Egzamin Ósmoklasisty Maj 2025
Rozwiązania i Odpowiedzi

Zanim przejdziemy do obliczeń, wypiszmy kwoty odłożone w poszczególnych miesiącach na podstawie długości słupków:

• Styczeń: $50\ \text{zł}$

• Luty: $40\ \text{zł}$

• Marzec: $60\ \text{zł}$

• Kwiecień: $30\ \text{zł}$

Cena deskorolki: $180\ \text{zł}$.

Krok 2: Rozwiązujemy pierwsze zdanie Obliczamy łączną kwotę odłożoną w styczniu i lutym:

Teraz sprawdzamy, jaki to procent całej kwoty potrzebnej na deskorolkę ($180\ \text{zł}$):

Poprawna odpowiedź to B.

Krok 3: Rozwiązujemy drugie zdanie Musimy porównać kwotę z marca do kwoty ze stycznia.

• Marzec: $60\ \text{zł}$
• Styczeń: $50\ \text{zł}$

Obliczamy różnicę:

Pytanie brzmi: o ile procent kwota jest większa od kwoty ze stycznia. Zatem odnosimy różnicę do kwoty styczniowej:

Poprawna odpowiedź to D.

1. Zamieniamy ułamki na zwykłe: $2,4 = \frac{24}{10} = \frac{12}{5}$ oraz $5\frac{1}{3} = \frac{16}{3}$.

2. Obliczamy nawias (wspólny mianownik 15):

3. Dzielimy przez -2 (czyli mnożymy przez $-\frac{1}{2}$):

Rozwiązanie: Sprawdzamy podzielność każdej liczby przez 7:

• 91: $91 : 7 = 13$ (reszta 0)
• 92: $92 : 7 = 13$ reszty 1 (bo $13 \cdot 7 = 91$)
• 95: $95 : 7 = 13$ reszty 4
• 97: $97 : 7 = 13$ reszty 6

1. Obliczamy sumy liczb:

   • Suma $a, b, c, d = 4 \cdot 9 = 36$
   • Suma $e, f = 2 \cdot 6 = 12$
   • Różnica sum: $36 - 12 = 24$ (Odpowiedź B)

2. Obliczamy średnią wszystkich sześciu liczb:

   • Suma wszystkich liczb: $36 + 12 = 48$
   • Średnia: $48 : 6 = 8$ (Odpowiedź C)

Rozwiązanie: Musimy przekształcić wzór $L = 2a + 2b + c$ tak, aby po lewej stronie została tylko litera $a$.

1. Przenosimy składniki $2b$ oraz $c$ na lewą stronę równania (pamiętając o zmianie znaków na przeciwne):

   $L - 2b - c = 2a$

2. Zamieniamy strony dla wygody:

   $2a = L - 2b - c$

3. Dzielimy obie strony równania przez 2, aby otrzymać samo $a$:

   $a = \frac{L - 2b - c}{2}$

Rozwiązanie: Musimy wyrazić liczbę piłek każdego koloru za pomocą zmiennej $x$, która oznacza liczbę piłek fioletowych.

1. Piłki fioletowe: $x$
2. Piłki białe: Jest ich 4 razy więcej niż fioletowych, czyli: $4x$
3. Piłki czarne: Białych jest o 3 mniej niż czarnych, co oznacza, że czarnych jest o 3 więcej niż białych: $4x + 3$

Teraz sumujemy wszystkie piłki:

1. Obliczamy wartość wyrażenia K:

   $K = \frac{1}{9} \cdot \frac{1}{4} - \frac{1}{16} \cdot \frac{1}{3}$
   $K = \frac{1}{36} - \frac{1}{48}$

   Sprowadzamy do wspólnego mianownika (144):

   $K = \frac{4}{144} - \frac{3}{144} = \frac{1}{144}$

   Wartość $\frac{1}{144}$ jest dodatnia, więc zdanie "Wyrażenie K ma wartość ujemną" jest fałszywe.

2. Obliczamy wartość wyrażenia L:

   $L = 9 \cdot 4 - 16 \cdot 3 = 36 - 48 = -12$

   Porównujemy wartości: $L = -12$ oraz $K = \frac{1}{144}$. Liczba ujemna (-12) nie jest większa od liczby dodatniej, więc zdanie "Wartość L jest większa od K" jest fałszywe.

