Geometria analityczna na podstawie jest wyjątkowo przewidywalna: długość odcinka, środek, współczynnik kierunkowy, równoległość i prostopadłość obsługują większość zadań z układu współrzędnych. Zmienia się głównie opakowanie — raz symetralna, raz trójkąt prostokątny, raz równoległobok. Dlatego opłaca się ćwiczyć rozpoznawanie, którego wzoru chce od Ciebie treść, a nie same rachunki, które i tak są krótkie. Częściej gubi się odwrócenie współczynnika ze zmianą znaku niż sam środek odcinka. Zwykle wynika to z tego samego, z czym walczymy przy minusach w funkcji kwadratowej.

1. Pięć wzorów i praktycznie cały dział

Geometria analityczna na podstawie jest wyjątkowo przewidywalna. Poniższe wzory obsługują większość zadań, jakie możesz zobaczyć.

Długość odcinka:

|AB| = \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2}

Środek odcinka:

S = \left(\frac{x_A+x_B}{2}, \frac{y_A+y_B}{2}\right)

Współczynnik kierunkowy:

a = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}

Równoległość:

a_1 = a_2

Prostopadłość:

a_1 \cdot a_2 = -1

2. Prosta przez dwa punkty — najkrótsza droga

Nie trzeba rozwiązywać układu równań. Wystarczy policzyć $a$ , a potem podstawić jeden z punktów do $y = ax + b$ i wyznaczyć $b$ .

Przykład. Prosta przez $A(1,2)$ i $B(3,8)$ .

a = \frac{8-2}{3-1} = 3

Podstawiamy

A

2 = 3 \cdot 1 + b

, czyli

b = -1

Odpowiedź:

y = 3x - 1

Sprawdzenie zajmuje chwilę: podstaw drugi punkt. $3 \cdot 3 - 1 = 8$ — zgadza się, więc prosta na pewno przechodzi przez oba punkty.

3. Prostopadłość w praktyce

Warunek $a_1 \cdot a_2 = -1$ w praktyce znaczy: odwróć ułamek i zmień znak. Do prostej o współczynniku $\frac{2}{3}$ prostopadła ma współczynnik $-\frac{3}{2}$ .

Warunek nie działa dla prostych pionowych i poziomych, bo prosta pionowa nie ma współczynnika kierunkowego. Prosta $x = 4$ jest prostopadła do $y = 7$ , choć iloczynu nie ma jak policzyć. Przy takich danych odpowiadaj z rysunku, nie ze wzoru.

4. Postać ogólna i odległość punktu od prostej

Prosta ma dwie równoprawne postacie, a arkusz potrafi podać jedną, a pytać o drugą. Przejście między nimi to zwykłe przekształcenie równania, ale warto je mieć w palcach — bo wzór na odległość działa tylko na postaci ogólnej.

Kierunkowa:

y = ax + b

Ogólna:

Ax + By + C = 0

y = 3x - 1

przenosimy na jedną stronę:

3x - y - 1 = 0

W drugą stronę: z

Ax + By + C = 0

wyznaczasz

y

, o ile

B \neq 0

. Gdy

B = 0

, prosta jest pionowa i postaci kierunkowej po prostu nie ma.

d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}

Przykład. Odległość punktu $P(2, 5)$ od prostej $3x - y - 1 = 0$ : $d = \frac{|3 \cdot 2 - 5 - 1|}{\sqrt{9 + 1}} = \frac{0}{\sqrt{10}} = 0$ — czyli punkt leży na prostej.

Ten wzór odpowiada na pytania o wysokość trójkąta, o promień okręgu stycznego do prostej i o to, czy prosta przecina okrąg. Wartość bezwzględna w liczniku jest obowiązkowa — odległość nie bywa ujemna.

5. Okrąg w układzie współrzędnych

Równanie okręgu jest w karcie wzorów do matury podstawowej i pojawia się w arkuszach regularnie — najczęściej jako pytanie o środek i promień albo o wzajemne położenie prostej i okręgu.

