Optymalizacja w matematyce

Wstęp: Szukanie ideału

Zadania z optymalizacji to najdroższe perły na maturze podstawowej (zazwyczaj są to zadania otwarte za 4 punkty). Polegają one na znalezieniu "najlepszego" rozwiązania z możliwych – np. jakie muszą być wymiary działki, aby miała ona największe pole przy ograniczonej długości płotu. Brzmi to jak problem z fizyki kwantowej, ale na poziomie podstawowym każde takie zadanie sprowadza się do znalezienia wierzchołka zwykłej paraboli.

📋 Spis treści

Narzędzia pracy

1 Wierzchołek paraboli – klucz do optymalizacji

Praktyka

2 Algorytm na 4 punkty (Krok po kroku)
3 Wizualizacja: Największe pole wybiegu
4 Cztery modele z arkuszy CKE
5 Dziedzina i typowe straty punktów

1 Wierzchołek paraboli – klucz do optymalizacji

W klasie maturalnej poznasz pochodne, ale na poziomie podstawowym CKE narzuca zadania, w których funkcja celu (czyli wzór na to, co chcemy zmaksymalizować) jest zawsze funkcją kwadratową postaci $f(x) = ax^2 + bx + c$ . Gdy wykres tworzy "smutną buzię" (ramiona w dół, $a < 0$ ), największa wartość znajduje się na samym jej szczycie.

Współrzędne Szczytu Wierzchołka $W(p, q)$

Współrzędna

p

(Argument)

p = \frac{-b}{2a}

Odpowiada na pytanie: DLA JAKIEGO "x" otrzymamy najlepszy wynik? (np. jaka musi być długość boku prostokąta). Zazwyczaj liczymy tylko to!

Współrzędna

q

(Wartość)

q = \frac{-\Delta}{4a}

Odpowiada na pytanie: ILE WYNOSI ta największa wartość? (np. ile dokładnie wynosi to największe pole). Można ją też policzyć podstawiając

p

do wzoru funkcji.

2 Algorytm na 4 punkty (Krok po kroku)

Każde zadanie z optymalizacji kwadratowej na maturze rozwiązujesz według tego samego, 4-stopniowego, żelaznego schematu. Jeśli zrobisz krok 1 i 2, masz już darmowe punkty, nawet jeśli pomylisz się w obliczeniach!

Krok 1

Zależność z treści zadania

Szukasz w zadaniu informacji o tym, co jest stałe. Wyznaczasz jedną zmienną za pomocą drugiej.
Przykład: Mamy 20 metrów siatki na prostokątny wybieg. $2x + 2y = 20$ , po skróceniu $x + y = 10$ , więc $y = 10 - x$ .

Krok 2

Funkcja Celu

f(x)

i Dziedzina

Zapisujesz to, co masz zmaksymalizować, wprowadzając znalezionego przed chwilą "igreka".
Pole to $P = x \cdot y$ . Podstawiamy: $P(x) = x \cdot (10 - x) = -x^2 + 10x$ . Dziedzina: wymiary nie mogą być ujemne, więc $x > 0$ oraz $10-x > 0$ , zatem $x \in (0, 10)$ .

Krok 3

Obliczenie wierzchołka

p

Wiesz już, że masz do czynienia z parabolą skierowaną ramionami w dół. Liczysz $p$ ze wzoru $\frac{-b}{2a}$ .
U nas $a=-1$ , $b=10$ . $p = \frac{-10}{2 \cdot (-1)} = 5$ . Najlepszy bok $x$ wynosi 5! Sprawdzasz, czy 5 należy do dziedziny. (Należy).

Krok 4

Sformułowanie odpowiedzi

Czytasz polecenie po raz ostatni. Czy pytali o wymiary (podajesz x i y), czy o maksymalne pole? Wtedy podstawiasz "iksa" do wzoru i liczysz wynik ostateczny.

3 Wizualizacja: Największe pole wybiegu

Wyobraź sobie, że masz dokładnie 6 metrów siatki i chcesz u zbiegu dwóch ścian zbudować prostokątny wybieg dla psa. Musisz użyć tylko dwóch boków: $x$ i $y$ . Wiemy, że $x + y = 6$ , więc $y = 6 - x$ .

Funkcja jego pola to $P(x) = x(6-x) = -x^2 + 6x$ . Zobacz na wykres – wraz z manipulacją długością boku $x$ , pole rośnie, osiąga szczyt dokładnie w wierzchołku W(3, 9), a potem znowu maleje. Oznacza to, że idealny wymiar boku to $x = 3$ , a wyciśnięte maksymalne pole wynosi równe 9!

