Rachunek Różniczkowy i Optymalizacja

Wstęp: Królowa Matury Rozszerzonej

Zadania z optymalizacji to często "pewniaki" za 5-6 punktów. Aby jednak móc zbudować puszkę o najmniejszym polu powierzchni lub wyznaczyć największy wpisany w kulę stożek, musisz najpierw opanować narzędzia do badania funkcji: granice i pochodne.

📋 Spis treści

I. Granice i Ciągłość

1 Obliczanie granic funkcji (w tym jednostronnych)
2 Własność Darboux i miejsca zerowe

II. Technika Pochodnej

3 Definicja i interpretacja pochodnej
4 Wzory i reguły różniczkowania
5 Pochodna funkcji złożonej

III. Badanie Przebiegu i Optymalizacja

6 Styczna do wykresu funkcji
7 Związek pochodnej z monotonicznością
8 Dowodzenie monotoniczności (Funkcje wymierne)
9 Ekstrema wielomianów i funkcji wymiernych
10 Praktyczne zadanie optymalizacyjne (Finał)

Obliczanie Granic Funkcji (i Symbole Nieoznaczone)

Granica funkcji mówi nam o tym, do jakiej wartości "zbliżają się" wartości funkcji ( $y$ ), gdy argumenty ( $x$ ) zbliżają się do jakiegoś punktu (np. do zera, albo do nieskończoności). Często funkcja w danym punkcie w ogóle nie istnieje (np. dzielenie przez zero), ale dzięki granicy wiemy, jak funkcja zachowuje się tuż obok tego punktu.

Symbole nieoznaczone

Jeśli po podstawieniu liczby wyjdzie Ci ładny wynik (np. $5/2$ ) - to super, to jest granica. Ale często wyjdzie Ci tzw. symbol nieoznaczony. Wtedy musisz przekształcić wzór! Najpopularniejsze z nich to:

\left[\frac{0}{0}\right], \quad \left[\frac{\infty}{\infty}\right], \quad \left[\infty - \infty\right]

Granice jednostronne

Zbliżamy się do punktu tylko z jednej strony. Zapisujemy to plusem lub minusem w indeksie górnym: $x \to 2^+$ (od prawej, liczby ciut większe od 2) lub $x \to 2^-$ (od lewej). Kluczowe w określaniu asymptot pionowych!

\lim_{x \to 2^+} f(x) = \infty

🛠️

Główne metody walki z [0/0] i [∞/∞]

Rozkład na czynniki: Wzory skróconego mnożenia lub wyciąganie pierwiastków wielomianu (delta). Celem jest "skrócenie" nawiasu, który zeruje ułamek!
Sprzężenie (Mnożenie przez 1): Jeśli w granicy występuje pierwiastek i tworzy zero, mnożymy licznik i mianownik przez to samo wyrażenie ze zmienionym znakiem (aby wywołać wzór $a^2 - b^2$ ).

Zadanie Krok po Kroku (Symbol [0/0]):

Oblicz granicę:

\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x^2 - 5x + 6}

Krok 1: Sprawdzenie.

Podstawiamy $x = 3$ do licznika i mianownika: $\frac{3^2 - 9}{3^2 - 5(3) + 6} = \frac{9 - 9}{9 - 15 + 6} = \left[\frac{0}{0}\right]$ . Mamy symbol nieoznaczony.

Krok 2: Rozkład na czynniki.

Licznik: wzór skróconego mnożenia $x^2 - 9 = (x-3)(x+3)$ .
Mianownik: funkcja kwadratowa. Pierwiastki to $x_1 = 3$ , $x_2 = 2$ . Zatem mianownik to $(x-3)(x-2)$ .

\lim_{x \to 3} \frac{(x-3)(x+3)}{(x-3)(x-2)}

Krok 3: Skracanie i podstawienie.

Koszmarny nawias $(x-3)$ , który robił zera, skraca się!

\lim_{x \to 3} \frac{x+3}{x-2} = \frac{3+3}{3-2} = \frac{6}{1} = 6

Wynik: Granica wynosi 6.

Własność Darboux (Istnienie miejsc zerowych)

Wyobraź sobie, że rysujesz wykres funkcji bez odrywania ołówka od kartki (czyli funkcja jest ciągła). Jeśli w punkcie $A$ jesteś pod osią OX (wartość ujemna), a w punkcie $B$ jesteś nad osią OX (wartość dodatnia), to siłą rzeczy musiałeś gdzieś po drodze tę oś przeciąć. Ten punkt przecięcia to właśnie nasze miejsce zerowe!

