Egzamin Ósmoklasisty Maj 2024
Rozwiązania i Odpowiedzi

Odczytujemy wartości z diagramu dla pierwszych czterech dni:

• Poniedziałek: $25\ \text{min}$

• Wtorek: $30\ \text{min}$

• Środa: $40\ \text{min}$

• Czwartek: $35\ \text{min}$

Sumujemy te wartości:

Zamieniamy minuty na godziny:

Pierwsze zdanie jest prawdziwe.

Odczytujemy dane z wykresu:

• Piątek: $50\ \text{min}$
• Sobota: $30\ \text{min}$

Obliczamy różnicę czasu:

Sprawdzamy, o jaki procent czas w sobotę jest mniejszy od czasu w piątek:

Drugie zdanie jest prawdziwe.

Z treści zadania wiemy, że ułamki mają postać $\frac{n}{4}$, gdzie licznik $n$ jest liczbą naturalną większą od 4. Dodatkowo wartość ułamka musi spełniać nierówność wynikającą z trzeciego warunku:

Pomnóżmy całą nierówność przez 4, aby wyznaczyć dopuszczalne wartości licznika $n$:

Wypiszmy wszystkie liczby naturalne $n$ spełniające warunek $12 < n < 20$:

Zauważmy, że każda z tych siedmiu liczb jest jednocześnie większa od mianownika (czyli od 4), co spełnia drugi warunek zadania. Zatem wszystkich ułamków spełniających podane warunki jest dokładnie 7. Poprawna odpowiedź to B

Korzystamy ze wzoru na średnią arytmetyczną dla trzech liczb:

Mnożymy obie strony równania przez 3:

Obliczamy $k$:

Pierwsze zdanie jest prawdziwe.

Podstawiamy obliczoną wartość $k = 22$ do zestawu liczb z drugiego zdania: 12, 14, 22, 11, 17.

Obliczamy sumę tych pięciu liczb:

Obliczamy średnią arytmetyczną (dzieląc sumę przez ilość liczb, czyli 5):

Porównujemy wynik z liczbą 16:

Średnia jest mniejsza od 16, zatem drugie zdanie jest fałszywe.

Liczba $y$ jest sumą ułamków. Aby je dodać, sprowadzamy je do wspólnego mianownika, którym dla 5 i 3 jest 15:

Wykonujemy odejmowanie:

Otrzymany wynik jest liczbą ujemną. Poprawna odpowiedź to A.

Liczba $x$ jest iloczynem ułamków. Mnożymy licznik przez licznik, a mianownik przez mianownik:

Mamy dwie liczby ujemne o tym samym mianowniku:

• $x = -\frac{16}{15} = -1\frac{1}{15}$
• $y = -\frac{8}{15}$

W przypadku liczb ujemnych mniejsza jest ta, która leży dalej od zera (ma większą wartość bezwzględną). Ponieważ $\frac{16}{15} > \frac{8}{15}$, to $-\frac{16}{15} < -\frac{8}{15}$.

Zatem liczba $x$ jest mniejsza od liczby $y$. Poprawna odpowiedź to C.

Z treści zadania wiemy, że:

• Bok $AB$ jest równoległy do $DC$, więc również odcinek $AE$ jest równoległy do $DC$.

• Odcinek $EC$ poprowadzono równolegle do boku $AD$.

Oznacza to, że czworokąt $AECD$ jest równoległobokiem.
W równoległoboku przeciwległe kąty są równe. Skoro $\angle ADC = 135^{\circ}$, to kąt przy wierzchołku $E$ (wewnątrz równoległoboku) również ma miarę:

Kąty $\angle AEC$ i $\angle CEB$ są kątami przyległymi (leżą na jednej prostej $AB$), więc ich suma wynosi $180^{\circ}$.

Rozważamy trójkąt $EBC$. Znamy już miary dwóch kątów:

• $\angle CEB = 45^{\circ}$ (obliczone w Kroku 2)
• $\angle CBE = 80^{\circ}$ (odczytane z rysunku)

Suma kątów w trójkącie wynosi $180^{\circ}$. Obliczamy trzeci kąt $\alpha$:

Poprawna odpowiedź to A.

Mamy równanie wyjściowe: $5x = \frac{y}{w}$. Aby wyznaczyć $x$, dzielimy obie strony równania przez 5:

Przekształcenie I jest poprawne.

