Systemy Liczbowe i Reprezentacja Danych

Wstęp: Jak myśli komputer?

Część I matury z informatyki to starcie z czystą logiką na papierze. Nie masz tu kalkulatora programisty, a CKE uwielbia testować, czy potrafisz w głowie (lub na marginesie) płynnie żonglować bitami. W tym dziale poznasz absolutny fundament informatyki: dowiesz się, jak maszyna rozumie liczby ujemne, dlaczego myli się przy ułamkach oraz jak szybko przeliczać systemy bez żmudnego mnożenia przez potęgi.

📋 Spis treści

Podstawy i Konwersje

1 Systemy: Dwójkowy, Dziesiętny, Szesnastkowy
2 Szybkie konwersje (Metoda grupowania)

Zapis w Pamięci Komputera

3 Liczby ujemne: Znak-Moduł (ZM) i U2
4 Tekst, Kolory (RGB) i Kompresja

Systemy: Dwójkowy, Dziesiętny, Szesnastkowy

Zapis wielomianowy to klasyka. Niezależnie od tego, czy pracujesz w systemie binarnym (podstawa 2), czy szesnastkowym (podstawa 16), każda cyfra na swojej pozycji ma określoną wagę. Systemy te są fundamentem adresacji pamięci i kolorów w informatyce.

BIN na DEC (Dwójkowy na Dziesiętny)

Każdy bit mnożymy przez potęgę liczby 2, idąc od prawej do lewej (zaczynając od potęgi zerowej).

Zapiszmy

1011_2

1 \cdot 2^3 + 0 \cdot 2^2 + 1 \cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0

= 8 + 0 + 2 + 1 = 11_,10,

DEC na BIN (Dzielenie przez 2)

Dzielimy liczbę przez 2 i zapisujemy reszty z dzielenia. Wynik czytamy od dołu do góry.

11 : 2 = 5

reszta 1

5 : 2 = 2

reszta 1

2 : 2 = 1

reszta 0

1 : 2 = 0

reszta 1

Od dołu:

1011_2

Gdy już opanujemy konwersję, możemy przejść do arytmetyki. Operacje na liczbach binarnych w słupku wykonujemy analogicznie do systemu dziesiętnego. Główna różnica polega na tym, że operujemy tylko na zbiorze ${0, 1}$ , więc "przeniesienia" (przy dodawaniu) i "pożyczki" (przy odejmowaniu) następują szybciej.

Dodawanie Binarne

Gdy dodajemy

1 + 1

, otrzymujemy

10_2

. Zapisujemy

0

, a

1

przenosimy do następnej (wyższej) kolumny po lewej.

1111

1011

+0101

10000

Sprawdzenie: $11_,10, + 5_,10, = 16_,10,$

Odejmowanie Binarne

Gdy odejmujemy

0 - 1

, musimy pożyczyć

1

z wyższej pozycji. Ta zapożyczona "jedynka" to u nas

10_2

(czyli dziesiętne 2). Zatem

10_2 - 1 = 1

1 1

1010

-0101

0101

Sprawdzenie: $10_,10, - 5_,10, = 5_,10,$

Szybkie konwersje (Metoda grupowania)

Na maturze nie masz czasu przeliczać ogromnych ciągów binarnych na dziesiętne, aby potem zamienić je na szesnastkowe. System szesnastkowy (HEX) jest idealnie "kompatybilny" z binarnym – każda cyfra HEX to dokładnie 4 bity w systemie BIN.

Grupowanie po 4 bity

Dzielimy ciąg bitów na grupy po 4 (idąc od prawej strony!). Jeśli brakuje bitów po lewej, dopisujemy zera.

Mamy ciąg: 1011101001

Dzielimy: 0010 | 1110 | 1001
Liczymy wagi (8-4-2-1): 2 | 14 (E) | 9

Wynik w HEX to: 2E9

Liczby ujemne: Znak-Moduł (ZM) i U2

Komputer nie ma przycisku "minus". Znak liczby musi być zakodowany za pomocą bitów. Wymagane są dwa formaty: Znak-Moduł (prostszy, ale ma wady) oraz Uzupełnień do Dwóch (U2) – standard we współczesnych procesorach.

