Przejdź do treści
Matura 2026

Optymalizacja

Przed Tobą 10 zadań zamkniętych. Sprawdź, czy Twoja wiedza z działu Optymalizacja wystarczy, by zdobyć 100% punktów.

Pytanie 1 / 10Excel
Funkcja zysku pewnej firmy wynosi Z(x)=−2x2+120x−1000Z(x) = -2x^2 + 120x - 1000. Dla jakiej wartości xx zysk będzie największy?
▸ Wszystkie 10 pytań z wyjaśnieniamiRozwiń, jeśli wolisz przejrzeć zestaw bez rozwiązywania testu.

Zadania optymalizacyjne z wykorzystaniem własności funkcji kwadratowej (wierzchołek paraboli).

1.Funkcja zysku pewnej firmy wynosi Z(x)=−2x2+120x−1000Z(x) = -2x^2 + 120x - 1000. Dla jakiej wartości xx zysk będzie największy?

  • A.3030— poprawna
  • B.6060
  • C.120120
  • D.2020
Dlaczego: Zysk opisuje parabola skierowana w dół. Największą wartość osiąga w wierzchołku. Liczymy p=−b2a=−1202⋅(−2)=−120−4=30p = \frac{-b}{2a} = \frac{-120}{2 \cdot (-2)} = \frac{-120}{-4} = 30.

2.Suma dwóch liczb wynosi 20. Jaki jest ich największy możliwy iloczyn?

  • A.100100— poprawna
  • B.200200
  • C.5050
  • D.400400
Dlaczego: Liczby to xx oraz 20−x20-x. Iloczyn to f(x)=x(20−x)=−x2+20xf(x) = x(20-x) = -x^2 + 20x. Wierzchołek paraboli to p=−20−2=10p = \frac{-20}{-2} = 10. Liczby to 10 i 10. Ich iloczyn wynosi 100.

3.Największa wartość funkcji kwadratowej f(x)=−x2+6x−5f(x) = -x^2 + 6x - 5 wynosi:

  • A.33
  • B.55
  • C.44— poprawna
  • D.99
Dlaczego: Najpierw liczymy p=−6−2=3p = \frac{-6}{-2} = 3. Następnie podstawiamy tę trójkę do wzoru funkcji: f(3)=−32+6⋅3−5=−9+18−5=4f(3) = -3^2 + 6 \cdot 3 - 5 = -9 + 18 - 5 = 4.

4.Pole pewnego prostokąta określa wzór P(x)=x(12−x)P(x) = x(12 - x). Jaka jest dziedzina tej funkcji (możliwe wartości x)?

  • A.(0,12)(0, 12)— poprawna
  • B.(0,∞)(0, \infty)
  • C.(0,6)(0, 6)
  • D.R\mathbb{R}
Dlaczego: Długości boków prostokąta muszą być dodatnie. Zatem x>0x > 0 oraz 12−x>012 - x > 0 (czyli x<12x < 12). Daje to przedział od 0 do 12.

5.Chcemy ogrodzić z 3 stron prostokątny wybieg, używając 40m siatki (czwarta strona to mur). Długość boków to x, x oraz y. Jaka wartość x da największe pole?

  • A.2020
  • B.55
  • C.1515
  • D.1010— poprawna
Dlaczego: Siatka: 2x+y=402x + y = 40, stąd y=40−2xy = 40 - 2x. Pole to P(x)=x(40−2x)=−2x2+40xP(x) = x(40 - 2x) = -2x^2 + 40x. Maksymalne pole będzie dla p=−40−4=10p = \frac{-40}{-4} = 10.

6.Wysokość rzuconej piłki w czasie opisuje wzór h(t)=−5t2+20t+2h(t) = -5t^2 + 20t + 2. Jaką maksymalną wysokość osiągnie piłka?

  • A.2020
  • B.2222— poprawna
  • C.22
  • D.2525
Dlaczego: Szukamy wierzchołka. Czas lotu do szczytu to p=−20−10=2p = \frac{-20}{-10} = 2 sekundy. Wysokość w tym czasie to h(2)=−5(4)+40+2=−20+40+2=22h(2) = -5(4) + 40 + 2 = -20 + 40 + 2 = 22.

7.Różnica dwóch liczb wynosi 8. Jaki jest ich najmniejszy możliwy iloczyn?

  • A.−64-64
  • B.00
  • C.−16-16— poprawna
  • D.1616
Dlaczego: Zapisujemy liczby jako xx oraz x+8x+8. Iloczyn to f(x)=x(x+8)=x2+8xf(x) = x(x+8) = x^2 + 8x. Minimum jest w p=−82=−4p = \frac{-8}{2} = -4. Wartość najmniejsza: f(−4)=16−32=−16f(-4) = 16 - 32 = -16.

8.Pole trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych aa oraz b=10−ab = 10 - a będzie największe, gdy bok aa wynosi:

  • A.55— poprawna
  • B.1010
  • C.2,52{,}5
  • D.7,57{,}5
Dlaczego: Pole to P(a)=12a(10−a)=−0,5a2+5aP(a) = \frac{1}{2}a(10-a) = -0{,}5a^2 + 5a. Liczymy wierzchołek paraboli p=−52⋅(−0,5)=−5−1=5p = \frac{-5}{2 \cdot (-0{,}5)} = \frac{-5}{-1} = 5.

9.Rozwiązując zadanie na optymalizację kwadratową, w którym szukamy WARTOŚCI NAJMNIEJSZEJ, wyznaczona parabola musi mieć:

  • A.ramiona w dół (a<0a<0)
  • B.ramiona w górę (a>0a>0)— poprawna
  • C.ujemną deltę
  • D.wierzchołek na osi X
Dlaczego: Aby funkcja kwadratowa osiągała na dole dno (wartość minimalną), z którego się odbija, jej ramiona muszą być skierowane w górę (a>0a>0). Wtedy wierzchołek jest najniższym punktem.

10.Funkcja pola jest podana w gotowej postaci kanonicznej: P(x)=−2(x−4)2+32P(x) = -2(x - 4)^2 + 32. Jaka jest największa powierzchnia figury?

  • A.44
  • B.1616
  • C.3232— poprawna
  • D.6464
Dlaczego: Postać kanoniczna natychmiast ujawnia wierzchołek (p,q)(p, q). Parametr qq na końcu wzoru to nasza ekstremalna wartość. Zatem największe pole wynosi 32.

O czym musisz pamiętać w tym dziale?

Test z działu Optymalizacja zawiera zadania oparte na arkuszach CKE z ubiegłych lat. Matura podstawowa często bazuje na tych samych schematach, dlatego ten quiz to idealny trening przed prawdziwym egzaminem.

  • ✓ Powtórka kluczowych definicji
  • ✓ Trening pracy z Kartą Wzorów

Strategia Maturalna:

"W zadaniach zamkniętych (ABCD) z matematyki zawsze staraj się najpierw wyeliminować dwie skrajnie niepasujące odpowiedzi. To zwiększa Twoją szansę na sukces, nawet jeśli nie jesteś pewien wyniku."

To nie koniec treningu!

Masz jeszcze chwilę? Rozwiąż kolejny test.

Dalej: Liczby rzeczywiste →
Wolisz zadania otwarte? Zobacz Pewniaki Maturalne →