Wracamy do równania: $5x = \frac{y}{w}$. Aby wyznaczyć $y$, mnożymy obie strony przez $w$:

Paweł otrzymał wzór $y = \frac{5x}{w}$, co jest wynikiem błędnym. Przekształcenie II jest niepoprawne.

Mamy równanie: $5x = \frac{y}{w}$. Mnożymy przez $w$ (jak w kroku 2), otrzymując $5xw = y$. Następnie dzielimy przez $5x$, aby wyizolować $w$:

Przekształcenie III jest poprawne.

Zatem poprawne są równania I oraz III. Właściwa odpowiedź to C.

Musimy sprowadzić liczby do tej samej podstawy potęgi. Wiemy, że $9 = 3^2$. Zatem wyrażenie $3 \cdot 9^5$ możemy zapisać jako:

Korzystamy ze wzoru na potęgowanie potęgi $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

Korzystamy ze wzoru na iloczyn potęg o tych samych podstawach $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

Zdanie jest prawdziwe.

Upraszczamy licznik ułamka $\frac{2^8 \cdot 2^7}{2^{10}}$, dodając wykładniki:

Dzielimy potęgi o tych samych podstawach, odejmując wykładniki:

Zdanie jest prawdziwe.

Sumujemy liczby balonów poszczególnych kolorów podane w tabeli:

Początkowo w pudełku znajdowały się 32 balony.

Z treści zadania wiemy, że wyjęto już dwa balony i oba były czerwone. Musimy zaktualizować stan pudełka przed trzecim losowaniem:

• Liczba czerwonych balonów zmniejszyła się o 2: $10 - 2 = 8$.

• Całkowita liczba balonów w pudełku również zmniejszyła się o 2: $32 - 2 = 30$.

Interesuje nas wylosowanie balonu czerwonego (trzeciego z kolei).

• Liczba zdarzeń sprzyjających (balony czerwone, które zostały): 8.
• Liczba wszystkich zdarzeń elementarnych (wszystkie balony, które zostały): 30.

Obliczamy prawdopodobieństwo $P$:

Upraszczamy ułamek, dzieląc licznik i mianownik przez 2:

Poprawna odpowiedź to C.

Mnożymy każdy wyraz z nawiasu przez czynnik stojący przed nim:

Pamiętajmy o zmianie znaku przy mnożeniu przez liczbę ujemną (minus i minus daje plus).

Zapisujemy całe wyrażenie po wymnożeniu:

Redukujemy wyrazy z $x$:

Ostateczna postać wyrażenia to:

Poprawna odpowiedź to D.

Planowy czas podróży to 2 godz. 54 min.

Pociąg miał 4 minuty opóźnienia, co oznacza, że jechał o 4 minuty dłużej niż planowano:

Rzeczywisty czas podróży wyniósł 2 godziny i 58 minut.

Pociąg dotarł do Gdyni o godzinie 17:31. Aby ustalić godzinę wyjazdu, musimy od godziny przyjazdu odjąć rzeczywisty czas podróży:

Odejmijmy najpierw pełne godziny:

Teraz odejmijmy minuty (58 min). Możemy to rozbić na dwa etapy:

• Odjęcie 31 minut cofa nas do pełnej godziny: $15:31 - 31\ \text{min} = 15:00$.
• Musimy odjąć jeszcze pozostałe minuty: $58 - 31 = 27\ \text{min}$.
• $15:00 - 27\ \text{min} = 14:33$.

Pociąg wyjechał z Olsztyna o godzinie 14:33. Poprawna odpowiedź to D.

Z wykresu odczytujemy współrzędne punktów kratowych, np. punkt $(10, 100)$. Oznacza to, że 10 litrów farby wystarcza na pomalowanie $100\ \text{m}^2$ powierzchni. Obliczamy, ile metrów kwadratowych można pomalować jednym litrem farby:

Zatem **1 litr farby wystarcza na $10\ \text{m}^2$ **.

Sprawdzamy, na ile wystarczy 18 litrów farby, mnożąc ilość litrów przez wydajność:

Wynik zgadza się z treścią zdania. Zdanie jest prawdziwe (P).

Sprawdzamy, jaką powierzchnię można pomalować, mając do dyspozycji 12 litrów farby:

12 litrów wystarczy tylko na $120\ \text{m}^2$, więc nie wystarczy na pomalowanie $125\ \text{m}^2$ .

Możemy też obliczyć potrzebną ilość farby na $125\ \text{m}^2$:

Potrzeba 12,5 litra, a mamy tylko 12. Zdanie jest fałszywe (F).