Znak-Moduł (ZM)

Pierwszy bit od lewej to ZNAK (0 to +, 1 to -).
Reszta bitów to zwykła wartość liczby (moduł).
Zapis -5 na 8 bitach:
10000101
Wada: Posiada dwa zera (pozytywne 000... i negatywne 100...).

Kod U2 (Uzupełnień do 2)

Pierwszy bit wciąż decyduje o znaku (1 to minus).
Ale uwaga: ma on wagę ujemną (np. na 8 bitach pierwszy bit to -128).
Tworzenie liczby -5 w U2:
1. Zapisz 5: 00000101
2. Zaneguj bity: 11111010
3. Dodaj 1: 11111011

Tekst, Kolory (RGB) i Kompresja

Nie samymi liczbami żyje komputer. Tekst, obraz i dźwięk też muszą zostać zamienione na zera i jedynki. Na maturze bardzo często pojawiają się zadania z obliczania rozmiaru pliku graficznego.

Tekst (ASCII i Unicode)

ASCII: Koduje znaki na 7 lub 8 bitach. Pozwala to zapisać 128 lub 256 różnych znaków (brak np. polskich znaków diakrytycznych w podstawowym ASCII).

Unicode (UTF-8): Nowoczesny standard rozszerzalny (od 8 do 32 bitów). Zawiera emotikony, polskie znaki i alfabety z całego świata.

Kolory RGB

Każdy piksel składa się z 3 barw: Red, Green, Blue. Na każdy z nich przypada 8 bitów (1 bajt), czyli przyjmują wartości od 0 do 255.

R:255, G:255, B:255 = Biały
R:0, G:0, B:0 = Czarny
Głębia kolorów to $2^,24,$ (ponad 16 milionów barw).

Rozmiar Grafiki

Zadanie CKE: Ile KB zajmuje obrazek RGB o wymiarach 100 x 100 px bez kompresji?

Piksele: 100 * 100 = 10 000 px
Waga: 1 px w RGB = 3 Bajty
Wynik: 30 000 Bajtów.
KiloBajty: 30 000 / 1024 = ~29,3 KB.

Grafika Cyfrowa: Rastrowa i Wektorowa

W informatyce obraz cyfrowy można zapisać na dwa zasadnicze sposoby. Wybór odpowiedniego formatu zależy od tego, czy zależy nam na oddaniu fotorealistycznych detali, czy na bezstratnym skalowaniu i małym rozmiarze pliku przy prostych kształtach.

Grafika Rastrowa (Piksele)

Obraz zbudowany jest z prostokątnej siatki małych kwadratów (pikseli), z których każdy ma przypisaną wartość koloru. Świetnie sprawdza się w fotografii, ale przy mocnym powiększeniu traci na jakości (pojawia się "pikseloza").

Popularne rozszerzenia

.JPG.PNG.GIF.WebP

Grafika Wektorowa (Matematyka)

Obraz definiowany jest za pomocą równań matematycznych opisujących punkty, linie, krzywe i figury geometryczne. Można go skalować w nieskończoność bez żadnej utraty jakości. Idealna do logotypów, ikon i typografii.

Popularne rozszerzenia

.SVG.EPS.AI.PDF

Teoria opanowana? Sprawdź się!

Konwersja U2 i obliczanie wagi plików graficznych lubią wypadać z głowy. Przetestuj swoją pamięć i weź udział w szybkim quizie z reprezentacji danych przygotowanym specjalnie pod arkusz CKE.

Rozwiąż Quiz z Reprezentacji Danych 🚀

Teoria opanowana? Czas na sprawdzenie wiedzy!

Szybkie Quizy CKE

Praktyka i Arkusze