Zadanie z prawdopodobieństwa klasycznego na maturze podstawowej jest praktycznie pewne, a wzór jest tylko jeden — liczba zdarzeń sprzyjających przez liczbę wszystkich wyników. Cała praca to zliczanie, najczęściej przy dwóch kostkach albo losowaniu bez zwracania. Do tego dochodzi jedno uproszczenie, które przy sformułowaniu „co najmniej" oszczędza mnóstwo czasu: policzyć zdarzenie przeciwne i odjąć je od jedynki. Na zajęciach rysujemy tabelkę: wiersze to jedna kostka, kolumny druga. Wtedy 36 wyników widać na oczy, a jak trzeba, pokazujemy to jeszcze na symulatorze rzutów.

1. Jeden wzór na całe zadanie

Prawdopodobieństwo klasyczne opiera się na jednym ułamku. Cała praca polega na poprawnym policzeniu licznika i mianownika.

P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}

$|A|$ to liczba zdarzeń sprzyjających, $|\Omega|$ to liczba wszystkich możliwych wyników.

Wynik zawsze mieści się w przedziale od 0 do 1. Jeśli wyjdzie Ci więcej niż 1, pomyliłeś licznik z mianownikiem — to najszybszy test poprawności.

2. Dwie kostki: tabelka zamiast wzorów

Rzut dwiema kostkami to klasyk. Wszystkich wyników jest $6 \cdot 6 = 36$ , bo każdy wynik pierwszej kostki łączy się z każdym wynikiem drugiej.

Przykład. Jakie jest prawdopodobieństwo, że suma oczek wyniesie 5?

Sprzyjające pary: $(1,4), (2,3), (3,2), (4,1)$ — cztery. Zatem $P = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}$ .

Zwróć uwagę, że $(1,4)$ i $(4,1)$ to dwa różne wyniki. Traktowanie ich jako jednego to najczęstszy błąd w tym zadaniu.

3. Zdarzenie przeciwne skraca robotę

Gdy w treści pada „co najmniej", liczenie wprost bywa długie. Znacznie szybciej policzyć sytuację odwrotną i odjąć od jedynki:

P(A) = 1 - P(A')

„Co najmniej jedna szóstka w dwóch rzutach" to długa lista przypadków. Ale zdarzenie przeciwne — „żadnej szóstki" — to $5 \cdot 5 = 25$ wyników. Zatem $P = 1 - \frac{25}{36} = \frac{11}{36}$ .

4. Zliczanie: reguła mnożenia i symbol Newtona

Mianownik rzadko daje się wypisać ręcznie. Od 2023 roku w karcie wzorów do matury podstawowej jest symbol Newtona, więc zadania w stylu „na ile sposobów można wybrać" pojawiają się wprost — i to one decydują o liczbach, które wstawisz do ułamka.

Reguła mnożenia. Gdy wybór składa się z etapów, liczby możliwości mnożymy. Trzycyfrowy kod z cyfr 0–9: $10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000$ . Jeśli cyfry nie mogą się powtarzać: $10 \cdot 9 \cdot 8 = 720$ .
Permutacje — ustawianie wszystkich elementów w kolejności: $n!$ . Pięć osób w rzędzie to $5! = 120$ ustawień.
Kombinacje — wybór $k$ elementów z $n$ bez znaczenia kolejności: $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ . Dwie kule z dziesięciu to $\binom{10}{2} = 45$ .

Jak rozstrzygnąć, czy kolejność ma znaczenie. Zadaj sobie pytanie: czy wybranie Ani i Bartka to co innego niż wybranie Bartka i Ani? Przy dwuosobowej delegacji — nie, więc kombinacje. Przy wyborze przewodniczącego i zastępcy — tak, więc reguła mnożenia. To jedno pytanie rozstrzyga większość wątpliwości w tym dziale.

5. Losowanie bez zwracania — dwie drogi do tego samego wyniku

W urnie jest 7 kul białych i 3 czarne. Losujemy dwie kule bez zwracania. Jakie jest prawdopodobieństwo, że obie będą białe? Obie metody poniżej są pełnoprawne, wystarczy wybrać jedną i trzymać się jej do końca.