Rozwiązanie: Aby zapisać wynik w postaci potęgi liczby 2, musimy najpierw zamienić podstawy potęg (8 i 4) na dwójki.

1. Zapisujemy podstawy jako potęgi liczby 2:

   • $8 = 2^3$
   • $4 = 2^2$

2. Podstawiamy te wartości do wyrażenia, korzystając z zasady potęgowania potęgi $(a^n)^m = a^{n \cdot m}$:

   $8^6 = (2^3)^6 = 2^{3 \cdot 6} = 2^{18}$
   $4^3 = (2^2)^3 = 2^{2 \cdot 3} = 2^6$

3. Wykonujemy dzielenie, korzystając z zasady $a^n : a^m = a^{n-m}$:

   $2^{18} : 2^6 = 2^{18 - 6} = 2^{12}$

Rozwiązanie: Do obliczenia czasu przejazdu korzystamy z podstawowego wzoru na drogę w ruchu jednostajnym:

1. Wypisujemy dane z zadania:

   • Droga (s) = 100 m
   • Prędkość (v) = 5 m/s

2. Podstawiamy dane do wzoru na czas (t):

   $t = \frac{100}{5} = 20$

3. Jednostka: Ponieważ droga była w metrach, a prędkość w metrach na sekundę, wynik otrzymujemy w sekundach.

Rozwiązanie: Aby obliczyć prawdopodobieństwo wyciągnięcia pustego losu, musimy ustalić liczbę wszystkich losów oraz liczbę tych, które nie wygrywają.

1. Wszystkie losy ($\Omega$): $|\Omega| = 72$.

2. Liczymy losy wygrywające:

   • Zakres od 1 do 9: to jest 9 losów.
   • Zakres od 46 do 72: $72 - 46 + 1 = 27$ losów.
   • Łącznie losów wygrywających: $9 + 27 = 36$.

3. Liczymy losy puste: Jeśli wszystkich jest 72, a wygrywa 36, to puste stanowią resztę:

   $72 - 36 = 36$

4. Obliczamy prawdopodobieństwo: Korzystamy ze wzoru $P = \frac{\text{liczba pustych}}{\text{wszystkie losy}}$:

   $P = \frac{36}{72}$

1. Obliczamy wysokość $|BC|$ trójkąta $DBC$: Trójkąt $DBC$ jest prostokątny (kąt prosty przy wierzchołku $B$). Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa:

   $|DB|^2 + |BC|^2 = |DC|^2$
   $30^2 + |BC|^2 = 50^2$
   $900 + |BC|^2 = 2500$
   $|BC|^2 = 1600 \implies |BC| = 40\ \text{cm}$

2. Sprawdzamy pierwsze zdanie (Pole $DBC$):

   $P_{DBC} = \frac{1}{2} \cdot |DB| \cdot |BC| = \frac{1}{2} \cdot 30 \cdot 40 = 600\ \text{cm}^2$

   Zdanie jest prawdziwe (P).

3. Sprawdzamy drugie zdanie (Pole $ABC$ vs $ADC$):

   • Trójkąt $ADC$ ma podstawę $|AD| = 30\ \text{cm}$ i wysokość $|BC| = 40\ \text{cm}$.

     $P_{ADC} = \frac{1}{2} \cdot 30 \cdot 40 = 600\ \text{cm}^2$

   • Trójkąt $ABC$ ma podstawę $|AB| = 30 + 30 = 60\ \text{cm}$ i wysokość $40\ \text{cm}$.

     $P_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 60 \cdot 40 = 1200\ \text{cm}^2$

   Porównujemy pola: $1200 : 600 = 2$. Zdanie jest prawdziwe (P).

1. Analiza podziałki: Mamy podane wartości $56$ i $83$. Liczba odcinków jednostkowych między nimi wynosi 3 (zobacz rysunek: od kreski przy 56 do kreski przy 83 są 3 "skoki"). Różnica wartości: $83 - 56 = 27$. Wartość jednego odcinka ("skoku"): $27 : 3 = 9$.