Punkt $P_1$ ma współrzędne $(-1, -2)$. Wykonujemy operacje opisane w treści zadania:

• Współrzędną $x$ zwiększamy o 4:

  $-1 + 4 = 3$

• Współrzędną $y$ zwiększamy o 3:

  $-2 + 3 = 1$

Szukamy zatem punktu o współrzędnych $(3, 1)$.

Spoglądamy na układ współrzędnych i szukamy punktu, którego pierwsza współrzędna to 3 (3 jednostki w prawo), a druga to 1 (1 jednostka w górę).

Takie współrzędne posiada punkt $P_2$.

Poprawna odpowiedź to A.

Przyjrzyjmy się rysunkowi. Prostokąt podzielono na kwadraty o różnych wielkościach. Niech $x$ oznacza bok najmniejszego kwadratu (tych trzech na dole po prawej).

• Mamy 3 małe kwadraty w rzędzie, więc szerokość tego fragmentu to $3x$, a wysokość to $x$.

• Nad nimi znajduje się duży kwadrat. Jego szerokość musi być równa szerokości trzech małych kwadratów, czyli wynosi $3x$. Zatem jest to kwadrat o boku $3x$.

Teraz spójrzmy na lewą część rysunku.

• Wysokość całej prawej strony to suma boku dużego kwadratu ( $3x$) i małego kwadratu ( $x$), czyli łącznie $4x$ .

• To oznacza, że bok $b$ prostokąta ma długość $4x$.

• Po lewej stronie mamy dwa identyczne średnie kwadraty ułożone jeden na drugim. Skoro łączna wysokość to $4x$, to bok jednego średniego kwadratu wynosi $4x : 2 = 2x$.

Teraz obliczamy długość boku $a$ (poziomego):

Mamy wyznaczone długości boków w zależności od $x$:

• $a = 5x$
• $b = 4x$

Obliczamy stosunek:

Poprawna odpowiedź to B.

Z treści zadania wiemy, że trójkąt $ADE$ jest prostokątny równoramienny. Oznaczmy długość jego przyprostokątnych jako $x$ (czyli $|AD| = |AE| = x$ ).

Pole trójkąta $ADE$ wynosi $200\ \text{cm}^2$. Korzystamy ze wzoru na pole trójkąta prostokątnego:

Mnożymy obie strony przez 2:

Zatem przyprostokątna trójkąta $ADE$ ma długość ** $20\ \text{cm}$**. Pierwsze zdanie jest prawdziwe (P).

Z rysunku i treści zadania wynika, że:

• $|AE| = |AC| + 7\ \text{cm}$
• $|AD| = |AB| + 12\ \text{cm}$

Skoro obliczyliśmy, że $|AE| = |AD| = 20\ \text{cm}$, to:

Obliczamy pole trójkąta $ABC$, korzystając z długości jego przyprostokątnych ($13\ \text{cm}$ i $8\ \text{cm}$):

Drugie zdanie jest prawdziwe (P).

Ostrosłup prawidłowy czworokątny ma w podstawie kwadrat, a jego powierzchnia boczna składa się z czterech identycznych trójkątów (ścian bocznych).

Skoro jedna ściana boczna ma pole $\frac{2}{9}P$, to pole powierzchni bocznej ($P_b$) wynosi:

Poprawna odpowiedź to B.

Pole całkowite ($P$) to suma pola podstawy i pola powierzchni bocznej:

Podstawiamy obliczone $P_b$:

Wyznaczamy pole podstawy:

Mamy dane:

• Pole podstawy: $P_p = \frac{1}{9}P$

• Pole jednej ściany bocznej:

  $P_{\text{ściany}} = \frac{2}{9}P$

Porównujemy te wartości:

Widzimy, że pole podstawy jest mniejsze. Sprawdźmy, ile razy:

Pole ściany bocznej jest 2 razy większe od pola podstawy, co oznacza, że pole podstawy jest dwa razy mniejsze niż pole ściany bocznej.

Poprawna odpowiedź to C.

Niech $x$ oznacza liczbę elementów w jednym zestawie puzzli. Z treści zadania wiemy, że:

• Ela ułożyła $\frac{2}{5}x$ elementów.

• Ania ułożyła $\frac{1}{3}x$ elementów.

• Łącznie ułożyły 440 elementów.