Przez kombinacje

Wszystkich par:

\binom{10}{2} = 45

Par białych:

\binom{7}{2} = 21

P = \frac{21}{45} = \frac{7}{15}

Przez kolejne losowania

Pierwsza biała:

\frac{7}{10}

Druga biała (zostało 6 z 9):

\frac{6}{9}

P = \frac{7}{10} \cdot \frac{6}{9} = \frac{7}{15}

Nie mieszaj metod. Najczęstszy błąd to policzenie licznika kombinacjami (kolejność nieistotna), a mianownika regułą mnożenia (kolejność istotna). Wynik wychodzi wtedy dwa razy za mały i nic go już nie ratuje. Zdecyduj na starcie i zapisz w rozwiązaniu, którą drogą idziesz.

6. Drzewko dla dwóch etapów

Gdy doświadczenie ma dwa etapy, a treść pyta o konkretny scenariusz, drzewko jest szybsze i mniej podatne na błąd niż zliczanie. Dwie zasady wystarczą na cały rysunek.

Wzdłuż gałęzi mnożymy — to prawdopodobieństwo jednej konkretnej ścieżki.
Między gałęziami dodajemy — jeśli warunek spełnia kilka ścieżek, sumujesz ich prawdopodobieństwa.
Prawdopodobieństwa wychodzące z jednego węzła zawsze sumują się do 1. To gotowy test, czy rysunek jest poprawny.

Przykład. „Dokładnie jedna kula biała" w losowaniu z poprzedniej sekcji to dwie ścieżki: biała–czarna i czarna–biała. Zatem $P = \frac{7}{10} \cdot \frac{3}{9} + \frac{3}{10} \cdot \frac{7}{9} = \frac{42}{90} = \frac{7}{15}$ .

Zwrot „dokładnie jedna" to prawie zawsze dwie ścieżki, a nie jedna — pominięcie drugiej kolejności jest tu najczęstszą przyczyną połowicznego wyniku. Zwrot „co najmniej jedna" kieruje do zdarzenia przeciwnego z poprzedniej sekcji.

7. Czego pilnować

Ustal, czy losujesz ze zwracaniem. Bez zwracania druga liczba możliwości jest o jeden mniejsza — to zmienia cały mianownik.
Kolejność bywa istotna. Zdecyduj na starcie, czy pary uporządkowane są różnymi wynikami, i trzymaj się tego w liczniku i mianowniku.
Opisz zbiór zdarzeń. Samo podanie ułamka bez wyjaśnienia, co liczyłeś, bywa punktowane niżej.
Skróć ułamek i zostaw wynik w postaci dokładnej, a nie zaokrąglonego rozwinięcia dziesiętnego.

Przeczytaj też

Strategia na arkusz maturalny

Budżet czasu na 180 minut, kolejność rozwiązywania zadań i moment, w którym trzeba odpuścić zadanie.

Prawdopodobieństwo Klasyczne

1. Jeden wzór na całe zadanie

2. Dwie kostki: tabelka zamiast wzorów

3. Zdarzenie przeciwne skraca robotę

4. Zliczanie: reguła mnożenia i symbol Newtona

5. Losowanie bez zwracania — dwie drogi do tego samego wyniku

6. Drzewko dla dwóch etapów

7. Czego pilnować

Potrzebujesz kogoś, kto to wytłumaczy?

Test: Kombinatoryka i statystyka

Nadal czujesz się niepewnie?

1. Jeden wzór na całe zadanie

2. Dwie kostki: tabelka zamiast wzorów

3. Zdarzenie przeciwne skraca robotę

4. Zliczanie: reguła mnożenia i symbol Newtona

5. Losowanie bez zwracania — dwie drogi do tego samego wyniku

6. Drzewko dla dwóch etapów

7. Czego pilnować

Potrzebujesz kogoś, kto to wytłumaczy?

Test: Kombinatoryka i statystyka 🧠

Nadal czujesz się niepewnie?

Test: Kombinatoryka i statystyka