2. Obliczamy współrzędną punktu C: Punkt $C$ leży o 2 odcinki w prawo od liczby 83. $C = 83 + 2 \cdot 9 = 83 + 18 = 101$. Liczba 101 jest nieparzysta. Zdanie pierwsze jest fałszywe (F).

3. Obliczamy współrzędną punktu B: Punkt $B$ leży w połowie drogi między A i C, dokładnie na 3. kresce od A. Ale możemy też policzyć od znanych punktów. Punkt $B$ leży o 1 odcinek w lewo od liczby 83 (lub 2 w prawo od 56). $B = 83 - 9 = 74$. Zdanie "Współrzędna punktu B jest liczbą mniejszą od 74" jest fałszywe (bo jest równa 74).

Rozwiązanie: Musimy ustalić długości wszystkich boków zewnętrznych trapezu $ABCD$.

1. Analiza kwadratu AEGD: Bok $GE = 6$ (z rysunku). W kwadracie wszystkie boki są równe, więc: $|AD| = |AE| = |DG| = 6$.

2. Analiza trójkąta EFG: Mamy podane boki $|GE|=6, |EF|=8, |GF|=10$.

3. Analiza rombu FBCG: Bokiem rombu jest odcinek $GF = 10$. W rombie wszystkie boki są równe, więc: $|GF| = |FB| = |BC| = |CG| = 10$.

4. Obliczanie obwodu trapezu ABCD: Sumujemy długości boków zewnętrznych:

   • Podstawa dolna $AB = |AE| + |EF| + |FB| = 6 + 8 + 10 = 24$
   • Bok prawy $BC = 10$
   • Podstawa górna $CD = |DG| + |GC| = 6 + 10 = 16$
   • Bok lewy $AD = 6$
   $Obwód = 24 + 10 + 16 + 6 = 56$

Rozwiązanie: W równoległoboku boki są parami równoległe i mają tę samą długość.

1. Analiza boku $CD$: Punkty $D(-1, 2)$ i $C(4, 2)$ leżą na tej samej prostej poziomej ($y=2$). Obliczamy długość tego boku (odległość na osi X):

   $|CD| = 4 - (-1) = 5$

2. Szukanie punktu $B$: Bok $AB$ musi być równoległy do $CD$ (czyli poziomy) i mieć tę samą długość ($5$). Skoro punkt $A$ ma współrzędne $(-3, -2)$, to punkt $B$ również musi leżeć na wysokości $y = -2$.

   Szukamy współrzędnej $x$ punktu $B$. Przesuwamy się od punktu $A$ o $5$ jednostek w prawo:

   $x_B = -3 + 5 = 2$

   Zatem punkt $B$ ma współrzędne $(2, -2)$.

3. Sprawdzenie warunku: W treści zadania podano, że współrzędna $x$ wierzchołka $B$ jest dodatnia. Nasz wynik ($2$) spełnia ten warunek.

Rozwiązanie: Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu to suma pól wszystkich jego ścian. Mamy 3 pary jednakowych prostokątów o wymiarach:

• $5 \times 6$
• $5 \times 7$
• $6 \times 7$

Obliczamy pole powierzchni całkowitej ($P_c$):

Rozwiązanie: Oznaczmy szukany trzeci składnik jako $x$. Z treści zadania wynika równanie:

1. Obliczamy sumę dwóch znanych składników: Sprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika (dla 5 i 6 jest to 30):

   $\frac{1}{5} + \frac{1}{6} = \frac{6}{30} + \frac{5}{30} = \frac{11}{30}$

2. Podstawiamy wynik do równania i wyznaczamy $x$:

   $\frac{11}{30} + x = \frac{7}{15}$

   Aby obliczyć $x$, odejmujemy $\frac{11}{30}$ od $\frac{7}{15}$. Pamiętamy o rozszerzeniu $\frac{7}{15}$ do mianownika 30:

   $x = \frac{7}{15} - \frac{11}{30}$
   $x = \frac{14}{30} - \frac{11}{30}$
   $x = \frac{3}{30}$