Matura Podstawowaf(x) = -x² + 6x

4 Cztery modele z arkuszy CKE

Treści bywają bardzo różne — wybieg dla kur, kartka na plakat, cena biletu, kurs pociągu — ale funkcja, którą masz zbadać, pochodzi zwykle z jednego z czterech schematów. Rozpoznanie modelu skraca najtrudniejszy krok, czyli ułożenie wzoru.

Stały obwód, największe pole. Z warunku wyznaczasz jeden bok przez drugi i podstawiasz do wzoru na pole. Przy prostokącie o obwodzie $2a + 2b = 40$ masz $b = 20 - a$ , więc $P(a) = a(20-a) = -a^2 + 20a$ . Wierzchołek wypada dla $a = 10$ — wychodzi kwadrat, co jest ogólną regułą, ale i tak trzeba to policzyć.
Stała suma, największy iloczyn. „Rozłóż liczbę 24 na dwa składniki tak, by ich iloczyn był największy". Zapisujesz $x$ i $24-x$ , iloczyn to znowu parabola ramionami w dół. Odpowiedź: składniki równe.
Cena, popyt i przychód. Podwyżka ceny zmniejsza sprzedaż. Jeśli przy cenie $c$ sprzedaje się $n$ sztuk, przychód $P = c \cdot n$ jest iloczynem dwóch wyrażeń liniowych, czyli funkcją kwadratową. Uwaga: pytanie może dotyczyć zysku, czyli przychodu pomniejszonego o koszty — to inna parabola.
Rzut i tor lotu. Wysokość jako funkcja czasu, $h(t) = -5t^2 + v t + h_0$ . Wierzchołek daje moment i wysokość najwyższego punktu, a miejsce zerowe — chwilę upadku. Warto rozróżnić te dwa pytania, bo bywają w jednym zadaniu.

Skrót, który warto znać

Gdy funkcja jest zapisana jako iloczyn $f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$ , pierwsza współrzędna wierzchołka leży dokładnie w połowie między miejscami zerowymi: $p = \frac{x_1 + x_2}{2}$ . W modelu „stały obwód" albo „stała suma" daje to odpowiedź bez liczenia delty i bez rozwijania nawiasów.

5 Dziedzina i typowe straty punktów

Rachunek w tych zadaniach jest krótki, więc punkty rozstrzygają się na tym, co wokół niego. Kryteria CKE prawie zawsze przewidują osobny punkt za zapisanie dziedziny.

Dziedzina wynika z treści, nie ze wzoru. Bok prostokąta musi być dodatni i krótszy niż połowa obwodu, liczba sprzedanych biletów jest liczbą naturalną, czas od momentu wyrzucenia nie bywa ujemny. Zapis w rodzaju $a \in (0, 20)$ to jedno zdanie i jeden punkt.

Gdy wierzchołek wypada poza dziedziną, funkcja jest w dozwolonym przedziale monotoniczna, więc wartość skrajna leży na jego końcu. Trzeba wtedy policzyć wartości na końcach i porównać — samo wskazanie wierzchołka jest wtedy błędną odpowiedzią.

Gdy zmienna jest naturalna (liczba sztuk, liczba osób), a wierzchołek wypada na przykład dla 12,5 — sprawdzasz obie sąsiednie liczby całkowite i wybierasz lepszą. Zaokrąglenie „w ciemno" bywa trafione, ale nie jest uzasadnieniem.

Trzy najczęstsze błędy

Odpowiedź na inne pytanie niż zadane. Jeśli treść pyta o wymiary, podaj wymiary; jeśli o największe pole — policz je, nie zostawiaj wyniku na $x$ . Wierzchołek ma dwie współrzędne i trzeba wiedzieć, która jest odpowiedzią.
Pomylenie $p$ z $q$ . $p$ mówi, dla jakiej wartości zmiennej, $q$ — ile wynosi wartość największa lub najmniejsza.
Brak wniosku. Rozwiązanie kończy zdanie w rodzaju „największe pole wynosi 100 m² przy boku 10 m", a nie sam rachunek. Kryteria przewidują za to osobny punkt.

Gratulacje, gotowy na 100% z Matury! 🏆

Przerobiłeś właśnie całą teorię do matury podstawowej! Przed Tobą nie ma już żadnych tajemnic, ani z algebry, ani z geometrii, ani z optymalizacji. Został tylko ostatni krok – przećwiczenie algorytmów na prawdziwych arkuszach.

Rozwiąż Finałowy Quiz i Zdobądź 100% 🚀

Potrzebujesz kogoś, kto to wytłumaczy?

Teoria opanowana? Czas na praktykę!

Baza Quizów Maturalnych

Lista Pewniaków CKE