Formalny zapis Twierdzenia Darboux

Jeżeli funkcja $f(x)$ spełnia dwa warunki:

Jest ciągła w przedziale domkniętym $[a, b]$ .
Na końcach przedziału przyjmuje wartości o przeciwnych znakach, czyli $f(a) \cdot f(b) < 0$ .

To wewnątrz przedziału otwartego $(a, b)$ istnieje co najmniej jeden taki argument $c$ , dla którego $f(c) = 0$ .

Typowe zadanie dowodowe z matury:

Wykaż, że równanie $x^3 - 3x + 1 = 0$ ma co najmniej jedno rozwiązanie w przedziale $(1, 2)$ .

Krok 1: Definiujemy funkcję i sprawdzamy ciągłość.

Niech $f(x) = x^3 - 3x + 1$ . Ponieważ jest to wielomian, funkcja $f(x)$ jest ciągła w całej dziedzinie rzeczywistej, a więc w szczególności jest ciągła w przedziale $[1, 2]$ .
(To zdanie to absolutny obowiązek na maturze! Egzaminator daje za nie punkty.)

Krok 2: Badamy wartości na krańcach przedziału.

Podstawiamy krańce naszego przedziału (czyli 1 oraz 2) do wzoru funkcji i liczymy wynik.

f(1) = 1^3 - 3(1) + 1 = 1 - 3 + 1 = -1

(< 0)

f(2) = 2^3 - 3(2) + 1 = 8 - 6 + 1 = 3

> 0

Krok 3: Powołanie się na własność Darboux (Werdykt).

Skoro na jednym krańcu przedziału funkcja jest ujemna, a na drugim dodatnia:

f(1) \cdot f(2) < 0

Na mocy własności Darboux wnioskujemy, że w przedziale $(1, 2)$ istnieje takie $c$ , dla którego $f(c) = 0$ . Co należało dowieść (c.n.d.).

Pochodna: Definicja, Geometria i Fizyka

Pochodna funkcji w punkcie to miara tego, jak szybko funkcja rośnie lub maleje w tym konkretnym ułamku sekundy (lub milimetrze na osi X). Z matematycznego punktu widzenia to po prostu granica z ilorazu różnicowego, gdy przyrost argumentu dąży do zera.

Interpretacja Geometryczna

Pochodna funkcji w punkcie $x_0$ to nic innego jak współczynnik kierunkowy $a$ prostej stycznej do wykresu w tym punkcie. Zgadza się on również z tangensem kąta nachylenia tej prostej!

f'(x_0) = a_{stycznej} = \tan\alpha

Interpretacja Fizyczna

Jeśli funkcja $s(t)$ opisuje drogę pokonaną w czasie $t$ , to jej pochodna jest prędkością chwilową $v(t)$ . Idąc krok dalej, pochodna prędkości to przyspieszenie $a(t)$ .

v(t) = s'(t), \quad a(t) = v'(t)

Obliczanie Pochodnych (Złote Reguły)

Na szczęście na maturze nikt nie wymaga liczenia pochodnych z definicji (przez skomplikowane granice). Mamy do dyspozycji potężne, gotowe wzory, które zamieniają różniczkowanie w przyjemną, mechaniczną operację.

1. Pochodna funkcji potęgowej

Wykładnik "spada" przed x, a nowy wykładnik jest o 1 mniejszy. Działa to dla KAŻDEJ potęgi rzeczywistej (nawet ujemnej i ułamkowej!).

(x^n)' = n \cdot x^{n-1}

(x^3)' = 3x^2

(x)' = 1

(5)' = 0

(pochodna ze stałej to zero!)

2. Pochodna iloczynu

Nie można mnożyć pochodnych osobno! "Pochodna pierwszej razy druga, DODAĆ pierwsza razy pochodna drugiej".

(f \cdot g)' = f' \cdot g + f \cdot g'

3. Pochodna ilorazu (Uwaga na błędy!)

Podobnie jak przy iloczynie, ale w liczniku mamy MINUS, a wszystko dzielimy przez kwadrat mianownika. To klucz do optymalizacji!

\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f' \cdot g - f \cdot g'}{g^2}

Zadanie Obliczeniowe (Krok po Kroku):

Oblicz pochodną funkcji wymiernej $f(x) = \frac{2x^2 + 1}{x - 3}$ .

Krok 1: Identyfikacja "góry" i "dołu".