3. Skracamy ułamek: Dzielimy licznik i mianownik przez 3:

   $x = \frac{1}{10}$

1. Wprowadzenie oznaczeń: Najwygodniej jest uzależnić liczbę plakatów pozostałych osób od liczby plakatów Basi.

   • $x$ – liczba plakatów Basi
   • $x + 28$ – liczba plakatów Andrzeja (o 28 więcej od Basi)
   • $\frac{1}{3}x$ – liczba plakatów Marka (3 razy mniej od Basi)

2. Ułożenie równania: Z treści zadania wiemy, że: "Andrzej i Marek mają razem 2 razy więcej plakatów od Basi". Zapiszmy to matematycznie:

   $(x + 28) + \frac{1}{3}x = 2x$

3. Rozwiązanie równania: Najpierw upraszczamy lewą stronę, a następnie mnożymy przez 3, aby pozbyć się ułamka.

   $x + 28 + \frac{1}{3}x = 2x$
   $\frac{4}{3}x + 28 = 2x$

   Przenosimy niewiadome na jedną stronę (odejmujemy $\frac{4}{3}x$ od obu stron):

   $28 = 2x - \frac{4}{3}x$
   $28 = \frac{6}{3}x - \frac{4}{3}x$
   $28 = \frac{2}{3}x$

   Mnożymy obie strony przez odwrotność ułamka ($\frac{3}{2}$), aby wyliczyć $x$:

   $x = 28 \cdot \frac{3}{2} = 14 \cdot 3 = 42$

   Zatem Basia ma 42 plakaty.

4. Obliczenie plakatów pozostałych osób:

   • Andrzej: $x + 28 = 42 + 28 = 70$
   • Marek: $\frac{1}{3}x = 42 : 3 = 14$

5. Sprawdzenie (dla pewności): Andrzej (70) + Marek (14) = 84. Czy to 2 razy więcej niż ma Basia (42)? $42 \cdot 2 = 84$. Zgadza się.

1. Obliczamy kąty w trójkącie $EBC$: Suma kątów w trójkącie wynosi $180^\circ$. Znamy dwa kąty:

   • $\angle EBC = 48^\circ$ (z treści zadania)
   • $\angle BCE = 57^\circ$ (z treści zadania)

   Obliczamy trzeci kąt $\angle CEB$:

   $\angle CEB = 180^\circ - (48^\circ + 57^\circ) = 180^\circ - 105^\circ = 75^\circ$

2. Obliczamy kąt $DAB$ (czyli kąt $\alpha$ trapezu): Ponieważ czworokąt $AECD$ jest równoległobokiem, jego boki $AD$ i $EC$ są równoległe. Kąty $\angle DAB$ i $\angle CEB$ są kątami odpowiadającymi (leżą przy prostych równoległych przeciętych jedną prostą), więc mają tę samą miarę:

   $\angle DAB = 75^\circ$

3. Obliczamy kąt $CDA$: W równoległoboku suma kątów przy jednym boku wynosi $180^\circ$. Kąt $\angle CDA = 180^\circ - \angle DAB = 180^\circ - 75^\circ = 105^\circ$.

   $\angle CDA = 105^\circ$

4. Obliczamy kąt $BCD$: Kąt ten składa się z dwóch części: kąta $\angle DCE$ (z równoległoboku) oraz kąta $\angle BCE$ (z trójkąta).

   • W równoległoboku kąty przeciwległe są równe: $\angle DCE = \angle DAB = 75^\circ$.
   • Kąt $\angle BCE = 57^\circ$ (dane).

   Suma:

   $\angle BCD = 75^\circ + 57^\circ = 132^\circ$

1. Obliczamy rzeczywistą długość boku małej tablicy: Skala $1:20$ oznacza, że wymiary na rysunku są 20 razy mniejsze od rzeczywistych. Aby uzyskać rzeczywisty wymiar, mnożymy wymiar z rysunku przez 20.