Zapisujemy równanie:

Aby dodać ułamki, sprowadzamy je do wspólnego mianownika. Dla liczb 5 i 3 wspólnym mianownikiem jest 15:

Dodajemy liczniki:

Aby wyznaczyć $x$, mnożymy obie strony równania przez odwrotność ułamka, czyli przez $\frac{15}{11}$:

Skracamy 440 i 11 przez 11 (440 : 11 = 40):

Jeden zestaw puzzli składa się z 600 elementów.

Zauważmy, że w trójkącie $ACE$ zaznaczono dwa kąty o tej samej mierze $\alpha$ przy boku $AC$.

Oznacza to, że trójkąt $ACE$ jest równoramienny, a jego ramiona to $AE$ i $CE$.

Rozpatrzmy trójkąt prostokątny $AED$. Znamy długości jego przyprostokątnych:

• $|AD| = 20\ \text{cm}$
• $|DE| = 15\ \text{cm}$

Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa, aby obliczyć przeciwprostokątną $|AE|$:

Skoro $|AE| = |CE|$, to:

Odcinek $CE$ jest górną podstawą trapezu $ABCE$. Teraz obliczamy długość dolnej podstawy $AB$. Ponieważ $ABCD$ jest prostokątem, bok $AB$ ma taką samą długość jak bok $DC$:

Wysokość trapezu jest równa bokowi $BC$, czyli ma długość $20\ \text{cm}$ (tak samo jak $AD$).

Mamy wszystkie dane potrzebne do wzoru na pole trapezu $P = \frac{(a+b)h}{2}$:

• Podstawa dolna $a = 40\ \text{cm}$
• Podstawa górna $b = 25\ \text{cm}$
• Wysokość $h = 20\ \text{cm}$

Podstawiamy do wzoru:

Skracamy 20 z 2:

Całkowita masa truskawek wynosi $120\ \text{kg}$.

• Duże opakowania: Połowa masy truskawek.

  $\frac{1}{2} \cdot 120\ \text{kg} = 60\ \text{kg}$

• Średnie opakowania: $10\%$ masy truskawek.

  $0{,}10 \cdot 120\ \text{kg} = 12\ \text{kg}$

• Małe opakowania: Pozostała część masy.

  $120\ \text{kg} - (60\ \text{kg} + 12\ \text{kg}) = 120 - 72 = 48\ \text{kg}$

Teraz dzielimy masę przeznaczoną na dany typ przez pojemność jednego opakowania (z tabeli):

• Liczba dużych opakowań: (pojemność 1 kg)

  $60 : 1 = 60\ \text{sztuk}$

• Liczba średnich opakowań: (pojemność 0,5 kg)

  $12 : 0{,}5 = 24\ \text{sztuki}$

• Liczba małych opakowań: (pojemność 0,25 kg)

  $48 : 0{,}25 = 48 \cdot 4 = 192\ \text{sztuki}$

Mnożymy liczbę opakowań przez ich cenę i sumujemy wyniki:

• Przychód z dużych opakowań: $60 \cdot 18\ \text{zł} = 1080\ \text{zł}$

• Przychód ze średnich opakowań: $24 \cdot 10\ \text{zł} = 240\ \text{zł}$

• Przychód z małych opakowań: $192 \cdot 6\ \text{zł} = 1152\ \text{zł}$

Suma całkowita:

Pan Jan otrzymał ze sprzedaży wszystkich truskawek 2472 zł.

II wieża składa się z dwóch jednakowych sześcianów ustawionych jeden na drugim. Krawędź sześcianu ma długość $10\ \text{cm}$.

Wysokość II wieży ($H_{II}$) to suma wysokości dwóch sześcianów:

Aby obliczyć wysokość I wieży, musimy najpierw znać wysokość ostrosłupa. Mamy dane:

• Objętość ostrosłupa: $V = 324\ \text{cm}^3$
• Krawędź podstawy (kwadratu): $a = 9\ \text{cm}$

Obliczamy pole podstawy ostrosłupa ($P_p$):

Korzystamy ze wzoru na objętość ostrosłupa $V = \frac{1}{3} P_p \cdot H$, aby wyznaczyć wysokość $H$:

Dzielimy obie strony przez 27:

Wysokość ostrosłupa wynosi 12 cm.

I wieża składa się z jednego sześcianu i jednego ostrosłupa.

Wysokość I wieży ($H_{I}$) to suma krawędzi sześcianu i wysokości ostrosłupa:

Obliczamy różnicę wysokości obu wież:

Różnica wysokości wynosi 2 cm.