Korzystamy ze wzoru na pochodną ilorazu. Rozpiszmy to powoli:

Licznik: $f = 2x^2 + 1 \implies f' = 4x$ (1 znika, bo to stała).

Mianownik: $g = x - 3 \implies g' = 1$ .

Krok 2: Podstawienie do wzoru.

Złóżmy to w całość pamiętając o znakach:

f'(x) = \frac{(4x) \cdot (x - 3) - (2x^2 + 1) \cdot (1)}{(x - 3)^2}

Krok 3: Uporządkowanie licznika.

Wymnażamy nawiasy w liczniku i redukujemy wyrazy podobne. Mianownika zazwyczaj nie ruszamy (zostawiamy potęgę), ponieważ ułatwi nam to później badanie znaków pochodnej!

f'(x) = \frac{4x^2 - 12x - 2x^2 - 1}{(x - 3)^2} = \frac{2x^2 - 12x - 1}{(x - 3)^2}

Pochodna Funkcji Złożonej (Reguła Łańcuchowa)

Wyobraź sobie funkcję jako cebulę. Funkcja złożona ma warstwę zewnętrzną (np. potęgę lub pierwiastek) oraz warstwę wewnętrzną (np. wielomian w środku). Aby policzyć z niej pochodną, musimy obrać tę cebulę: najpierw liczymy pochodną funkcji zewnętrznej (nie ruszając środka!), a potem mnożymy to przez pochodną funkcji wewnętrznej.

Wzór na Regułę Łańcuchową

[f(g(x))]' = f'(g(x)) \cdot g'(x)

Najczęstsze przypadki maturalne:

Nawias do potęgi: $[(w(x))^n]' = n \cdot (w(x))^{n-1} \cdot w'(x)$
Pierwiastek (najważniejszy!): Pamiętaj, że $(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ . Gdy pod pierwiastkiem masz całą funkcję, wzór wygląda tak:

(\sqrt{w(x)})' = \frac{1}{2\sqrt{w(x)}} \cdot w'(x)

Zadanie Obliczeniowe (Krok po Kroku):

Oblicz pochodną funkcji $f(x) = \sqrt{x^2 - 4x + 5}$ .

Krok 1: Identyfikacja warstw (zewnętrzna i wewnętrzna).

Nasza funkcja zewnętrzna to duży pierwiastek kwadratowy: $\sqrt{\square}$ .
Nasza funkcja wewnętrzna ("wnętrzności") to wielomian: $g(x) = x^2 - 4x + 5$ .

Krok 2: Zastosowanie reguły łańcuchowej.

Zgodnie ze wzorem, najpierw liczymy pochodną z pierwiastka (kopiując środek bez zmian!), a następnie mnożymy całość przez pochodną ze środka.

f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x^2 - 4x + 5}} \cdot (x^2 - 4x + 5)'

Krok 3: Obliczenie pochodnej wewnętrznej i finał.

Pochodna z $x^2 - 4x + 5$ wynosi po prostu $2x - 4$ . Wrzucamy ten wynik do licznika naszego ułamka.

f'(x) = \frac{2x - 4}{2\sqrt{x^2 - 4x + 5}}

Pro-tip: Zawsze sprawdzaj, czy da się skrócić wynik! W liczniku możemy wyciągnąć 2 przed nawias: $2(x - 2)$ . Dwójki z licznika i mianownika się skrócą, dając nam ostateczny, piękny wynik:

f'(x) = \frac{x - 2}{\sqrt{x^2 - 4x + 5}}

Równanie Stycznej do Wykresu Funkcji

Styczna to prosta, która "muska" wykres funkcji w dokładnie jednym punkcie (lokalnie), wskazując kierunek, w którym podąża funkcja. Kluczem do jej wyznaczenia jest interpretacja geometryczna: współczynnik kierunkowy stycznej to po prostu wartość pochodnej w punkcie styczności.

Uniwersalny Wzór na Styczną

Jeśli punkt styczności ma współrzędne $P = (x_0, y_0)$ , gdzie $y_0 = f(x_0)$ , to równanie prostej stycznej wyraża się wzorem:

y - f(x_0) = f'(x_0) \cdot (x - x_0)

Możesz go też zapisać w postaci kierunkowej $y = ax + b$ :

y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)

Zadanie Egzaminacyjne (Krok po Kroku):

Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji $f(x) = x^3 - 2x^2 + 1$ w punkcie o odciętej $x_0 = 2$ .

Krok 1: Wyznaczamy drugą współrzędną punktu styczności ( $y_0$ ).

