Egzamin Ósmoklasisty Maj 2023
Rozwiązania i Odpowiedzi

Przepis podany jest na 8 gofrów. Chcemy przygotować 40 gofrów. Sprawdzamy, ile razy musimy zwiększyć ilość składników:

Musimy wziąć 5 razy więcej każdego składnika.
W przepisie podstawowym są 2 jajka. Obliczamy potrzebną ilość:

Potrzeba 10 jajek. Zdanie jest prawdziwe (P).

Chcemy przygotować 72 gofry. Sprawdzamy mnożnik porcji:

Musimy wziąć 9 razy więcej składników.

W przepisie podstawowym jest $1\frac{1}{3}$ szklanki mleka. Zamieńmy to na ułamek niewłaściwy:

Obliczamy potrzebną ilość mleka:

Potrzeba 12 szklanek mleka. Zdanie jest prawdziwe (P).

Poprawne odpowiedzi to: P, P.

Pierwsza liczba to sześcian liczby 4, czyli $4^3$.

Pierwsza część hasła to 64. Odrzucamy odpowiedzi A i B.

Druga liczba to najmniejszy wspólny mianownik ułamków $\frac{1}{15}$ i $\frac{1}{25}$, czyli Najmniejsza Wspólna Wielokrotność (NWW) liczb 15 i 25. Rozkładamy liczby na czynniki pierwsze:

• $15 = 3 \cdot 5$
• $25 = 5 \cdot 5$

NWW to iloczyn czynników pierwszej liczby i brakujących czynników drugiej liczby:

(Lub biorąc najwyższe potęgi: $3^1 \cdot 5^2 = 3 \cdot 25 = 75$). Druga część hasła to 75.

Pierwsza liczba: 64, druga liczba: 75. Hasło ma postać:

Poprawna odpowiedź to D.

Szukamy wyrażenia, które zeruje się dla obu podanych wartości $x$. Podstawiamy $x = 1$ i $x = -1$ do kolejnych wzorów:

• Wyrażenie G:$2x^2 + 2$Dla $x=1$: $2(1)^2 + 2 = 4$ (nie 0).
• Wyrażenie H:$2x^2 + 2x$Dla $x=1$: $2(1)^2 + 2(1) = 4$ (nie 0).
• Wyrażenie J:$2x^2 - 2$Dla $x=1$: $2(1)^2 - 2 = 2 - 2 = 0$.Dla $x=-1$: $2(-1)^2 - 2 = 2(1) - 2 = 0$.To wyrażenie spełnia oba warunki.

Dla pewności sprawdzamy K:

• Wyrażenie K:$2x^2 - 2x$Dla $x=-1$: $2(-1)^2 - 2(-1) = 2 + 2 = 4$.

Prawidłowym wyrażeniem jest J. Odpowiedź to C.

Wiemy, że półka I jest całkowicie wypełniona 12 książkami. Książki leżą na płasko (widać poziome pasy grzbietów). Przyjmijmy, że książki są ułożone w $r$ rzędach (poziomo) i $k$ kolumnach (pionowo).

• Całkowita liczba książek: $r \cdot k = 12$.

• Wysokość półki (21 cm) to suma grubości $r$ książek. Grubość jednej książki: $g = \frac{21}{r}$.

• Szerokość półki (28 cm) to suma długości $k$ książek. Długość jednej książki: $d = \frac{28}{k}$.

Na półce II książki stoją pionowo ("jedna przy drugiej na całej szerokości").

• Aby zmieściły się pionowo, ich długość $d$ musi być mniejsza od wysokości półki (21 cm). Warunek: $d < 21$.

• Książki zajmują szerokość półki swoją grubością $g$.

• Szukamy liczby książek $N$, która zmieści się na szerokości 28 cm: $N = \frac{28}{g}$.

Podstawiając $g = \frac{21}{r}$, otrzymujemy:

Liczba książek $N$ musi być liczbą całkowitą, co oznacza, że liczba rzędów $r$ musi być podzielna przez 3.

Skoro $r \cdot k = 12$ i $r$ jest podzielne przez 3, sprawdźmy możliwe wartości $r$:

• Wariant A ($r=3, k=4$):Liczba książek na półce II: $N = \frac{4}{3} \cdot 3 = 4$. (Brak takiej odpowiedzi).
• Wariant B ($r=6, k=2$):Liczba książek na półce II: $N = \frac{4}{3} \cdot 6 = 8$.Sprawdźmy warunek wysokości: $d = 28/2 = 14$ cm. $14 < 21$ cm (książka mieści się na wysokość i zostaje luz).To pasuje do jednej z odpowiedzi!
• Wariant C ($r=12, k=1$):Liczba książek na półce II: $N = \frac{4}{3} \cdot 12 = 16$.Warunek wysokości: $d = 28/1 = 28$ cm. $28 > 21$ cm (książka nie weszłaby pionowo). Odpada.

Jedynym pasującym rozwiązaniem jest 8 książek (co odpowiada ułożeniu w półce I: 2 kolumny po 6 książek). Poprawna odpowiedź to B.

Mamy do obliczenia różnicę dwóch pierwiastków: $\sqrt{81} - \sqrt{49}$.

Pamiętajmy, że nie wolno odejmować liczb pod pierwiastkami (czyli $\sqrt{81} - \sqrt{49} \neq \sqrt{81 - 49}$). Musimy najpierw obliczyć każdy pierwiastek oddzielnie:

• $\sqrt{81} = 9$, ponieważ $9^2 = 81$.

• $\sqrt{49} = 7$, ponieważ $7^2 = 49$.

Teraz wykonujemy odejmowanie:

Poprawna odpowiedź to A.

Mamy do obliczenia sumę dwóch pierwiastków: $\sqrt{144} + \sqrt{25}$.

