Geometria analityczna na podstawie jest wyjątkowo przewidywalna: długość odcinka, środek, współczynnik kierunkowy, równoległość i prostopadłość obsługują większość zadań z układu współrzędnych. Zmienia się głównie opakowanie — raz symetralna, raz trójkąt prostokątny, raz równoległobok. Dlatego opłaca się ćwiczyć rozpoznawanie, którego wzoru chce od Ciebie treść, a nie same rachunki, które i tak są krótkie. Częściej gubi się odwrócenie współczynnika ze zmianą znaku niż sam środek odcinka. Zwykle wynika to z tego samego, z czym walczymy przy minusach w funkcji kwadratowej.

1. Pięć wzorów i praktycznie cały dział

Geometria analityczna na podstawie jest wyjątkowo przewidywalna. Poniższe wzory obsługują większość zadań, jakie możesz zobaczyć.

Długość odcinka:

|AB| = \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2}

Środek odcinka:

S = \left(\frac{x_A+x_B}{2}, \frac{y_A+y_B}{2}\right)

Współczynnik kierunkowy:

a = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}

Równoległość:

a_1 = a_2

Prostopadłość:

a_1 \cdot a_2 = -1

2. Prosta przez dwa punkty — najkrótsza droga

Nie trzeba rozwiązywać układu równań. Wystarczy policzyć $a$ , a potem podstawić jeden z punktów do $y = ax + b$ i wyznaczyć $b$ .

Przykład. Prosta przez $A(1,2)$ i $B(3,8)$ .

a = \frac{8-2}{3-1} = 3

Podstawiamy

A

2 = 3 \cdot 1 + b

, czyli

b = -1

Odpowiedź:

y = 3x - 1

Sprawdzenie zajmuje chwilę: podstaw drugi punkt. $3 \cdot 3 - 1 = 8$ — zgadza się, więc prosta na pewno przechodzi przez oba punkty.

3. Prostopadłość w praktyce

Warunek $a_1 \cdot a_2 = -1$ w praktyce znaczy: odwróć ułamek i zmień znak. Do prostej o współczynniku $\frac{2}{3}$ prostopadła ma współczynnik $-\frac{3}{2}$ .

Warunek nie działa dla prostych pionowych i poziomych, bo prosta pionowa nie ma współczynnika kierunkowego. Prosta $x = 4$ jest prostopadła do $y = 7$ , choć iloczynu nie ma jak policzyć. Przy takich danych odpowiadaj z rysunku, nie ze wzoru.

4. Jak rozpoznać, czego chcą

„Symetralna odcinka" — prosta prostopadła przechodząca przez środek. Potrzebujesz obu wzorów naraz.
„Trójkąt prostokątny" — sprawdź iloczyn współczynników dla par boków albo policz długości i podstaw do Pitagorasa.
„Równoległobok" — przekątne dzielą się na połowy, więc środki przekątnych muszą się pokrywać. To zwykle najszybsza droga.
„Punkt należy do prostej" — po prostu podstaw współrzędne i sprawdź równość.

Rysunek pomocniczy w układzie współrzędnych naprawdę się opłaca. Często od razu widać odpowiedź, a rachunki służą wtedy tylko do jej potwierdzenia.

Przeczytaj też

Strategia na arkusz maturalny

Budżet czasu na 180 minut, kolejność rozwiązywania zadań i moment, w którym trzeba odpuścić zadanie.

Geometria Analityczna: Prosta i Odcinek

1. Pięć wzorów i praktycznie cały dział

2. Prosta przez dwa punkty — najkrótsza droga

3. Prostopadłość w praktyce

4. Jak rozpoznać, czego chcą

Potrzebujesz kogoś, kto to wytłumaczy?

Test: Geometria analityczna

Nadal czujesz się niepewnie?

1. Pięć wzorów i praktycznie cały dział

2. Prosta przez dwa punkty — najkrótsza droga

3. Prostopadłość w praktyce

4. Jak rozpoznać, czego chcą

Potrzebujesz kogoś, kto to wytłumaczy?

Test: Geometria analityczna 🧠

Nadal czujesz się niepewnie?

Test: Geometria analityczna