(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2

Środek to

S(a, b)

, promień to

r

Uwaga na znaki. W równaniu

(x + 3)^2 + (y - 2)^2 = 25

środkiem jest

S(-3, 2)

, a promieniem 5 — nie 25. Oba te miejsca to klasyczne straty punktu.

Prosta a okrąg. Porównaj odległość środka od prostej z promieniem: $d > r$ — brak punktów wspólnych, $d = r$ — styczna, $d < r$ — sieczna, dwa punkty wspólne. Jeden rachunek zastępuje rozwiązywanie układu równań.

6. Punkt przecięcia, pole i symetrie

Punkt przecięcia dwóch prostych to rozwiązanie układu ich równań. Jeśli układ jest sprzeczny — proste są równoległe; jeśli ma nieskończenie wiele rozwiązań — to ta sama prosta.
Punkty przecięcia z osiami. Z osią $OY$ : podstaw $x = 0$ , wychodzi $(0, b)$ . Z osią $OX$ : podstaw $y = 0$ . To najkrótsza droga do naszkicowania prostej.
Pole trójkąta o wierzchołkach w układzie liczy się najprościej tak: jeden bok jako podstawa (wzór na długość odcinka), odległość trzeciego wierzchołka od prostej zawierającej ten bok jako wysokość.
Symetrie. Względem osi $OX$ : $(x, -y)$ . Względem osi $OY$ : $(-x, y)$ . Względem początku układu: $(-x, -y)$ . Względem punktu $S(p, q)$ : $(2p - x,\ 2q - y)$ — to po prostu odwrócony wzór na środek odcinka.

Ostatni wzór warto rozumieć, a nie pamiętać: skoro $S$ jest środkiem odcinka o końcach $A$ i $A'$ , to $p = \frac{x + x'}{2}$ , skąd $x' = 2p - x$ . Ta sama zależność rozwiązuje zadania o czwartym wierzchołku równoległoboku.

7. Jak rozpoznać, czego chcą

„Symetralna odcinka" — prosta prostopadła przechodząca przez środek. Potrzebujesz obu wzorów naraz.
„Trójkąt prostokątny" — sprawdź iloczyn współczynników dla par boków albo policz długości i podstaw do Pitagorasa.
„Równoległobok" — przekątne dzielą się na połowy, więc środki przekątnych muszą się pokrywać. To zwykle najszybsza droga.
„Punkt należy do prostej" — po prostu podstaw współrzędne i sprawdź równość.

Rysunek pomocniczy w układzie współrzędnych naprawdę się opłaca. Często od razu widać odpowiedź, a rachunki służą wtedy tylko do jej potwierdzenia.

Przeczytaj też

Strategia na arkusz maturalny

Budżet czasu na 180 minut, kolejność rozwiązywania zadań i moment, w którym trzeba odpuścić zadanie.

Geometria Analityczna: Prosta i Odcinek

1. Pięć wzorów i praktycznie cały dział

2. Prosta przez dwa punkty — najkrótsza droga

3. Prostopadłość w praktyce

4. Postać ogólna i odległość punktu od prostej

5. Okrąg w układzie współrzędnych

6. Punkt przecięcia, pole i symetrie

7. Jak rozpoznać, czego chcą

Potrzebujesz kogoś, kto to wytłumaczy?

Test: Geometria analityczna

Nadal czujesz się niepewnie?

1. Pięć wzorów i praktycznie cały dział

2. Prosta przez dwa punkty — najkrótsza droga

3. Prostopadłość w praktyce

4. Postać ogólna i odległość punktu od prostej

5. Okrąg w układzie współrzędnych

6. Punkt przecięcia, pole i symetrie

7. Jak rozpoznać, czego chcą

Potrzebujesz kogoś, kto to wytłumaczy?

Test: Geometria analityczna 🧠

Nadal czujesz się niepewnie?

Test: Geometria analityczna