Podobnie jak wcześniej, obliczamy każdy pierwiastek osobno:

• $\sqrt{144} = 12$, ponieważ $12^2 = 144$.

• $\sqrt{25} = 5$, ponieważ $5^2 = 25$.

Teraz dodajemy wyniki:

Poprawna odpowiedź to D.

Niech $j$ oznacza liczbę jabłoni. Z treści zadania wiemy, że liczba grusz ($g$) jest o $40\%$ większa od liczby jabłoni. Zatem:

Wiemy również, że jabłoni jest o 50 mniej niż grusz, co oznacza, że różnica między liczbą grusz a jabłoni wynosi 50:

Podstawiamy wyrażenie na liczbę grusz ($1{,}4j$) do równania różnicy:

Wykonujemy odejmowanie:

Aby obliczyć $j$, dzielimy obie strony przez 0,4 (lub mnożymy przez 10 i dzielimy przez 4):

W sadzie rośnie 125 jabłoni. Poprawna odpowiedź to D.

Mamy dzielenie potęg o tych samych wykładnikach. Korzystamy ze wzoru $\frac{a^n}{b^n} = (\frac{a}{b})^n$:

Poprawna odpowiedź to B.

Mamy wyrażenie $2^6 \cdot 25^3$. Aby skorzystać z działań na potęgach, musimy doprowadzić je do wspólnego wykładnika lub podstawy. Zauważmy, że $25 = 5^2$. Zamieńmy to w wyrażeniu:

Korzystamy ze wzoru na potęgowanie potęgi $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

Teraz mamy mnożenie potęg o tym samym wykładniku. Korzystamy ze wzoru $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$:

Poprawna odpowiedź to D.

Postępujemy zgodnie z opisem:

1. "Liczbę $x$ powiększono o 7": Oznacza dodawanie. Wynik to $x + 7$.

2. "...następnie otrzymany wynik zwiększono 4-krotnie": Oznacza mnożenie całego poprzedniego wyniku przez 4. Musimy użyć nawiasu.

Wyrażenie: $4 \cdot (x + 7)$ czyli $4(x + 7)$.

Postępujemy zgodnie z opisem:

1. "Liczbę $y$ zwiększono 5-krotnie": Oznacza mnożenie. Wynik to $5y$.

2. "...otrzymany wynik powiększono o 3": Oznacza dodanie 3 do poprzedniego wyniku.

Wyrażenie: $5y + 3$.

Szukamy pary: $4(x + 7)$ oraz $5y + 3$. Taka para znajduje się w odpowiedzi A.

W każdym ostrosłupie liczba wierzchołków ($W_o$) jest o 1 większa niż liczba boków wielokąta w podstawie ($n$). Wynika to z faktu, że mamy $n$ wierzchołków w podstawie oraz jeden wierzchołek górny (tzw. wierzchołek ostrosłupa). Wzór: $W_o = n + 1$ Podstawiamy dane z zadania:

Zatem podstawą bryły jest piętnastokąt.

Graniastosłup o tej samej podstawie ma dwie identyczne podstawy (dolną i górną). Każda z nich ma taką samą liczbę wierzchołków ($n$).

Wzór na liczbę wierzchołków graniastosłupa ($W_g$):

Podstawiamy wyznaczone $n = 15$:

Graniastosłup o takiej samej podstawie ma 30 wierzchołków.

Poprawna odpowiedź to B.

Skala 1 : 4 000 informuje nas, że jedna jednostka na mapie odpowiada 4 000 takich samych jednostek w rzeczywistości. Aby poznać odległość w terenie, mnożymy wartość z planu przez skalę:

Ponieważ odpowiedzi podane są w metrach, musimy dokonać zamiany jednostek. Wiemy, że $100\ \text{cm} = 1\ \text{m}$.

Odległość rzeczywista wynosi 320 metrów. Właściwa odpowiedź to A.

Sumujemy kule obu kolorów:

Prawdopodobieństwo zdarzenia obliczamy dzieląc liczbę kul sprzyjających (białych) przez liczbę wszystkich kul:

Skracamy ułamek przez 6:

Zdanie jest prawdziwe (P).

Obliczamy prawdopodobieństwo wylosowania kuli czarnej:

Teraz porównujemy $\frac{2}{5}$ z $\frac{1}{3}$. Sprowadzamy do wspólnego mianownika (15):

• $\frac{2}{5} = \frac{6}{15}$
• $\frac{1}{3} = \frac{5}{15}$

Ponieważ $\frac{6}{15} > \frac{5}{15}$, prawdopodobieństwo jest większe niż $\frac{1}{3}$. Zdanie jest fałszywe (F).

• Typ 1 (odcinki 1, 5, 9... reszta 1): Przekątna kwadratu "w górę i w prawo".

• Typ 2 (odcinki 2, 6, 10... reszta 2): Odcinek poziomy o długości 2 kratek.

• Typ 3 (odcinki 3, 7, 11... reszta 3): Przekątna kwadratu "w dół i w prawo".

• Typ 4 (odcinki 4, 8, 12... reszta 0): Odcinek poziomy o długości 2 kratek.

• Pole kwadratu $F_1$: $5 \cdot 5 = 25$ cm²

• Pole kwadratu $F_2$: $3 \cdot 3 = 9$ cm²

• Pole prostokąta $F_3$: $5 \cdot 3 = 15$ cm²

• 5 cm (z $F_1$ i $F_3$)

• 3 cm (z $F_2$ i $F_3$)

• $3 + 3 = 6$ cm (za mało)

• $3 + 5 = 8$ cm (za dużo)

• $5 + 5 = 10$ cm (za dużo)

• $x$ – cena biletu do kina

• $x + 64$ – cena biletu do teatru (o 64 zł droższy)