   $a = 3\ \text{cm} \cdot 20 = 60\ \text{cm}$

2. Obliczamy pole małej tablicy (kwadratu):

   $P_{mała} = a \cdot a = 60\ \text{cm} \cdot 60\ \text{cm} = 3600\ \text{cm}^2$

3. Obliczamy pole dużej tablicy (prostokąta): Wymiary dużej tablicy to $240\ \text{cm}$ i $90\ \text{cm}$.

   $P_{duża} = 240\ \text{cm} \cdot 90\ \text{cm} = 21600\ \text{cm}^2$

4. Obliczamy stosunek pól (ile razy pole duże jest większe od małego): Dzielimy pole dużej tablicy przez pole małej tablicy:

   $\frac{P_{duża}}{P_{mała}} = \frac{21600}{3600} = \frac{216}{36} = 6$

Rozwiązanie: Pole czworokąta $AECF$ najłatwiej obliczyć, odejmując od pola całego kwadratu pola dwóch "białych" trójkątów prostokątnych: $\triangle ABE$ oraz $\triangle ADF$.

1. Obliczamy pole kwadratu $ABCD$: Bok kwadratu $a = 15\ \text{cm}$.

   $P_{ABCD} = 15^2 = 225\ \text{cm}^2$

2. Wyznaczamy długości odcinków na bokach:

   • Bok $CD$ podzielono na 3 równe części. Długość jednej części to: $15 : 3 = 5\ \text{cm}$. Z rysunku wynika, że punkt $F$ znajduje się w odległości dwóch takich części od wierzchołka $D$.
     $|DF| = 2 \cdot 5 = 10\ \text{cm}$
   • Bok $BC$ podzielono na 5 równych części. Długość jednej części to: $15 : 5 = 3\ \text{cm}$. Z rysunku wynika, że punkt $E$ znajduje się w odległości dwóch takich części od wierzchołka $B$.
     $|BE| = 2 \cdot 3 = 6\ \text{cm}$

3. Obliczamy pola trójkątów prostokątnych:

   • Trójkąt $ADF$ (przy wierzchołku $D$): Przyprostokątne to $|AD|=15$ i $|DF|=10$.
     $P_{ADF} = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 10 = \frac{1}{2} \cdot 150 = 75\ \text{cm}^2$
   • Trójkąt $ABE$ (przy wierzchołku $B$): Przyprostokątne to $|AB|=15$ i $|BE|=6$.
     $P_{ABE} = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 6 = \frac{1}{2} \cdot 90 = 45\ \text{cm}^2$

4. Obliczamy pole czworokąta $AECF$:

   $P_{AECF} = P_{ABCD} - P_{ADF} - P_{ABE}$
   $P_{AECF} = 225 - 75 - 45 = 105\ \text{cm}^2$

Rozwiązanie: Ostrosłup prawidłowy czworokątny ma w podstawie kwadrat, a jego ściany boczne są jednakowymi trójkątami równoramiennymi. Aby obliczyć sumę długości wszystkich krawędzi, musimy znać długość krawędzi podstawy ($a$) oraz długość krawędzi bocznej ($b$).

1. Obliczamy długość krawędzi podstawy ($a$): Wiemy, że pole jednej ściany bocznej (trójkąta) wynosi $108\ \text{cm}^2$, a jej wysokość $h = 12\ \text{cm}$. Wzór na pole trójkąta:

   $P = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$

   Podstawiamy dane:

   $108 = \frac{1}{2} \cdot a \cdot 12$
   $108 = 6 \cdot a$
   $a = 18\ \text{cm}$

2. Obliczamy długość krawędzi bocznej ($b$): Krawędź boczna, wysokość ściany bocznej i połowa krawędzi podstawy tworzą trójkąt prostokątny.

   • Przyprostokątna 1: połowa podstawy $\frac{a}{2} = \frac{18}{2} = 9\ \text{cm}$
   • Przyprostokątna 2: wysokość ściany $h = 12\ \text{cm}$
   • Przeciwprostokątna: krawędź boczna $b$

   Z twierdzenia Pitagorasa:

   $b^2 = 9^2 + 12^2$
   $b^2 = 81 + 144$
   $b^2 = 225$
   $b = \sqrt{225} = 15\ \text{cm}$

3. Obliczamy sumę długości wszystkich krawędzi: Ostrosłup czworokątny ma 4 krawędzie podstawy i 4 krawędzie boczne.

   $S = 4a + 4b$
   $S = 4 \cdot 18 + 4 \cdot 15$
   $S = 72 + 60 = 132\ \text{cm}$