$
4
Krok 4: Porównanie objętości
Aby sprawdzić, ile razy objętość ostrosłupa jest mniejsza od objętości sześcianu, dzielimy objętość sześcianu przez objętość ostrosłupa:
$\frac{V_s}{V_o} = a^3 : \frac{1}{12}a^3 = a^3 \cdot \frac{12}{a^3} = 12$

Odpowiedź: Objętość ostrosłupa $ACDS$ jest 12 razy mniejsza od objętości sześcianu.

Egzamin Ósmoklasisty Maj 2026

3 pkt

Zadanie 19.

Ogródek pani Anny ma kształt trapezu, którego podstawy mają długości 18 m i 12 m, a wysokość jest równa 9 m. Pani Anna chce zmienić swój ogródek w łąkę kwietną. Jedno opakowanie z nasionami wybrane przez panią Annę wystarcza na obsianie 25 m² powierzchni i kosztuje 23,80 zł.

Oblicz, ile złotych musi zapłacić pani Anna za najmniejszą liczbę opakowań z nasionami potrzebnych na obsianie całej powierzchni tego ogródka. Zapisz obliczenia.

💡 Pokaż rozwiązanie krok po kroku▼

1
Krok 1: Obliczenie powierzchni ogródka
Ogródek ma kształt trapezu. Aby obliczyć jego powierzchnię, korzystamy ze wzoru na pole trapezu:
$P = \frac{(a + b) \cdot h}{2}$
Podstawiamy dane z zadania (podstawy $a = 18$ , $b = 12$ oraz wysokość $h = 9$ ):
$P = \frac{(18 + 12) \cdot 9}{2}$
$P = \frac{30 \cdot 9}{2} = 15 \cdot 9 = 135\text{ [m}^2\text{]}$
Powierzchnia ogródka wynosi 135 m².
2
Krok 2: Obliczenie potrzebnej liczby opakowań nasion
Jedno opakowanie wystarcza na 25 m². Dzielimy całkowitą powierzchnię przez wydajność jednego opakowania:
$135 : 25 = 5{,}4$
Ponieważ pani Anna nie może kupić 0,4 opakowania, musi kupić pełne paczki, które wystarczą na cały teren. Zaokrąglamy więc tę liczbę w górę.

Pani Anna musi kupić 6 opakowań.
3
Krok 3: Obliczenie całkowitego kosztu
Mnożymy liczbę potrzebnych opakowań przez cenę jednego opakowania:
$6 \cdot 23{,}80\text{ zł} = 142{,}80\text{ zł}$

Odpowiedź: Pani Anna musi zapłacić 142,80 zł.

Egzamin Ósmoklasisty Maj 2026

3 pkt

Zadanie 20.

Z kartonu wycięto prostokąt $ABCD$ o wymiarach 3 i 9 (zobacz rysunek 1.). Następnie ten prostokąt rozcięto na dwie figury: trapez prostokątny oraz trójkąt prostokątny równoramienny. Z tych figur złożono równoległobok $KLMN$ , który nie jest prostokątem (zobacz rysunek 2.).

Rysunek 1.

Rysunek 2.

Oblicz obwód równoległoboku $KLMN$ . Zapisz obliczenia.

💡 Pokaż rozwiązanie krok po kroku▼

1
Krok 1: Analiza wyciętego trójkąta
Prostokąt miał wymiary $9 \times 3$ . Został rozcięty na trapez i trójkąt prostokątny równoramienny.

Zastanówmy się nad wymiarami tego trójkąta. Ponieważ jest prostokątny i równoramienny, jego przyprostokątne muszą mieć taką samą długość. Rozcięcie poprowadzono od krawędzi górnej do dolnej, więc jedna z przyprostokątnych to po prostu wysokość prostokąta, czyli 3. Wynika z tego, że druga przyprostokątna również ma długość 3.

Przeciwprostokątną trójkąta (oznaczmy ją jako $c$ ) obliczamy z twierdzenia Pitagorasa:
$c^2 = 3^2 + 3^2$
$c^2 = 9 + 9 = 18$
$c = \sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2}$
2
Krok 2: Analiza wymiarów równoległoboku
Złożono z tych dwóch figur równoległobok. Przesunięto odcięty trójkąt na drugą stronę trapezu, stykając je pionową krawędzią (o długości 3).

Dzięki temu zabiegowi:
- Dłuższe (poziome) boki równoległoboku ( $KL$ i $MN$ ) tworzą się z połączenia podstawy trapezu i przyprostokątnej trójkąta. Ich suma to dokładnie pierwotna długość prostokąta, czyli mają długość 9.
- Krótsze (ukośne) boki równoległoboku ( $KN$ i $LM$ ) to obwód zewnętrzny utworzony przez przeciwprostokątną trójkąta oraz "linię cięcia". Mają one wyliczoną przed chwilą długość $3\sqrt{2}$ .
3
Krok 3: Obliczenie obwodu równoległoboku
Obwód to suma długości wszystkich boków:
$Obw = 2 \cdot 9 + 2 \cdot 3\sqrt{2}$
$Obw = 18 + 6\sqrt{2}$

Odpowiedź: Obwód równoległoboku $KLMN$ wynosi $18 + 6\sqrt{2}$ .

Egzamin Ósmoklasisty Maj 2026
Rozwiązania i Odpowiedzi

Egzamin Ósmoklasisty Maj 2026

Egzamin Ósmoklasisty Maj 2026

Egzamin Ósmoklasisty Maj 2026

Egzamin Ósmoklasisty Maj 2026

Egzamin Ósmoklasisty Maj 2026

Egzamin Ósmoklasisty Maj 2026

Egzamin Ósmoklasisty Maj 2026

Egzamin Ósmoklasisty Maj 2026

Egzamin Ósmoklasisty Maj 2026

Egzamin Ósmoklasisty Maj 2026

Egzamin Ósmoklasisty Maj 2026

Egzamin Ósmoklasisty Maj 2026

Egzamin Ósmoklasisty Maj 2026

Egzamin Ósmoklasisty Maj 2026

Egzamin Ósmoklasisty Maj 2026

Egzamin Ósmoklasisty Maj 2026

Egzamin Ósmoklasisty Maj 2026

Egzamin Ósmoklasisty Maj 2026

Egzamin Ósmoklasisty Maj 2026

Egzamin Ósmoklasisty Maj 2026

Zobacz inne arkusze z kategorii Egzamin Ósmoklasisty

Jak Ci poszło z tym arkuszem?

Częste pytania o ten arkusz

Ile trwa Egzamin Ósmoklasisty?

Gdzie znaleźć rozwiązania do arkusza Egzamin Ósmoklasisty Maj 2026?

Czy mogę pobrać ten arkusz w PDF?