Przejdź do treści
ŚredniWaga: 4-5 pkt

Ciągi Arytmetyczne i Geometryczne

Na maturze podstawowej ciąg pojawia się praktycznie zawsze. Cztery wzory, jedna tabelka i schemat rozpoznania, z którym typem masz do czynienia.

1. Najpierw rozpoznaj typ

Zanim sięgniesz po jakikolwiek wzór, ustal, czy ciąg jest arytmetyczny, czy geometryczny. Cała reszta z tego wynika.

  • Arytmetyczny — kolejne wyrazy różnią się o stałą. Sprawdzasz odejmowaniem: r=a2−a1r = a_2 - a_1.
  • Geometryczny — kolejne wyrazy dzielą się przez stałą. Sprawdzasz dzieleniem: q=a2a1q = \frac{a_2}{a_1}.

Dla ciągu 3, 7, 11, 15 różnice to zawsze 4 — arytmetyczny. Dla 2, 6, 18, 54 ilorazy to zawsze 3 — geometryczny.

2. Cztery wzory, które trzeba mieć w głowie

Co liczyszArytmetycznyGeometryczny
wyraz ogólnyan=a1+(n−1)ra_n = a_1 + (n-1)ran=a1⋅qn−1a_n = a_1 \cdot q^{n-1}
suma nn wyrazówSn=a1+an2⋅nS_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot nSn=a1⋅1−qn1−qS_n = a_1 \cdot \frac{1-q^n}{1-q}

We wzorze na wyraz ogólny jest n−1n-1, a nie nn. Wstawienie nn przesuwa cały ciąg o jeden wyraz i psuje całe zadanie. Sprawdź się: dla n=1n=1 wzór musi dać a1a_1.

3. Własność środkowego wyrazu

To narzędzie wraca w zadaniach typu „dla jakiej wartości xx liczby tworzą ciąg". Każdy wyraz jest średnią sąsiadów — arytmetyczną albo geometryczną:

arytmetyczny: a2=a1+a32a_2 = \frac{a_1 + a_3}{2}
geometryczny: a22=a1⋅a3a_2^2 = a_1 \cdot a_3

Zapisanie tej równości zwykle prowadzi wprost do równania kwadratowego z xx. To jeden z najkrótszych sposobów zdobycia pełnych punktów w tym dziale.

4. Typowe pułapki

  • Ciąg geometryczny nie może mieć zera ani ilorazu równego zero — inaczej dzielenie traci sens. Jeśli wyjdzie takie rozwiązanie, trzeba je odrzucić i to napisać.
  • Ujemny iloraz daje ciąg naprzemienny. Przy nieparzystych potęgach łatwo zgubić znak.
  • Wzór na sumę geometryczną wymaga q≠1q \neq 1. Dla q=1q=1 po prostu Sn=n⋅a1S_n = n \cdot a_1.
  • Odrzucone rozwiązania trzeba uzasadnić. Samo pominięcie ich w odpowiedzi bywa traktowane jako brak.
Następny Pewniak →Funkcja Kwadratowa
Sprawdź wiedzę

Test: Ciągi liczbowe

Rozwiąż szybki test i zobacz, czy opanowałeś materiał.

Pytanie 1 / 10Excel
Dany jest ciąg o wzorze ogólnym an=3n−5a_n = 3n - 5. Różnica tego ciągu wynosi:

Nadal czujesz się niepewnie?

To tylko jeden z pewniaków. Na kursie przechodzimy przez nie wszystkie, krok po kroku, aż poczujesz ten spokój.

Pomóżcie mi zdać maturę!