Znamy tylko $x_0 = 2$ . Aby znaleźć pełne współrzędne punktu $P$ , podstawiamy dwójkę do pierwotnego wzoru funkcji:

f(2) = 2^3 - 2(2^2) + 1 = 8 - 8 + 1 = 1

Nasz punkt styczności to

P = (2, 1)

Krok 2: Obliczamy wzór pochodnej funkcji.

Różniczkujemy nasz wielomian wyraz po wyrazie:

f'(x) = 3x^2 - 4x

Krok 3: Wyznaczamy współczynnik kierunkowy stycznej ( $a$ ).

Podstawiamy nasze $x_0 = 2$ do wzoru pochodnej, aby dowiedzieć się, jak stromy jest wykres w tym konkretnym miejscu:

f'(2) = 3(2^2) - 4(2) = 12 - 8 = 4

Zatem nasza styczna ma współczynnik kierunkowy

a = 4

Krok 4: Składamy równanie w całość.

Mamy już wszystkie klocki: $x_0 = 2$ , $f(x_0) = 1$ , $f'(x_0) = 4$ . Podstawiamy do wzoru na styczną:

y = 4(x - 2) + 1

y = 4x - 8 + 1

y = 4x - 7

Związek Pochodnej z Monotonicznością

Pochodna informuje nas o szybkości i kierunku zmian funkcji. Skoro pochodna to "współczynnik kierunkowy prostej stycznej", to jeśli prosta ta idzie w górę (współczynnik dodatni), nasza funkcja w tym miejscu rośnie. Jeśli idzie w dół (współczynnik ujemny) – funkcja maleje.

📈

Funkcja rosnąca

f'(x) > 0

📉

Funkcja malejąca

f'(x) < 0

➖

Funkcja stała

f'(x) = 0

Dowodzenie Monotoniczności (Zadanie Dowodowe)

Na maturze rozszerzonej często pojawiają się zadania typu "wykaż, że...". Musisz w nich obliczyć pochodną, a następnie udowodnić (opierając się na znakach licznika i mianownika), że w zadanym przedziale przyjmuje ona wyłącznie wartości dodatnie lub ujemne.

Maturalny Dowód Algebraiczny:

Wykaż, że funkcja homograficzna $f(x) = \frac{x - 1}{x + 2}$ jest monotoniczna w przedziale $(-\infty, -2)$ .

Krok 1: Określenie dziedziny funkcji.

Mianownik nie może być zerem, zatem $x + 2 \neq 0 \implies x \neq -2$ .
Dziedzina to $D = \mathbb{R} \setminus \{-2\}$ . Podany w zadaniu przedział $(-\infty, -2)$ w całości należy do dziedziny.

Krok 2: Obliczenie pochodnej (ze wzoru na iloraz).

Zastosujmy znany nam już wzór $\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}$ :

f'(x) = \frac{(x - 1)'(x + 2) - (x - 1)(x + 2)'}{(x + 2)^2}

f'(x) = \frac{1 \cdot (x + 2) - (x - 1) \cdot 1}{(x + 2)^2}

Krok 3: Uporządkowanie pochodnej.

Pozbywamy się nawiasów w liczniku:

f'(x) = \frac{x + 2 - x + 1}{(x + 2)^2} = \frac{3}{(x + 2)^2}

Krok 4: Analiza znaku pochodnej i komentarz dowodowy.

Aby dowód był pełny, musimy słownie przeanalizować otrzymany ułamek w zadanym przedziale $x \in (-\infty, -2)$ :

Licznik jest stały i wynosi $3$ , więc jest dodatni ( $3 > 0$ ).
Mianownik to wyrażenie podniesione do kwadratu $(x + 2)^2$ . Dla każdego $x \neq -2$ kwadrat jakiejkolwiek liczby niezerowej jest zawsze dodatni.

Iloraz liczby dodatniej przez liczbę dodatnią daje wynik dodatni. Oznacza to, że $f'(x) > 0$ dla każdego $x \in (-\infty, -2)$ .

Wniosek: Skoro pochodna jest dodatnia, funkcja jest ściśle rosnąca w całym zadanym przedziale, co dowodzi jej monotoniczności. c.n.d.

Znajdowanie Ekstremów (Minima i Maksima)

Ekstrema lokalne to "szczyty" i "doliny" na wykresie funkcji. To miejsca, w których funkcja przestaje rosnąć i zaczyna maleć (maksimum) lub przestaje maleć i zaczyna rosnąć (minimum). W tych strategicznych punktach styczna do wykresu jest idealnie pozioma!

Warunki Istnienia Ekstremum

1. Warunek konieczny: Jeśli funkcja ma w punkcie $x_0$ ekstremum (i ma tam pochodną), to pochodna w tym punkcie musi być równa zero.

f'(x_0) = 0

2. Warunek wystarczający (ZMIANA ZNAKU!): Samo wyzerowanie pochodnej to za mało (np. dla $f(x) = x^3$ pochodna w zerze to 0, ale nie ma tam ekstremum). Pochodna musi zmienić znak, przechodząc przez ten punkt:

Ze znaku $+$ na $-$ (rośnie $\to$ maleje) = Maksimum Lokalne
Ze znaku $-$ na $+$ (maleje $\to$ rośnie) = Minimum Lokalne

Zadanie Optymalizacyjne (Maturalny Boss za 6 pkt)

Zadania optymalizacyjne wymagają od nas znalezienia najmniejszej lub największej wartości w realnym problemie. Kluczem jest stworzenie funkcji jednej zmiennej (naszej funkcji celu), określenie jej dziedziny, a następnie znalezienie jej ekstremum.

Rozwiązanie Krok po Kroku (Klasyk Geometryczny):

Rozpatrujemy wszystkie prostopadłościany o podstawie kwadratowej i objętości $V = 32$ . Wyznacz wymiary tego prostopadłościanu, który ma najmniejsze pole powierzchni całkowitej.

Krok 1: Wprowadzenie zmiennych i wykorzystanie danej.

Niech krawędź podstawy to $x$ , a wysokość to $H$ . Wzór na objętość to $V = x^2 \cdot H$ . Wiemy, że $V = 32$ . Wyznaczmy $H$ w zależności od $x$ , by zredukować liczbę niewiadomych!

x^2 \cdot H = 32 \implies H = \frac{32}{x^2}

Krok 2: Zbudowanie funkcji celu i określenie dziedziny.

Naszym celem jest pole powierzchni całkowitej. Wzór to: $P_c = 2x^2 + 4xH$ . Podstawiamy nasze $H$ do wzoru, tworząc funkcję zależną tylko od $x$ :

P(x) = 2x^2 + 4x \cdot \left(\frac{32}{x^2}\right) = 2x^2 + \frac{128}{x}

Dziedzina: Długość boku musi być dodatnia, więc $D = (0, \infty)$ .

Krok 3: Obliczenie pochodnej funkcji celu.

Liczymy pochodną naszej funkcji $P(x)$ . Pamiętaj, że $\frac{128}{x} = 128 \cdot x^{-1}$ .

P'(x) = 4x - \frac{128}{x^2} = \frac{4x^3 - 128}{x^2}

(Sprowadziliśmy pochodną do wspólnego mianownika, aby łatwiej zbadać jej znak).

Krok 4: Szukanie ekstremum (Miejsca zerowe pochodnej).

Przyrównujemy pochodną do zera. Ułamek jest równy zero, gdy jego licznik jest równy zero:

4x^3 - 128 = 0 \implies 4x^3 = 128 \implies x^3 = 32 \implies x = \sqrt[3]{32} = 2\sqrt[3]{4}

Krok 5: Uzasadnienie minimum i odp. (Tego wymaga klucz!).

Musimy udowodnić, że w tym punkcie jest najmniejsza wartość. Zauważmy, że mianownik pochodnej $x^2$ jest zawsze dodatni. Znak pochodnej zależy tylko od licznika $4x^3 - 128$ .

Dla $x < 2\sqrt[3]{4}$ pochodna $P'(x) < 0$ (funkcja pola maleje).
Dla $x > 2\sqrt[3]{4}$ pochodna $P'(x) > 0$ (funkcja pola rośnie).

Zatem dla $x = 2\sqrt[3]{4}$ funkcja osiąga minimum lokalne, które jest jednocześnie wartością najmniejszą w badanej dziedzinie.

Odpowiedź Wymiary:

x = 2\sqrt[3]{4}, \quad H = \frac{32}{(2\sqrt[3]{4})^2} = \frac{32}{4\sqrt[3]{16}} = \frac{8}{2\sqrt[3]{2}} = 2\sqrt[3]{4}

(Niespodzianka! Optymalnym prostopadłościanem okazał się... sześcian!)

Teoria opanowana? Czas na praktykę!

Baza Quizów Maturalnych

Lista Pewniaków CKE